波紋夾層板固有頻率的一階Zig-Zag 理論計算方法

王小明，魏 強

(1. 中國艦船研究設(shè)計中心，湖北 武漢 430064；2. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430064)

0 引 言

夾層板是由強度大的上下面板和密度較小的心層組成，通常上下面板可以是鋼板，碳纖維或者玻璃鋼等，心層可以是木材，鋁蜂窩或者泡沫塑料。心層的設(shè)計還有一種思路來降低等效密度，可以把心層設(shè)計成空心的波紋狀結(jié)構(gòu)，通過粘結(jié)[1–2]或者激光焊接[3–4]與上下面板相連，這就是波紋夾層板（見圖1）。這樣組成的新結(jié)構(gòu)具有比強度高、比剛度高的優(yōu)點，經(jīng)常被應(yīng)用到航空航天工程，船舶海洋工程，建筑橋梁工程和車輛工程等。

對于夾層板固有頻率的研究，最經(jīng)典的著作是文獻(xiàn)[5]，其中以Hoff理論研究了夾層板的振動頻率，分別研究了不同邊界條件下，固有頻率的計算方法。吳暉把夾層板看作正交異性體，借鑒文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論，認(rèn)為垂直波紋方向的剪切剛度無限大，推導(dǎo)出固有頻率的解析表達(dá)式[6]；Hossein Zamanifar等運用精細(xì)切片法研究了夾層板的自由振動和強迫振動，通過等效參數(shù)，將三維的夾層板通過等效參數(shù)轉(zhuǎn)化成二維正交異性板，求解了無量綱的自由振動頻率，與前人的研究成果吻合一致[7]。Zig-Zag理論在復(fù)合材料或?qū)雍习孱I(lǐng)域應(yīng)用很廣泛[8–10]。白瑞祥等以3層均質(zhì)復(fù)合材料（或等效成3層均質(zhì)復(fù)合材料）夾層板為研究對象，引入一階Zig-Zag理論，建立了夾層板自由振動的有限元模型，采用子空間迭代法求解自由振動固有頻率[11]。對于上下面板之間是非連續(xù)介質(zhì)的心層夾層板，目前采用一階Zig-Zag理論來建立運動方程的文獻(xiàn)很少。本文提出一種考慮波紋夾層板心層不連續(xù)形狀的情況下，上下3層都應(yīng)用一階Zig-Zag理論建立夾層板的運動方程的方法。

圖1 波紋夾層板結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Corrugated sandwich structure

1 振動微分方程

如圖2所示，波紋夾層板由上下面板和中間心層組成。在波紋夾層板中建立坐標(biāo)系統(tǒng)。

圖2 夾層板坐標(biāo)系統(tǒng)Fig. 2 Coordinate system of corrugated sandwich

圖中：tt為上面板厚度，tb為下面板厚度，tc為中間心層的厚度；心層的靜高度為hc，心層的周期間距為lc。在線彈性理論分析，做以下基本假設(shè)：

1）夾層板的上下面板為普通薄板，考慮其抗剪作用，應(yīng)用一階剪切變形理論；

3）考慮心層的剪切作用，則心層中面法線在變形后保持為直線，但不再垂直于變形后的中面；

4）心層僅考慮其沿波紋方向的彎曲作用，忽略其垂直波紋方向的彎曲作用；

5）上下3層結(jié)構(gòu)的面內(nèi)位移沿板厚方向分段連續(xù)。

1.1 坐標(biāo)系統(tǒng)與位移表達(dá)

根據(jù)假設(shè)1～假設(shè)4和圖2中夾層板的坐標(biāo)系統(tǒng)，上下面板的位移函數(shù)可以表示為：

式中：k取t，表示上面板；k取b，表示下面板。

心層的位移函數(shù)可以表示為：

根據(jù)假設(shè)5，可以列出位移連續(xù)條件如下：

將式（1）～式（5）代入式（7）～式（10），求出：

將式（11）～式（14）代入式（1）和式（2），聯(lián)合式（3）～式（6），則所有的位移函數(shù)都用心層的中面位移函數(shù)表達(dá)。

應(yīng)用彈性理論的應(yīng)變位移關(guān)系，對于上面板：

對于下面板也可以類似推導(dǎo)。

對于心層，正應(yīng)變和剪應(yīng)變分別為：

1.2 物理方程

上下面板和心層的每一個構(gòu)件材料，認(rèn)為它是各向同性的，則由彈性理論可以求出應(yīng)力。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的結(jié)論，心層yz平面的剪切彈性模量可表達(dá)為：

1.3 能量原理

哈密爾頓（Hamilton）原理提出穩(wěn)定系統(tǒng)的動能和勢能之差（動勢）必然是最小值。對于振動分析的波紋夾層板而言，系統(tǒng)存在動能T和勢能U，但是沒有外力做功，勢能僅包括系統(tǒng)的應(yīng)變能。根據(jù)變分法，則應(yīng)該使得

系統(tǒng)的動能包括3部分，分別是上下面板動能和心層動能。

系統(tǒng)的勢能主要是指構(gòu)件的應(yīng)變能，應(yīng)變能也包括3部分，分別是上下面板應(yīng)變能和心層應(yīng)變能。

其中：

將式（33）～（38）代入式（32），應(yīng)用變分法中的拉格朗日–歐拉方程，經(jīng)過復(fù)雜的推導(dǎo)、運算，得出以下振動微分方程：

2 邊界條件與方程求解

對于簡支的夾層板，其邊界條件為：在x=0或a

在y=0或b

根據(jù)邊界條件式（48）和式（49），可以取雙傅里葉級數(shù)為式（39） ～ 式（47）的解，則

將式（50）～式（56）代入式（39）～式（47），然后比較兩邊的系數(shù)，則可以列出關(guān)于，，的方程組，要使得這些系數(shù)有非零解，必然使得系數(shù)行列式為零。這個系數(shù)行列式就是關(guān)于固有角頻率的十八次多項式，解出這個十八次方程，取最小的正根就是所要求的固有角頻率，則固有頻率

3 方法驗證

夾層板四邊簡支，長邊a=2 000 mm，短邊b=1 500 mm，上下面板厚度tt=tb=3 mm，心層厚度tc=2 mm，心層靜高度hc=40 mm，心層周期間距l(xiāng)c=50 mm，上下面板和夾心都是同樣材料，彈性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比計算其橫向微振動的固有頻率。

為了形成對比，驗證方法的準(zhǔn)確性，分別用4種方法分別計算這個算例。

1）方法1

按照文獻(xiàn)[5]所列公式計算固有頻率（即Hoff理論），不過其中的剪切剛度不能采用連續(xù)介質(zhì)心層的公式，而是采用等效剪切剛度，即采用式（56）；

2）方法2

按照文獻(xiàn)[6]中所列公式求解（即簡化的Reisser理論），其中的剪切剛度也是采用方法1中的等效剪切剛度；

3）方法3

采用Ansys軟件，用shell181單元模擬面板和心層，三維有限元計算固有頻率；

4）方法4

本文方法。

表1列出了這4種方法計算的前9階固有頻率。從表1看出關(guān)于前8階固有頻率，上述4種方法的計算結(jié)果都非常接近，誤差小于10%。因此本文的計算方法是有效可信的。

表1 各種方法關(guān)于前9階頻率的計算結(jié)果Tab. 1 Calculation results of freconcy from above methods

4 面板剪切作用的體現(xiàn)

當(dāng)面板厚度較小的時候，忽略面板的剪切作用造成的誤差是很小的。但是當(dāng)面板厚度增加，剪切作用就表現(xiàn)比較明顯。以第4節(jié)中算例的參數(shù)為基礎(chǔ)，固定其他變量，分別以面板厚度和心層厚度為自變量，一階頻率為因變量，圖3為不同方法計算的夾層板一階頻率隨面板厚度變化曲線（上下面板相等，且同步變化），圖4為不同方法計算的夾層板一階頻率隨心層厚度變化曲線。

圖3 面板厚度與一階頻率關(guān)系曲線Fig. 3 Face sheet thinkness and first order frequency relationship curves

圖4 心層厚度與一階頻率關(guān)系曲線Fig. 4 Core sheet thinkness and first order frequency relationship curves

從圖3和圖4看出，面板厚度較小，不同方法計算的結(jié)果差別很小，面板厚度大于5 mm后，差別則很明顯。同時，因為各類方法都考慮了心層的剪切作用，不管心層厚度如何變化，不同計算方法計算的固有頻率都很接近。

5 結(jié) 語

通過應(yīng)用一階Zig-zag理論，同時考慮心層的實際形狀，建立波紋夾層板的振動微分方程。用算例驗證了本方法計算的前8階固有頻率的計算誤差都在10%以內(nèi)。

波紋夾層板面板板厚較小，忽略面板剪切作用的影響，導(dǎo)致的計算誤差可以忽略；當(dāng)面板厚度大于心層厚度1/8時，則誤差是明顯的，并且厚度越大，誤差也越大。

因為Hoff理論中考慮了心層的剪切作用，因此波紋心層厚度的增加，不管是用Hoff理論計算還是簡化的Hoff理論計算，都與本文方法計算結(jié)果極為接近。