初中數學復習中“概念圖
——題組教學”模式——以三角形的內角平分線定理的證法為例

福建省石獅市華僑中學 鄭惠容

2017 年泉州中考模擬卷3 的第22 題是一道證明三角形內角平分線定理的題目，考完之后，發現很多學生都不會證明。學生不會證明的原因在于沒有熟練掌握成比例線段的基本方法，不懂得把它轉化為相似三角形的基本模型進行解決。其實只要學生懂得轉化，要解決這樣的問題就易如反掌了。那么，證明成比例線段有哪些最基本的模型呢？

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分析：要證明四條線段成比例，常用的方法是證明三角形相似，但在本題中我們發現，以線段AB、BD、AC、CD 為邊所構成的兩個三角形△ABD 與△ACD 是不相似的。那么如何證明這四條線段成比例呢？下面將對本題的解法做以分析。

思路一：轉移線段法

由于這四條線段所在的三角形不相似，可都考慮“移”其中的一條線段，達到構造兩個相似三角形的目的。

證法1 和證法2 是通過作平行線來“移”線段AB 和線段AC。其實，也可以把它們“移”到射線BA、CA 上來，構成熟悉的“A”型或“X”型相似。我們也可以考慮“移”線段BD 或線段CD。

以上兩種證法的思路都是“移”四條線段中的一條線段，從而轉化為相似三角形的基本模型“A”型、“X”型相似。

思路二：尋找“中間比”

除了上述的“移”法外，尋找“中間比”也是常見的證明線段成比例的方法之一。

思路三：利用割補法

與三角形的全等類似，我們也可以采用“以大割小”或“以小補大”的思想來構造三角形相似。而“移”線段其實也是一種“割補”的思想，那么還有其他“割補”的方法嗎？

【思考】如圖8，想一想：如果AD 是△ABC 的外角平分線，與BC 的延長線交于點D，那么是否還可以得出與內角平分線類似的結論？如果有，如何證明？你是否可以用類比三角形內角平分線定理的證明方法的思想中得出某些啟發？

你可以動手試試看，就會發現，證明三角形內角平分線定理的幾種方法均可用于證明三角形外角平分線定理，在這里，就不再重復敘述。

本文只涉及一道題目，但復習了證明比例式的基本思想與方法，構造基本的相似三角形：“A 型”或“X 型”（兩角對應相等，兩三角形相似）；平行線分線段成比例定理；通過尋找中間比進行證明。誘發一題多解的方法很多，教師應根據問題的特點，結合學生的實際，遵循學生的認知規律，適時加以點撥與引導，促使學生運用不同的解題思路去解決問題。