圓背景下的線段最值問題

江蘇省張家港市第二中學 王 偉

學生們要清楚地知道線段的最值問題是求線段長度的最大值或者最小值、線段和或差的最大值或者最小值。這些問題在學生的學習過程中出現的頻率很高。在學生學習圓這一章節后，線段最值問題又以不同的面貌出現了。實際上就是靈活利用圓的定義和性質把新面貌下的線段最值問題轉化成學生熟悉的線段最值問題，比如兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和（ 或差） 大于（ 或小于） 第三邊等。教師在實際的教學過程中要不斷地灌輸解題策略，促進學生們的解題能力產生質的飛躍。

一、利用切線性質，轉化為垂線段最短

點撥：此題主要考查了圓的切線的性質、勾股定理以及垂線段最短的模型。遇到圓的切線，常連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形，根據勾股定理將線段的最值轉化成垂線段最短的模型來解決問題。因此要求學生能根據題意，結合圓的切線性質去突破。

二、找到隱圓，利用最短距離模型

此前，學生已經掌握了“圓外一點到圓上的點的最短距離模型”，其中：最短距離就是“圓外的點和圓心的距離減去圓的半徑”。但是，找到隱藏的圓對學生來講很難，這就要利用圓的定義去找到圓。

例 2：如圖3，四邊形ABCD 是邊長為1 的正方形，動點E、F分別從點C，D 出發，以相同速度分別沿CB，DC 運動（點E 到達C 時，兩點同時停止運動）。連接AE，BF 交于點P，過點P 分別作PM ∥CD，PN ∥BC，則線段MN 的長度的最小值為_______。

點撥：本題利用了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、由圓的定義確定了圓、“圓外一點到圓上的點的最短距離模型”、勾股定理求解。利用圓的定義找到動點的運動軌跡是圓為解題的關鍵，將線段的最小值轉化為“圓外一點到圓上的點的最短距離模型”解決。

三、利用軸對稱，求線段和的最小值

在初中數學中，我們研究的主要圖形是三角形、四邊形、圓。縱觀中考題，有一類題目就是利用軸對稱性質構建線段和的最短路徑模型，而圓恰好也具有軸對稱性，所以也可以利用圓的軸對稱性進行命題。

解析：如圖6，作點A 關于MN 的對稱點A'，連接A'B，交MN 于點P，連接OA'，OA，OB，PA，AA'。因為點A 是半圓上的三等分點，所以∠AON=60°。由圓的軸對稱性可得：PA=PA'，∠AON=∠A'ON=60°。又因為點B 是劣弧AN 的中點，所以∠BON=30°，則∠A'OB=90°。因為OB=OA'= ，所以A'B=2，從而PA+PB=PA'+PB=A'B=2。

點撥：本題是要在MN 上找一點P，使PA+PB 的值最小。這是路徑最短問題，解題的關鍵是利用軸對稱性找到對稱點。圓具有軸對稱性，直徑所在的直線是圓的對稱軸。

通過上述例題的講解，學生們應該知道了圓背景下的線段最值問題需要利用圓的定義及各種性質進行解題。當然，題型不僅僅有這三種，但是我們可以通過這三道例題知道，解題時要關注題意，利用圓的定義和性質，將新問題轉化為見過的線段最值模型，從而順利解決問題。同時，教師也需要不斷去摸索，總結出經驗，及時穿插到教學中，把正確的解題思路分享給學生。而學生們要想掌握圓背景下的線段最值問題的常用方法，就需要不斷地練習，找尋到問題的關鍵所在才能解決根本問題，才能突破自己，收到事半功倍的效果。