基于MQ-RBF-FD求解對流擴散方程的二階算法

姚林，唐泉

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

對流擴散方程能夠模擬許多物理、化學、經濟和金融的現象從而進行預判，對其數值解的研究由來已久，已有的數值方法包括有限差分(FD)[1]、有限元(FE)[2]和邊界元方法[3]等。一般采用局部插值格式[4]進行推導，需要一個網格來支持操作。對流擴散方程的特點是包括一階導數的對流項和二階導數的擴散項，對于網格的選擇要求很嚴格，如果選擇的網格結構不合適，數值逼近將會產生迎風效應和數值擴散。徑向基函數(RBF-FD)方法[5]是一種局部有效的無網格方法，廣泛用于求解多尺度和偏微分方程等，解決了選擇合適網格的困難，具有數值精度高、構造數值格式容易和程序操作簡單等優點。因此，本文將基于RBF-FD方法的優點，構造出穩定和有效的數值格式，避免出現數值振蕩和數值擴散。

本文主要研究對流擴散方程的數值逼近問題，考慮這類方程：

邊界條件和初始條件為

其中，Ω是二維區域，t∈(0,T]，T是終止時間，κ=[κx,κy]T是擴散系數，ν=[νx,νy]T是對流系數，u=u(x,t)表示依賴時間t的函數，g(x,t)表示邊界函數，u0(x)表示初始條件。

本文提出一種新穎的二階離散格式求解對流擴散方程[6]。采用二次元局部的徑向基函數(MQ-RBF-FD)方法進行空間離散[7]，時間分裂使用交替迭代算子分裂方法[8-9]，BDF2方法用于時間離散。首先，使用維數分裂格式把二維方程轉化成沿X和Y方向的算子，梯度算子和拉普拉斯算子使用MQ-RBF-FD公式進行離散[10]，推導出空間二階格式；其次，時間分裂采用交替迭代格式，可以有效減少分裂誤差，迭代格式使用BDF2方法進行離散，目的是使時間格式上也達到二階精度；最后，進一步測試出適當的迭代步數，目的是平衡時間和空間步長，再選取適合的形狀參數c，最終使得數值解達到高階精度。數值實驗能夠驗證本文提出的二階方法要大大優于FD方法。

1 空間二階算法的推導過程

我們應用五點RBF-FD公式離散對流擴散方程中的梯度算子和拉普拉斯算子。采用維數分裂格式分裂二維對流擴散方程：

其中

(1)

同理

這里使用φi(x)替換上式中的u(x)

φi(x1)=ω1φ1(x1-h)+ω2φ2(x1)+ω3φ3(x1+h)，

(2)

Δφi(x1)=γ1φ1(x1-h)+γ2φ2(x1)+γ3φ3(x1+h)，

(3)

(4)

公式(4)表示MQ徑向基函數，從式(2)和(3)中求出ωi,γi(i=0,1,2)，同理求出ωi,γi(i=0,3,4)[11-12]。Ax,Ay離散格式如下：

其中，h是空間步長，通過維數分裂，MQ-RBF-FD方法，簡單技巧處理，即可在空間格式上獲得二階格式，相比于FD方法，精度更高。通過空間離散，二維對流擴散方程轉化成常微分方程組，下面討論時間分裂和時間離散方法。

2 時間分裂和離散的推導形式

時間分裂使用交替迭代格式[13]，時間離散采用BDF2方法。按照第1節處理方法，可以得到全離散格式：

為達到二階精度，我們需要找到最優迭代步數去平衡空間步長和時間步長。下面通過兩個數值算例驗證算法的合理性。

3 數值實驗

3.1 數值實例1

算例1，我們考慮熱傳導方程：

這里u(x,y,t)屬于溫度函數，Ω=[0,1]×[0,1]，精確解：

uexact(x,y,t)=exp(-(κx+κy)π2t)sin(π(x+y))。

首先，通過數值實驗選出最優形狀參數c，我們選擇擴散系數κx=κy=0.01，τ=h，T=1，迭代步數i=5。圖1說明最優形狀參數c在1附近，我們統一選擇c=1。表1表示收斂階和誤差，說明MQ-RBF-FD方法優于FD方法。其次，選擇擴散系數κx=0.1,κy=0.001,τ=h,T=1，形狀參數c=1，迭代步數i=5。表2同樣表示收斂階和誤差，說明擴散系數選取不同影響收斂階和誤差。

表1 RBF-FD方法和FD方法收斂階和誤差比較(κx=κy=0.01)Table 1 Convergence order and error comparison for RBF-FD and FD method(κx=κy=0.01)

圖1 不同的形狀參數c之間的誤差比較 Fig.1 Error comparison among different shape parameters

表2 RBF-FD方法和FD方法收斂階和誤差比較(κx=0.1，κy=0.001)Table 2 Convergence order and error comparison for RBF-FD and FD method(κx=0.1，κy=0.001)

3.2 數值實例2

算例2，我們考慮含有對流項的對流擴散方程：

解析解：

首先，我們選取擴散系數κx=κy=1，對流系數νx=νy=1，a=1,b=0.1,τ=0.5h,T=0.1，選取合適的迭代步數i=121，最優形狀參數c=2，表3表示收斂階和誤差。其次，選取對流系數νx=νy=10，最優形狀參數c=0.2，其他參數不變，表4表示收斂階和誤差。表3和表4比較說明對流系數不同，結果影響很大。最后，選取空間步長h=1/30，迭代步數i=261，其他參數與表3系數相同，得到數值解。圖2表示數值解圖和精確解圖之間的比較。

表3 RBF-FD方法和FD方法收斂階和誤差比較(υx=υy=1，c=2)Table 3 Convergence order and error comparison for RBF-FD and FD method(υx=υy=1，c=2)

表4 RBF-FD方法和FD方法收斂階和誤差比較(υx=υy=10，c=0.2)Table 4 Convergence order and error comparison for RBF-FD and FD method(υx=υy=10，c=0.2)

4 結論

本文提出一種新穎的二階算法求解對流擴散方程，著重描述了二階算法的推導過程以及時間離散的推導形式，闡述了維數分裂和交替迭代格式在處理對流擴散方程中的優勢，說明了迭代步數在平衡時間和空間步長中的重要作用。數值算例印證了本文提出的二階算法的合理性和可行性，且精度遠遠高于FD方法。將來我們會考慮給出二階算法的理論證明。