妙用導數法，巧解函數和不等式問題

武文香

【摘要】高中數學中，導數是非常重要的內容，導數法就是對函數進行求導，借助導數的性質找到解題的突破口，尤其是在研究函數與方程和不等式問題中應用最為廣泛，同時也是最有效的一種解題技巧。本文主要分析在高考數學中最典型的用導數法解函數和解不等式的技巧，希望能夠為廣大考生提供一些幫助，提高自身的解題效率和準確率，爭取在考試中獲得高分。

【關鍵詞】導數法;函數;不等式

從最近幾年的高考數學題中我們可以發現，壓軸題多數以考查函數導數為主，具有很強的綜合性，與此同時也具有靈活的技巧性，分析函數和不等式的特點，構造函數，借助導數的特點找到解題的突破口，但是構造函數是很多學生公認的難點，本文主要結合歷年各地高考題來進行輔助說明，如何巧用導數法，解決函數和不等式問題。

一、借助導數法解決函數單調性的問題

在高中數學中，函數一般比較復雜，明確函數在定義域內的單調性往往是解題的第一步，可見函數單調性在解決函數問題上具有很重要的作用，例如判斷函數值大小、求極值、求取值范圍等都需要用到函數的單調性。

1. 借助函數單調性比較函數值的大小

在高考的數學大題中，函數通常具有抽象性和復雜性，在判斷函數值的大小的時候，我們通常首先要考慮的就是函數的單調性，在研究不等式的時候也要借助函數的單調性進行判斷。而判斷函數單調性最直接、最有效的方式就是用導數法，通過對函數進行求導，研究定義域內導數值的正負情況，就能夠確定函數在定義域的不同區間內的單調性。 導數值大于零，函數在區間內為單調遞增函數，導數值小于零，函數在區間內為單調遞減函數，進而就能快速的比較兩個函數值的大小關系。

2. 借助函數單調性求極值、最值或取值范圍

在一個函數中，通常會給出函數的定義域，要求求出函數在定義域內的最值或值域等，學生習慣性會將定義域兩端的函數值直接代入到原函數中，將計算得出的結果作為最終答案，但是實際上并非一定如此，只有函數在定義域內為單調函數時，定義域兩端才是最值點。但是高考題通常會給學生設置一些陷阱，函數在定義域上并非是單調函數，會出現拐點，如果是二次函數，我們能夠很快的找到拐點的位置，但是對于一些復雜函數，用常規的思維就很難找到拐點的位置，此時我們借助導數法求出拐點。即：函數導數為零的點會出現拐點，拐點處有可能就是函數的極值點，我們可以借助導數值的正負大致畫出原函數的變化趨勢，借助圖像更直觀的觀察出函數的極值點或最值點，進而求出極值或最值。因此，我們在解決和函數的極值、最值或值域有關的題目時，不僅要計算定義域兩端的函數值，同時還要求出拐點的函數值，綜合考慮才能夠得到正確的答案。

二、構造函數，借助導數解決函數和不等式問題

在解高考函數和不等式問題的時候，有時候題目給的函數并不是直接利用導數就能夠解決問題，需要我們先自己構造函數，然后再借助導數解決問題。常用的函數構造法有以下幾種。

1. 作差法

通常已知兩個函數f（x）和g（x），比較兩個函數的大小，此時需要構造出一個新的函數F（x）= f（x）- g（x），進而就將題目轉化成求函數的F（x）min≥0或者是F（x）max≤0，解決和函數最值有關的問題。

2. 分離參數法

分離參數是指對已知恒成立的不等式在能夠判斷出參數系數正負的情況下，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量的不等式，先求出含有變量的式子的最值，進而求出參數的取值范圍。

3. 局部構造

綜上，在高考數學解函數和解不等式中通常會以大題的形式進行考查，難度比較大，考查學生解題的靈活性和技巧性，然而導數就是解題的橋梁，將抽象、復雜的函數和不等式轉換成函數導數問題，將復雜問題簡單化。其實函數和不等式問題歸結起來涉及單調性、極值、最值、零點等問題，其中單調性是核心。

參考文獻：

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