數學學習中知識的遷移

王泓權 王宇

摘 要：初等數學與高等數學在研究內容、學習方法上的差異，初學者如何處理好高等數學時的過渡顯得尤為重要。通過5道證明題的解題思路，以“具體與抽象的辯證關系”“創新思維”為切入點，從中研究了知識遷移在學業過渡階段所起的作用，探討了以學生角度運用知識遷移作用的意義、促進遷移效果的方法，闡述了掌握抽象與具體的辯證關系需要知識遷移理論的支撐，提出了同化性遷移對于創新思維的引導。

關鍵詞：初等數學;高等數學;過渡;遷移

教育心理學所研究的學習遷移特指前一種學習對后一種學習的影響或者后一種學習對前一種學習的影響。

初學高等數學時，能夠處理好初等數學與高等數學的銜接問題和知識的過渡可以為后續的進一步學習做好準備。高等數學可以給初等數學的諸多定理合理地解釋，同時高等數學又離不開初等數學作為基礎，筆者通過一道定理證明的5個互相關聯的證明方法解釋“具體與抽象的辯證關系”“創新思維”闡述知識的遷移作用在數學學習中的重要意義。

一、具體到抽象——順向正遷移

題目：求證球體的體積公式：V球=4/3πR3

證明1：（中學知識證明）

已知半徑為R的球體的表面積公式為S=4πR2，在球表面隨機取一塊面積盡可能小的區域，區域面積設為s，因為面積盡可能小，所以可以將曲面近似看作是平面，以該區域為底面積，到球心的距離為高（高近似為R）的立體圖形可以看作一個底面積為s，高為h的椎體，其體積為1/3Rs，在這整個球體的表面一共取了這樣n個小區域，有S=ns，所以整個V球=nV錐=1/3Rns=4/3πR3

證明2：（二重積分）

相比于證明2，證明1中使用的中學證明的方法相對來說更加易于被中學生所理解。中學生的抽象概括能力有一定的局限性。在證明1中，積分區域是具體可視的球體。解決方法是分割法，物體的體積無法整體計算時就將其分割成小塊物體計算體積，而后求和。解法類似于切蛋糕，形象具體。這是學高等數學之前能夠掌握的方法。而證明2中的解法是積分，以二重積分作為工具，同樣運用證明1中的切割組合的方法進行計算。積分的推導過程就是先無限分割，再把這無限多份求和。

這種學習方法體現了正遷移的效果，正遷移是指一種學習對另一種學習起到積極的促進作用。在知識的遷移作用下，我們知道證明2中運用到的微積分類似于“切蛋糕問題”，更是拓展引申。遷移作用拉近了學生和新學知識的距離，激發了學生學習的欲望。

數學是一門嚴謹、縝密的學科，前后知識相輔相成。那我們作為學生如何利用好正遷移來幫助自己的數學學習呢？

（1）積極的學習態度是有利于知識的正遷移。斯卡特金主張“情感教育”，他說過：“教育效果取決于學生的學習興趣。”只有學生有了興趣，不去畏懼那些定理和規律，會積極主動地去探求、去思索、去學習。然而培養積極的學習態度不是老師或者家長同學能決定的，自己能夠心無旁騖地去學會發現，學會利用簡單概念去嘗試理解復雜概念，就能夠找到學習數學的信心。

（2）把握章節的連貫性，抓住相同要素在不同章節之間的聯系和差異，善于觀察課后習題和課上例題之間的相同要素，過仔細琢磨老師講解例題時使用的方法、定理來解決課后習題。比如證明中定積分、二三重積分在計算時都需要定限，可是定限又有不同，是簡單的數字定限或者是畫圖看投影定限，其中各自都有他們的差異點和相同點。

（3）培養抽象能力，數學所包含的抽象有解題方法的抽象，理論的抽象，符號的抽象。抽象能力是能夠把具體問題抽象成可以進行運算的式子。培養抽象能力有助于培養創新性思維和概括能力，使得面對問題時會主動進行思考分析，促進知識遷移的實現。

在數學學習中從具體到抽象是一種最基本的思維形式，也是數學研究的基本方向。順向遷移包含著從抽象到具體的思維方向，積極有效地順向遷移就是順向正遷移，我們應當正確認識、把握利用這種積極的學習影響作用，才能夠有效防止負遷移，提高學習效率。

二、抽象到具體——逆向正遷移

數學中的抽象能力最終將歸屬于具體，因為解決具體問題、應用于實踐才是數學研究的最終目的。在學習高等數學的過程中，僅有能力把具體轉化為抽象，感性認知轉化為理性認知是不夠的。

學生在學習數學方法時（以證明2—4中的微積分應用為例）如果能清楚地了解這樣的定積分、多重積分能夠解決的實際問題、它們的幾何意義，掌握每個符號的具體含義，例如：（1）證明3中，定積分的幾何意義是求坐標軸和被積函數所圍成的面積，題目是求證球的體積公式。所以定積分的旋轉體體積公式是將二維圖形轉化為三維圖形的工具。（2）證明2和4中，二重積分的幾何意義是投影面和積分曲面所圍成的體積。三重積分的幾何意義是求積分區域的體積。（3）不僅如此，重積分還可以應用在物理實際問題上，比如求磁通量、沖量。

經過這樣具體的說明，學生就能夠進一步理解微積分這個概念。同時得知微積分這個工具可以用來解決諸多的問題，提高了學生學習的動力。

這種把抽象化作具體的能力便是運用到了逆向正遷移。經過校園統計有部分學生在學習了一段時間的微積分之后甚至不知道微積分的用處，沒有把微積分當作解題工具，而僅僅是為了學習微積分而去學習。學生在學習微積分的時候去將其與具體的、易于理解的內容聯系起來，就可以增加學生的學習效率。逆向遷移能夠使得已經掌握的經驗、知識構架得到補充。以下是筆者的兩點建議：（1）善于將新學習的抽象概念和知識點與已經學習過的簡單具體的概念聯系起來，加深理解。（2）定期做知識點、概念的總結，了解課本內容中的知識結構。（3）老師講課時一般會用較為簡單、具體的語言來解釋較難理解的內容，所以上課聽講比課后自己吸收相對容易簡單。

在學習時，學生常常偏重于順向遷移，忽略逆向遷移。按部就班地學習模式不會提高學習效率。我們既需要順向正遷移的發生，也要逆向正遷移的發生。

三、創新思維——同化性遷移

證明5是利用證明2中二重積分的方法來解證明3中三重積分的題。對于求球體的體積來說，證明5的方法顯得復雜。然而，對于一些不易畫出立體積分區域或是定限容易出錯的題，使用這種方法即可避免畫積分區域這一步驟。我們探索后得知在求三重積分的題目時，不一定就要按部就班地直接解題，仍然可以運用已經學過的知識和創新思維來解決新的問題。

證明5中僅用二重積分的知識解決三重積分的題目便屬于同化性遷移。同化性遷移是不改變原有認知的前提下，將已有的認知經驗應用到本質相同的新事物上或將其添加進原有的知識結構中。

同化性遷移整個過程分為三個相輔相成、前后關聯的步驟：（1）了解題目的條件和問題，對題目的情境和性質進行初步的認知。（證明5中的已知條件和求解問題都相對于簡單。我們在這里將積分區域Ω假設成不易畫出的立體圖形;問題是求其體積。）（2）將已有的認知、經驗與將要求解的題目相聯系的過程。（在不畫出立體圖形的前提下，探討如何將已有的知識構架和題目結合起來。）（3）分析遷移題目和可用的經驗知識，探究它們的共有特征，進一步分析共有特征對于解題的幫助。在適當的題目變化之中，構造與原知識系統相對應的解題過程。（想法1：二重積分的幾何意義也可用于求體積。想法2：看所求體積是否關于坐標軸對稱，若對稱還可以用定積分旋轉體體積公式。）

遷移并非都是一次完成的，有時需要反復嘗試，反復熟練。三個相關聯的步驟一般也是反復、交叉的，主動地探究問題比接受老師的“灌溉”更有利于培養創新意識。學習上的主動積極也不是僅憑老師的一己之力就能調動的，反復地去體會“遇到問題-思考問題-解決問題”這一循環，將促進學習上的遷移效果、培養思維以及鍛煉能力。

四、結論

知識遷移是數學學習過程中重要的現象之一，也是將“目標知識”轉變為“內化知識”的有效途徑。初學高等數學時，充分利用知識遷移這一規律將有利于適應從中學的“大眾數學”到“高等數學”的過渡、提高學習能力，培養創新思維。

參考文獻：

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[4]許洪武.運用教育心理學原理開展數學教學的嘗試.廣西師范學院學報，2007-7，28專刊.

作者簡介：王泓權（2000—），男，漢族，江蘇鹽城人，2018級數學與應用數學專業本科生，研究方向：數學教育;王宇（1976—），男，漢族，陜西岐山人，碩士，講師，主要從事課程與教學論（數學學科）。