紙飛機拋出的最佳角度及重心位置數學建模

董曉紅 康平

摘 要：本文假設紙飛機比賽可以調整配重來改變重心，例如可以使用少量膠帶粘貼在機身上，調整重心的前后位置，同時需要考慮紙飛機滯空時間盡可能長，設計最佳重心位置和出手角度。

關鍵詞：紙飛機;重心位置;數學建模

1 問題分析

假設紙飛機翼面為精確平面，且比賽需要可以調整配重來改變重心，研究重心的位置對紙飛機的影響，以及紙飛機穩定性、受力，隨重心位置的改變情況，從而得重心的最佳位置。

2 問題的求解

2.1 重心對紙飛機的影響

若紙飛機的重心偏前：紙飛機前部就會向下俯沖，飛行距離就會減小，提前向下墜落;若紙飛機的重心偏后：紙飛機加速上升，重力增大，阻力也增大，紙飛機會快速墜落。因此在在紙飛機的折疊過程中，應盡可能將重心放置最佳升力點的位置上，這樣才能維持飛機飛行的穩定性和飛行時間。

2.2 升力來源

升力來源為空氣對機翼反作用力的向上分力，若分力在機翼表面均勻分布，則例如三角形機翼，升力的合力應該在飛機機翼的幾何重心位置產生作用力。

2.3 機翼面積的影響

若增大紙飛機的機翼面積，則空氣對機翼的反作用力增大，升力及阻力都增大。

若機翼的水平夾角小于45°，空氣對機翼的力量影響較大，仰角大于45°，影響阻力增大。

機翼面積增大，升力會變大，同時單位面積的重量越小，重量的增量越小。相對因素變小導致慣性變小，向前的動力也會受阻力影響而變小。

2.4 紙飛機的飛行距離與拋出角度的關系

當θ=45°此時紙飛機的升力達到最大值，使紙飛機從最高處向下滑翔（此時不考慮其他因素對紙飛機影響），而使飛機達到最遠的飛行距離。

先制作了幾組飛機，每一組盡可能的折出多種不同的形狀或結構的紙飛機，進行實驗，將測量的數據記錄下來。然后改進、調整紙飛機，如將紙飛機增大或增重，做第二次試驗。實驗結果表明：保持第一組飛機其他量不變，體積增大，飛行速度明顯減小，飛行距離也大大縮短;其他因素不變，增大質量會使飛行速度加大，飛行距離更遠;整體上飛行速度略有減慢但飛行距離略有增加。

2.5 問題的求解

2.5.1 常見紙飛機類型分析

簡易型：機身長度約為29.6cm;機翼翼展約為14.1cm;重心位置約為距機頭13～14cm;無襟翼、翼梢小翼和尾翼;機翼剖面為上凸形的弧線，翼身合一，可提升升力，但穩定性差;拋出方式影響飛機的穩定性，高速投擲時，飛行距離較大、方向性較準確。

傳統型：機身長度約為18.1cm，機翼翼展約為15.3cm;重心位置約為距機頭6～7cm;無襟翼、翼梢小翼和尾翼;翼身合一，機翼剖面為下凹形的弧線，比簡易型重心前移。

平穩性強于簡易型，但會出現上揚和回旋，投擲初速度過大，則出現明顯回旋，穩定性較差，投擲時小力拋出才能保持相對平穩飛行。

DC-03型：機身長度約為22.3cm，機翼翼展約為151cm，重心位置約為距機頭5～5.5cm;無襟翼，有翼梢小翼和尾翼，翼身部分合一，但機尾部分分離;在傳統型的基礎上，重心前移更多，同時機尾向后延伸，且幅度較大;穩定性比前兩種強，但由于重心靠前，不易上揚;投擲方式對穩定性影響不大;尾翼會受投擲速度影響，若拆除尾翼，會增強流暢性和穩定性，不同速度飛行表現俱佳。

2.5.2 紙飛機的軸線

（1）縱軸：由機鼻至機尾的軸線，稱為“縱軸”Longitudinal Axis。飛機繞縱軸轉動，控制飛機左右轉動。

（2）橫軸：由機兩翼連接、并貫穿重心的軸線，稱為“側軸”或“橫軸”Lateral Axis。飛機繞橫軸轉動，控制飛機下俯或上揚。

（3）立軸：由上至下、貫穿重心的軸線，稱為“立軸”“法線軸”或“垂直軸”Normal Axis。飛機繞立軸轉動，控制飛機方向。

2.5.3 作用效果

起飛階段：由于起飛時飛機由手部拋出，起到一定固定作用，繞縱軸的橫向翻滾，可以忽略不計。而起飛時，若手部施力點位置不當，易引起繞橫軸的俯仰轉動與繞立軸的方向偏轉。若施力點處于重心后，紙飛機會因為力矩失衡而翻滾。

飛行階段：將以上三種機型進行對比實驗，結果顯示，若紙飛機重心靠后，力矩失衡，紙飛機會發生下俯或上揚。同時很微小的方向偏轉，也會使得紙飛機一側的氣流變大，從而機翼升力變大，另一側氣流減小，同時升力減小，紙飛機也容易產生明顯翻滾。

機身平均高度/斜度：若折疊紙飛機的紙張大小恒定，調節紙飛機的機身高度也就調整了機翼的大小與展弦比，同時也就改變了升力的大小，使飛機能夠力矩平衡。

紙飛機的機翼，用于產生一部分升力來抵消重力，使紙飛機能夠滯空時間更長，同時若調整好重心位置與機翼配合，還能改變紙飛機的飛行姿態。

2.5.4 機翼的種類

翼梢小翼：即在機翼設計時在翼梢引入了小的垂直隆起，機翼上、下翼面的氣流竄動，會產生強漩渦氣流，從機翼往后延伸較長的距離，同時帶走了能量，增加誘導阻力。翼梢小翼可以削弱這類阻力，使紙飛機飛的更遠。

襟翼：機翼邊緣部分的一種翼面形可動裝置，襟翼可裝在機翼后緣或前緣，可向下偏轉或向后（前）滑動，其基本效用是在飛行中增加升力，也增加阻力。依據所安裝部位和具體作用的不同，襟翼可分為后緣襟翼、前緣襟翼。但紙飛機本身無動力，因此忽略不計。

尾翼：主要用于保持紙飛機的平衡，防止飛機打轉，增強紙飛機的滑翔力，保持空氣流動。

垂直尾翼：順氣流直立于飛機尾部，以保持航向平衡、穩定和航向操縱用的翼面。

水平尾翼：主要起減少紙飛機縱向震動和俯仰操縱的作用，來減少阻力，折出水平尾翼后紙飛機重心會向后移。

機翼的上反角、后掠翼：是指機翼安裝時，與水平面之間的夾角。也就是機翼向上翹。若飛機受氣流影響偏離了平衡位置，向一側傾斜（也就是開始帶坡度），飛機升力也隨之傾斜，并產生橫向的水平分量。該水平分量起到向心力作用，促使飛機在水平面內開始做圓周運動。這樣一來飛機產生內側滑（空氣從轉彎方向內側吹過來，飛機的速度方向和機身縱軸不在一條線上）內側滑使得側滑前翼迎角大于側滑后翼迎角，于是側滑前翼升力大于側滑后翼升力，造成內外兩側機翼出現升力差。升力差力圖消除坡度使飛機回歸平衡位置，于是飛機就具有能夠消除橫側擾動的影響，不需要施加外力干涉即可回歸平衡位置，起到橫向穩定的作用。

機翼的下反角、前掠翼：會降低飛機橫向穩定性，但增加橫向捷敏性和滾轉能力，有利于飛機做滾轉動作，增加機動性。在飛機傾側的時候，機翼相對氣流有側滑現象時，下方的機翼迎向側滑方向的一側機翼的迎風面積以會比另一側機翼要小，因此飛機滾轉作用力更大。可以防止機翼下的氣壓順翼尖方向與機翼分離逃逸。一方面可以減小誘導阻力，更重要的是在大迎角的時候，組織氣流沿著機翼前緣分離，優化大迎角激動能力。

2.5.5 展弦比

展弦比：大展弦比的機翼長且窄，小展弦比的機翼短且寬。短而寬的機翼（低展弦比）誘導阻力較大，適合高速物體，想要滯空時間更的則多采大展弦比以降低誘導阻力。若機翼面積相同，在相同條件下展弦比大的機翼產生的升力也大，因而能減小飛機的起飛距離和提高機動性。

2.5.6 機翼強度

以簡易型紙飛機為例，起飛階段：紙飛機機械強度不夠，但往往投擲速度較大，起飛時會形成很大阻力，使紙飛機變形，飛行距離縮短，增強機翼強度，能有效改善這一問題。飛行階段：紙飛機被投擲后，紙張會發生舒張，飛機所受空氣阻力的面積增大，增加機翼強度，會降低紙張舒張度，減少阻力面積，延長飛行距離。

2.6 改進

對幾種常見機型改進如下：

采用封閉式機頭來加大機翼下方的氣流量;

調整展弦比：小展弦比，展長約為13cm，機翼面積約為224平方厘米，展弦比約為0.876;大展弦比，展長約為15cm，機翼面積約為：161平方厘米，展弦比約為1.602。

機翼強度：若機翼位置緊挨機身，機翼震動非常小，升力增大，而機翼強度不加強可減輕單位面積重量。若機翼向外延伸，較易發生震動，因此將機翼前端折疊，來加強機翼強度。

翼梢小翼：機體本身的結構不易受翼梢小翼的影響，同時阻力減小，因此設置翼梢小翼。

大展弦比的紙飛機，往往機翼面積大，不易垂直震動，因此僅折疊垂直尾翼。

小展弦比的紙飛機，僅尾翼的效果不佳，因此需要設置水平尾翼與垂直尾翼。

2.7 調整重心位置

小展弦比的機翼：機頭至10cm/20cm處纏膠帶，調整重心位置。

大展弦比的機翼：機頭至5.5cm/13.5cm處纏膠帶，調整重心位置。

3 結論

通過對紙飛機進行研究，展弦比大的，升力也大，速度小但滯空時間較長，易受拋出方式的影響，而產生下俯、上揚、偏移等現象。展弦比小的，有很好的方向性，且其機翼面受力面積小，受氣流影響較小，升力也小，速度更快，不易受拋出但滯空時間相對較短。不同折法也會影響紙飛機飛行的距離。為了保持機身平衡，在折飛機時，可將機翼向上微折，尾部向上翹一點，這樣飛行過程中，空氣對紙飛機就會有一個向下的推力，進而能夠更加平穩地飛行。同時，紙飛機的機翼面積越大，在空中飛行的浮力也越大，飛行的時間就更久。

參考文獻：

[1]朱克勤.紙飛機.力學與實踐，2010，3：134-135.

[2]梁庭源.紙飛機一樣能遠航.物理與人類文明，2019，5，20.

[3]紙飛機“空中之王”的制作與飛行.百度文庫，2019，5，20.

課題：內蒙古自治區教育科學“十三五規劃課題”數學建模推進高職院校教學課程教學改革的研究NZJGH2019159

作者簡介：董曉紅（1983—），女，內蒙古包頭人，理學碩士，講師，主要從事高等數學的教學與研究工作。