超短激光脈沖加熱薄板的廣義熱彈擴散問題1)

李妍 何天虎 田曉耕,2)

*(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

?(蘭州理工大學理學院,蘭州 730050)

引言

超短激光脈沖是指脈沖持續時間在飛秒到皮秒的激光脈沖,其具有功率密度高、持續時間短、加工精度高等優勢.自1960 年Maiman[1]發現激光以來,超短激光脈沖技術已廣泛應用于鉆孔、切割、微納尺度加工、微電子器件制造等領域,并在生物醫療、核聚變和光通信等領域有著廣闊的應用前景.在超短激光脈沖加熱時,高強度的能量通量會在邊界上弓起極大的溫度梯度和超高的加熱速度[2],并會弓起材料中產生傳質現象.因此,超短激光脈沖熱源加熱所產生的熱應力問題在其實際應用中不容小覷.Wang和Xu[3]研究了受激光脈沖加熱的半無限大體中平面波的廣義熱彈問題,并說明了溫度與應變率之間的耦合效應;Youssef 和El-Bary[4]在廣義熱彈性理論(L-S,G-L 和G-N)的背景下,研究了受非Gaussian 激光脈沖加熱(脈沖持續時間為2 ps)的均勻各向同性半無限大體的溫度場和應力場;Elhagary[5]基于考慮一個松弛時間的廣義熱彈擴散理論,研究了邊界面受激光脈沖束加熱和時間相關的化學勢沖擊的厚板,結果表明:擴散對溫度和位移影響較小,而對應力影響顯著;Othman 和Eraki[6]基于雙相位滯后(DPL)模型,研究了受非Gaussian 激光脈沖加熱的各向異性半無限大體的熱彈響應;許光映等[7]基于分數階理論,研究了非高斯分布激光熱源輻射下半無限大體內部的復雜傳熱過程及熱變形,給出了溫度場和熱應力場的解析解;王殿愷等[8]以深刻揭示減阻機理為目的,針對激光與正激波相互作用這一基本物理現象開展了實驗研究,發展高精度紋影技術以測量復雜激波結構.

擴散現象是指物質分子從高濃度區域向低濃度區域轉移直至均勻分布的現象,鋼件的表面滲碳法(提高鋼件的硬度)、滲鋁法(提高鋼件的耐熱性),都利用了擴散現象.擴散現象由菲克定律描述,但菲克定律只考慮了擴散過程中傳質通量與濃度梯度間的關系,并未考慮物質與基體間的相互作用以及電、磁、熱、彈等多物理場間的耦合效應.為了克服上述缺陷,Nowacki[9]提出耦合熱彈擴散理論,該理論認為:不論物體中傳熱傳質過程的機理如何,都應服從經典的傅里葉定律和菲克定律.然而,由傅里葉熱傳導定律的控制方程q(r,t)=-κ?T(r,t) 可知:熱流矢量與溫度梯度同步,這預測著熱在介質中以無限大速度傳播,即:當介質中某一點受到熱擾動時,這種擾動效應瞬間會在無限遠處被感知,這一點與實驗觀測相悖.Maxwell[10]提出熱以波的形式進行傳播,Peshkov[11]在超流液態He 中發現了熱波,有力證明了熱量傳播過程中波動效應的存在,即熱以有限大速度傳播.與此同時,對于某些極端傳熱傳質過程,例如:極短時間、極高溫度梯度、時間空間皆屬微尺度的問題,傅里葉定律和菲克定律不再適用.鑒于此,Sherief 等[12]建立了廣義熱彈擴散理論,該理論預測熱傳導和擴散均以有限速度傳播,可準確描述極端條件下的傳熱傳質過程.基于廣義熱彈擴散理論,Xia 和Tian[13]采用有限單元法,研究了表面受熱沖擊的無限長中空柱的瞬態響應,結果表明:對于廣義熱彈擴散問題,有限元法是一種有效且精確的數值方法.Li 等[14]研究了具有可變熱傳導系數和擴散系數的半無限大體的瞬態熱彈擴散響應,該結構表面應力自由且受時間相關的熱和化學勢沖擊.Li 和Yu[15]建立了廣義電磁熱彈擴散耦合控制方程,研究了各向同性導電半無限大體中旋轉效應對熱彈擴散響應的影響.Li 和Guo[16]利用混合拉普拉斯變換-有限元方法,研究了考慮旋轉效應的磁熱彈擴散問題的瞬態響應.

Sherief 等[12]發展的整數階廣義熱彈擴散理論只能描述力學過程某時刻的變化和力學過程在空間某一確定位置的局部性質,對于某些反常擴散現象,即本構關系不服從標準梯度率的現象,其物理和力學過程通常涉及記憶和遺傳、路徑依賴以及全局相關性,此時,由分數階廣義熱彈擴散理論描述結構的熱彈擴散響應則更為恰當.Caputo 型分數階微分的形式如下[17]

f(t)在區間[a0,b0]內可積,m為整數,α 的取值范圍為m-1 ＜α ≤m,Kα(t-s)是核函數,Γ 是Gamma 函數,f(m)表示對函數f求m階微分.上式可準確描述物理過程的“記憶依賴效應”,即:系統的瞬時變化率依賴于過去狀態.

Wang 和Li[18]認為,式(1)有以下兩個方面的局限性:第一,對于一個給定的實數α,核函數Kα(t-s)是一個固定的函數,但從應用的觀點來看,不同的物理過程需要不同的核函數來反映記憶依賴效應,因此用可變的核函數來描述此過程就顯得尤為重要; 第二,分數階微分定義在區間[a0,t] 上,且a0是一個固定的實數,因此,上式對于描述發生在長時間t范圍內的記憶效應無效.事實上,一個真實物理過程的記憶依賴效應通常發生在一個時間區間里,即遲滯區間[t-ω,t](ω 表示遲滯時間) 內.受此啟發,Wang和Li[18]弓入記憶依賴微分(MDD)的概念來反映記憶效應,函數f的一階記憶依賴微分定義為:在一個可變遲滯區間上,核函數與函數導數積的積分.形式如下

其中,ω 是時間遲滯因子,K(t-ξ) 是可變的核函數.式(2) 的右側可以理解為:在遲滯區間[t-ω,t] 內,f′(ξ)取不同權重時的平均值.從應用的觀點來看,對于某時刻ξ ∈[t-ω,t),記憶依賴效應權重的取值范圍為0 ≤K(t-ξ)≤1,因此,記憶依賴微分Dωf(t)通常小于微分f′(t).核函數可以根據實際情況選擇,例如可取:1,其中p=0.25,1,2等.核函數K(t-ξ)是單調函數,對于過去時刻t-ξ,核函數K=0; 對于現在時刻t,核函數K=1.當K(t-ξ)≡1 時,可以得到

這表明:微分d/dt可以看作ω →0 時Dω的極限,因此

Yu 等[19]將記憶依賴微分(MDD) 弓入L-S 型廣義熱彈理論,相比于分數階廣義熱彈,其優勢在于:第一,新模型在形式上是唯一的; 第二,新模型更能反映出記憶依賴效應的本質;第三,新模型是由整數階微積分定義的,因此在數值計算時更加方便;最后,核函數和時間遲滯因子可以根據實際情況選擇,這對于描述材料的實際響應來說更加靈活.Ezzat 等[20]將含有時間遲滯因子的MDD 弓入廣義熱傳導方程來描述記憶依賴效應(系統的瞬時變化率依賴于過去狀態),基于此,Ezzat[21-24]進行了一系列相關研究.Shaw 和Mukhopadhyay[25]提出了MDD 熱傳導模型的不連續性,并將記憶依賴模型應用于瞬態熱力響應的研究.

當外部特征尺寸大于內部特征尺寸時,經典力學適用;外部特征尺寸接近于內部特征尺寸時,結構的力學響應會呈現出很強的尺寸相關性,此時,經典力學不再適用.例如:石墨烯、碳納米管等微納尺度結構,在受熱沖擊時,空間尺度效應十分顯著,經典的熱力學定律和廣義熱彈理論已無法準確預測結構的熱彈響應.為了描述微納尺度結構的空間非局部特性,Eringen 等[26]提出了非局部彈性理論,Eringen 認為:變形體內某點處的應力不僅與該點處的應變相關,還與變形體內其他點的應變(包括應變的歷史)相關,只是這種作用效應隨距離的增大而逐漸衰減.他提出了一種積分型的本構關系

其中,σij是非局部應力;是經典應力;K(r,r′,χ)是核函數,它是由質點r和r′間的距離|r′-r|及χ 決定的; χ 的定義為:χ=ea/l,l為外部特征尺寸,代表整個研究對象的大小,a為內部特征尺寸,代表非局部空間的大小.根據研究對象的不同,l可以取為裂紋長度、位錯寬度、應力波波長等;a可以取為化學鍵長、晶格尺寸等.e為材料特性參數,由不同的材料性質所決定;ea代表非局部參數.

非局部算子作用會導致微分-積分型控制方程,不便于求解.為了將其簡化,Eringen[27]弓入新的核函數和非局部算子,將積分型本構方程改寫為微分形式

Yu 等[28-29]將Eringen 非局部理論與非局部熱傳導方程相結合,建立了新的非局部廣義熱彈性理論,并考慮了非局部熱傳導對納米梁屈曲性能的影響; Zenkour[30]基于非局部熱彈性理論,研究了受到斜坡式加熱的經典歐拉伯努利納米梁的瞬態響應,考慮了非局部參數對各個物理量的影響;張培等[31]基于記憶依賴非局部廣義熱彈理論,研究了兩端固定、受移動熱源作用的有限長熱彈桿的瞬態響應.

文獻[32]雖然建立了考慮記憶依賴效應的廣義熱彈擴散理論,但未考慮材料的空間非局部效應,無法準確預測內外部特征尺寸相近結構的熱彈擴散響應.本文將空間非局部算子弓入本構方程,建立記憶依賴非局部廣義熱彈擴散理論,它可以準確描述熱傳導和擴散效應的記憶依賴效應和空間非局部效應.利用所建理論研究了受到非Gaussian 激光脈沖加熱和化學勢沖擊聯合作用半無限大薄板的熱彈擴散響應.獲得了結構的溫度、化學勢、位移、應力、濃度等隨非局部參數和時間遲滯因子變化的分布規律.

1 記憶依賴非局部廣義熱彈擴散理論

不考慮體力時的運動方程

式中物理量上方的點表示對時間求導,右下角的撇表示對物質坐標求導.

應變-位移關系

本構方程

能量方程

質量守恒方程

考慮記憶依賴效應的廣義熱傳導方程

考慮記憶依賴效應的廣義擴散方程

其中,ρ 是密度,ui是位移分量,eij是應變分量,λ,μ 是拉梅系數,δi j是克羅內克記號,ekk是體應變,θ 是溫度增量,P是化學勢,S是熵密度,C是濃度,qi是熱流矢量的分量,T0是參考溫度,Q是熱源強度,ηi是擴散流矢量的分量,ω1是熱時間遲滯因子,κij是熱傳導系數,ω2是擴散時間遲滯因子,Di j是擴散系數.

將式(7)和式(8)代入式(9),式(10)和式(12)代入式(14),式(11)和式(13)代入式(15),可得到記憶依賴非局部廣義熱彈擴散理論的控制方程

式中,T是絕對溫度,a是熱擴散效應度量,b是擴散效應度量,CE是比熱容,αt是線性熱膨脹系數,αc是線性擴散膨脹系數.

至此,能同時描述記憶依賴效應和空間尺度效應的記憶依賴非局部廣義熱彈擴散理論被建立.若熱源為非高斯熱源,可表示為

其中,Ra是表面反射率,L0是鐳射強度,δ 是熱源吸收深度,tp是特征時間.

2 問題的求解

作為算例,利用所建理論研究了邊界受非高斯熱源Q(x,t) 和化學勢沖擊P=P0H(t) 的聯合作用半無限大薄板的熱彈擴散瞬態響應問題,其中,H(t)代表單位階躍函數,P0代表化學勢沖擊的幅值.該結構初始靜止,邊界面應力自由.根據結構和載荷特點,問題可被簡化為一維問題(僅與坐標x有關).如圖1取薄板上的一窄條作為研究對象,除左邊界面外,其他3 個邊界均為理想的熱絕緣和化學勢絕緣條件.

圖1 半無限大薄板邊界受到熱和化學沖擊Fig.1 Schematic of the semi-infinite thin plate subjected to a non-Gaussian heat source and a chemical shock

位移分量為

應變分量為

方程(16)～(18)可寫成

本構方程為

功能翻譯理論以翻譯目的為總原則，將翻譯的焦點從對源語文本的再現轉移到更富挑戰性的譯語文本的創作，給翻譯，尤其是實用文本的翻譯實踐中出現的各種必不可少且行之有效的翻譯方法提供了理論依據?！?〕

為計算方便,弓入下列的無量綱量

為簡化表述,下文中在不弓起混淆的情況下將去掉無量綱量右上角的星號.式(22)～式(26)和式(14)經無量綱化處理后為

初始條件

邊界條件

應用下面的拉普拉斯變換公式

對式(28)～式(33)進行拉普拉斯變換

對邊界條件進行拉普拉斯變換

從式(37)～式(39)中消去ˉθ 和ˉP,可得到關于ˉu的六階常微分方程

特征根的表達式為

將式(49)、式(54)和式(55)代入式(38)和式(39),可以得到

將溫度、化學勢和位移的解代入式(40)～式(42),可以得到

至此,得到了所有物理量在拉氏域中的解.

3 拉普拉斯數值反變換

為了將所求得的物理量從拉氏域轉換到時間域中,還需進行拉普拉斯反變換.由于拉氏域中所得結果的復雜性,不便求其解析解,而應用數值計算的方法可以將求解過程簡化.本文中,采用Brancik[33]提出的Matlab 程序進行拉普拉斯數值反變換.

4 模型驗證及算例分析

考慮材料的記憶依賴效應和空間非局部效應,且邊界面受非高斯激光脈沖加熱和化學勢沖擊聯合作用的半無限大薄板,其瞬態響應與時間t、非局部參數e0a、熱時間遲滯因子ω1、擴散時間遲滯因子ω2、熱核函數K1(t-ξ) 以及擴散核函數K2(t-ξ) 有關.本文重點研究非局部參數、熱時間遲滯因子和擴散時間遲滯因子的變化對結構溫度、化學勢、位移、應力和濃度的影響.分析中用到的常量如下λ=7.76×1010kg/m·s2,μ=3.86×1010kg/m·s2,κ=386 W/(m·K),D=8.5 × 10-9kg·s/m3,αc=1.98 × 10-4m3/kg,ρ=8954 kg/m3,αt=1.78×10-5K-1,CE=383.1 J/(kg·K),a=1.2 × 104m2/(s2·K),b=9.0 × 105m5/(kg·s2),T0=293 K,L0=1.0×105J/m2,Ra=0.5,δ=0.01 m,tp=2.0 ps.

以下分析中所述量均為無量綱量,無量綱化學勢幅值P0=1.

4.1 模型驗證

為驗證所建模型的準確性,基于本文所建模型分析了邊界受熱和化學沖擊時板的響應,并與L-S 廣義熱彈擴散理論所得結果進行比較,分析中,熱核函數和擴散核函數均取為1.t=0.1 時刻模型取不同參數時板的溫度分布如圖2 所示.由理論可知,當所建模型的熱時間遲滯因子ω1、擴散時間遲滯因子ω2及非局部參數e0a均趨近于0 時,所建模型將退化為L-S 模型.由圖2 可知,當ω1,ω2和e0a的取值趨近于0 時,本文模型所得結果向L-S 模型結果靠近.如圖中所示,當它們取0.001 時,本文結果幾乎于L-S 結果重合.由此驗證了本文模型的準確性.

圖2 記憶依賴非局部模型與L-S 模型的對比Fig.2 Comparison between memory-dependent nonlocal model and L-S model

4.2 非局部參數e0a 的影響

圖3 隨非局部參數的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律Fig.3 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)with different nonlocal parameters

圖3 隨非局部參數的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律(續)Fig.3 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)with different nonlocal parameters(continued)

研究非局部參數e0a的變化對溫度、化學勢、位移、應力和濃度分布規律的影響.在計算中,非局部參數分別取:e0a=0,e0a=0.045 和e0a=0.09,時間、熱時間遲滯因子、擴散時間遲滯因子、熱核函數和擴散核函數的取值分別為:t=0.05,ω1=0.02,ω2=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結果如圖3 所示.

從圖3 可以看出:非局部參數取不同值時,位移和應力圖像變化顯著,而溫度、化學勢和濃度圖像幾乎不受非局部參數的影響.這是由于:非局部參數表征的是空間非局部效應,即它對本構方程影響顯著,對傳熱和傳質方程影響較小,而結構中的溫度和化學勢是由熱傳導方程和擴散方程控制的,故非局部參數的變化對位移和應力的影響顯著,對溫度、化學勢和濃度的影響不顯著.

由圖3(c) 可知,位移的峰值隨非局部參數的增大而減小,在靠近邊界處,位移的最大值隨非局部參數的增大而減小.當e0a的取值為小量(1.0×10-5)時,記憶依賴非局部模型與L-S 模型的位移曲線接近,此結論與理論預測一致,可驗證本文模型的準確性.由圖3(d) 可知,應力峰值的絕對值隨非局部參數的增大而減小.圖3(e)表明:溫度達到零值前濃度的減小速率遠遠大于溫度達到零值后濃度的減小速率.

4.3 熱時間遲滯因子ω1 的影響

研究熱時間遲滯因子ω1的變化對溫度、化學勢、位移、應力和濃度分布規律的影響.在計算中,熱時間遲滯因子分別取:ω1=0.02,ω1=0.05 和ω1=0.08,時間、非局部參數、擴散時間遲滯因子、熱核函數和擴散核函數的取值分別為:t=0.1,e0a=0,ω2=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結果如圖4 所示.

圖4 隨熱時間遲滯因子的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律Fig.4 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different thermal time delay factors

圖4 隨熱時間遲滯因子的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律(續)Fig.4 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different thermal time delay factors(continued)

由圖4(a) 可知,溫度在靠近邊界處隨熱時間遲滯因子的增大而增大,在x=0.15 直至熱彈波傳播至零的過程中,溫度隨熱時間遲滯因子的增大而減小.當ω1的取值為小量(0.001)時,記憶依賴非局部模型與L-S 模型的溫度曲線接近,此結論與理論預測一致,可驗證本文模型的準確性.圖4(b)表明:化學勢隨熱時間遲滯因子的增大而增大.由圖4(c) 和圖4(d)可知,位移峰值和應力峰值的絕對值均隨熱時間遲滯因子的增大而增大,在靠近邊界處,位移的最大值隨熱時間遲滯因子的增大而增大.圖4(e)表明:濃度隨熱時間遲滯因子的增大而減小.

4.4 擴散時間遲滯因子ω2 的影響

研究擴散時間遲滯因子ω2的變化對溫度、化學勢、位移、應力和濃度分布規律的影響.在計算中,擴散時間遲滯因子分別取:ω2=0.02,ω2=0.05 和ω2=0.08,時間、非局部參數、熱時間遲滯因子、熱核函數和擴散核函數的取值分別為:t=0.1,e0a=0,ω1=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結果如圖5 所示.

比較圖5(a) 和圖4(b) 可知,隨熱時間遲滯因子ω1的變化,化學勢圖像變化顯著,隨擴散時間遲滯因子ω2的變化,溫度圖像幾乎重合,此現象表明:傳熱對傳質過程影響顯著,而傳質對傳熱過程影響甚微.由圖5(b)可知,擴散時間遲滯因子越小,擴散波傳播的距離越遠,其原因是:遲滯時間越短,意味著過去態越接近于現在狀態,即時間越長,波傳播的距離就越遠.當ω2的取值為小量(0.001)時,記憶依賴非局部模型與L-S 模型的化學勢曲線接近,此結論與理論預測一致,可驗證本文模型的準確性.圖5(c)、圖5(d)和圖5(e) 表明:位移峰值隨擴散時間遲滯因子的增大而增大,在靠近邊界處,位移最大值隨擴散時間遲滯因子的增大而增大; 應力峰值的絕對值和濃度隨擴散時間遲滯因子的增大而減小.

圖5 隨擴散時間遲滯因子的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律Fig.5 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different diffusion time delay factors

圖5 隨擴散時間遲滯因子的變化.(a)無量綱溫度,(b)無量綱化學勢,(c)無量綱位移,(d)無量綱應力,(e)無量綱濃度的分布規律(續)Fig.5 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different diffusion time delay factors(continued)

5 結論

本文將空間非局部算子弓入本構方程,建立記憶依賴非局部廣義熱彈擴散理論,采取拉普拉斯變換及其數值反變換的方法求解廣義熱彈擴散耦合的一維問題,分析了不同參數對響應的影響,可以得到如下結論:

(1)在給定時刻,熱和擴散的擾動區域有限,這表明熱和擴散的傳輸呈現波動性,即熱彈波和擴散波均以有限大速度傳播;

(2)由于非局部參數僅僅修正本構方程,故非局部參數的變化對位移和應力的影響顯著,對溫度、化學勢和濃度影響;

(3)傳熱對傳質過程影響顯著,傳質對傳熱過程影響甚微.