汽車行駛誘發地表振動的解析研究1)

王立安 趙建昌 王作偉

(蘭州交通大學土木工程學院，蘭州 730070)

引言

隨著我國城鎮化進程的加速以及交通基礎設施的大規模建設，很大程度上促進了社會經濟發展，但也帶來了諸多負面影響，例如噪聲污染、環境振動等.交通網絡的密集布置使得越來越多的民房和古建筑處于道路沿線，加劇了汽車行駛引起的振動危害.有鑒于此，深入研究汽車行駛誘發的環境振動響應，并給出可靠的預測模型顯得極為重要.

近些年出現的文獻中，關于軌道列車引起地基振動響應研究已有很多[1-6]，而針對汽車載荷的地基振動響應研究卻較少.最早研究汽車載荷引起地基振動，是將汽車載荷簡化為移動點源或面源載荷進行研究[7-10]，而這種簡化是最理想的狀態，沒有考慮汽車懸架和輪胎的剛度、阻尼，以及地面狀況對車--地相互作用的動態影響.Fryba[11]提出一種考慮汽車懸架和輪胎剛度、阻尼的兩自由度1/4 汽車模型，該模型在后續研究中得到了廣泛應用并取得大量成果.如：孫璐等[12]利用兩自由度1/4 汽車模型分析了車--路動力相互作用；孫璐等[13]、黃新藝等[14]利用該模型分析了車--橋耦合振動響應；文獻[15-19]同樣利用1/4 車體模型對車--路面--地基系統的耦合振動響應做了研究.但值得注意的是，該模型盡管考慮了汽車懸架和輪胎的剛度、阻尼，但并未考慮輪胎在汽車行駛過程中的動態變形，將輪--地接觸假設為點接觸或接觸面積恒定不變的面接觸，這樣的假設無法反映輪胎包容性對車--地相互作用的影響，而且上述研究中都只考慮了車--地之間的豎向作用，并未考慮輪--地之間的縱向滾動摩擦.孫加亮等[20]對近年來多柔體系統的動力學建模、分析方法以及相關成果做了系統總結和綜述，并提出關于柔性部件動力分析的問題.郭孔輝等[21-24]在兩自由度1/4 汽車模型的基礎上考慮輪胎幾何濾波效應和彈性濾波效應，提出反映輪胎包容性的彈性滾子接觸模型，并做了實驗驗證.胡海巖[25]通過研究振動系統在狀態空間中的可達流形后發現，在計算非完整約束力學系統的自由度時，每一個非完整約束可以使得系統減少半個自由度.劉志浩等[26-27]建立輪胎歐拉梁模型進一步分析了輪胎包容性對振動特性的影響.范紀華等[28]基于絕對節點坐標的彈性線方法對履帶式車輛的動力學問題做了仿真分析.此外，也有學者采用現場實測的方法研究了汽車行駛誘發地面振動的特性，如葉茂等[29]、賈寶印等[30].但由于問題本身的復雜性且影響因素較多，實測方法未能得出有效的振動預測模型.

基于上述分析，本文在兩自由度1/4 汽車模型的基礎上結合郭孔輝[31]提出的彈性滾子接觸模型，建立汽車與地基系統的耦合振動模型，并同時考慮車--地之間的豎向和縱向作用，利用Fourier 和Laplace 積分變換推導出地表振動位移的解析解.經過數值計算，系統分析了車速、地面不平度和輪胎包容性對地表振動的影響規律.

1 計算模型

圖1 為1/4 汽車與地基相互作用的力學模型，車輪沿x方向以速度c勻速運動，o-x1為固定在車輪上的一維局部坐標系，方向平行于x軸，-r0≤x1≤r0，r0為輪胎半徑.圖中m1，m2為車身和車輪質量，z1=z1(t)，z2=z2(t)為車身和車輪的豎向位移；z0=z0(t)為地面不平度(路形函數)；K1，C1為汽車懸架剛度系數和阻尼，Kw，Cw為輪胎剛度系數和阻尼.2a，2b為輪胎著地長度和寬度，其中輪胎半寬b為常數，輪胎著地半長a=a(t)為隨時間的變化量.本文著重反映汽車行駛載荷的激勵特征，將地基考慮為均質彈性半空間.

圖1 模型示意圖Fig.1 Diagram of calculation model

地面不平度z0(t)采用簡諧波函數描述[24]

假設輪胎與地面間的接觸力均勻分布，輪--地間的相互作用力可分別由下式表示.

豎向作用力

縱向摩擦力

2 問題求解

2.1 汽車系統動力方程及求解

根據D’alembert 原理，兩自由度體系1/4 汽車系統的運動方程為

將式(7)、式(1)代入式(6)，得到

常微分方程組(8)的通解形式為

將式(9)代入式(8)，解得

式中

將式(10)依次回代到式(9)、式(7)、式(2)中，即可確定出輪胎的動態壓縮量

將式(12)分別代入式(3)～式(5)，則確定出qd(t)，fd(t)，a(t).

圖2 a，qd，fd 隨時間的變化曲線Fig.2 Curves of parameters a，qd，fd along time

圖3 物理量幅值,?, 隨車速的變化曲線Fig.3 Curves of,?,with speed of vehicle

實驗研究發現，輪胎充氣壓力增大，輪胎剛度增大而阻尼減小.為綜合反映輪胎包容性的影響，利用實驗擬合公式將輪胎剛度系數Kw和阻尼系數Cw統一用輪胎充氣壓力表示[32-33]

圖4 輪胎充氣壓力對，，的影響Fig.4 Curves of，， with tire pressure

圖4 輪胎充氣壓力對，， 的影響(續)Fig.4 Curves of ，， with tire pressure(continued)

式中，pr為輪胎充氣壓力(kPa).圖4 為三物理量幅值，，與輪胎充氣壓力的關系曲線.圖中發現，汽車在中、低速行駛時，胎壓對，，影響顯著；隨著pr增大，輪胎著地長度減小，輪--地作用力，增大.而高速行駛時，胎壓對三物理量幅值幾乎無影響.

2.2 地基動力方程及求解

均質彈性半空間直角坐標系下的運動方程為

本構方程

式中，σxz，σyz，σz為地基中一點的應力分量；對時間坐標引入如下Laplace 變換

式中，“?”表示對應物理量的Laplace 變換，s為變換參數.對式(2)進行Laplace 變換后，寫為

對x,y坐標引入如下雙重Fourier 變換對

式中，ξ，η 為Fourier 變換參數，“≈”表示對應物理量的雙重Fourier 變換.對式(18)進行雙重Fourier 變換，將其化為關于(ξ,η,z,s)的二階常微分方程

求解式(20)，得到

對式17(a)～式17(c)也進行雙重Fourier 變換，

并將式(21)代入，整理后得到

求解常微分方程組(22)，得到變換域中地基的位移解

對本構方程(15)做Laplace 和Fourier 變換后，并將式(21)、式(23)代入，得出變換域中地基的應力解

半空間表面(z=0)處的邊界條件寫為

式中，H()表示Heaviside 階躍函數.對式(25)進行雙重Fourier 變換和Laplace 變換后得到

式中

將式(23)、式(24)代入式(26)，得到

將式(28)回代到式(23)，則得到地基位移在變換域的解析式

通過對式(29)做雙重Fourier 逆變換和Laplace逆變換，并取z=0，則可得到空間域中地表位移(x,y,0,t),(x,y,0,t),(x,y,0,t).

3 算法驗證

根據前文推導出的公式，編寫程序計算地表振動位移，其中Fourier 逆變換采用離散傅里葉逆變換(IDFT)實現，Laplace 逆變換采用Crump 法[34]做數值反演.為了進行對比，地基參數取值與文獻[35]相同，楊氏模量E=2.69 × 108Pa，密度ρ=1550 kg/m3，泊松比ν=0.257，P波波速=263 m/s.通過觀察式(3)、式(5)、式(12)能夠發現，若取地面不平度幅值?B=0，則qd,a都變為定值，再取輪胎滾動阻力系數μr=0，則fd=0，本文模型即可退化為彈性半空間表面作用移動矩形載荷的地基動力響應問題，退化模型與文獻[35]相同.圖5 為觀測點A(350,0,0)處的豎向位移，圖中顯示本文結果與文獻解能夠很好的吻合.圖5 還反映出，當同時考慮豎向和縱向作用力時，地表振動位移明顯增大.

圖5 計算結果對比Fig.5 Comparison of calculation results

4 數值結果和討論

將2.1 節的汽車模型代入地基模型，即可算出汽車行駛誘發的地基振動位移.圖6 為計算出的t=0.1 s 時刻，地表豎向位移uz的空間分布，對比圖3(a)與圖3(b)的位移坐標值可以發現，車速增大時地表位移明顯增大.并且從圖3(a)中發現，振動位移沿縱向(x方向，汽車行駛方向)和橫向(y方向)的分布存在差異.為進一步考察該問題，圖7 繪出了振動位移分別沿x,y方向的衰減曲線.圖中顯示，在近場區域，沿縱向分布的振動位移明顯大于橫向，位移衰減距離也略大于橫向.通過對比圖8(a)～圖8(c) 還能發現，汽車行駛速度越低，則振動位移沿縱、橫向分布的差異越大.需補充的是，圖7 和圖8 給出的位移分布曲線與文獻[30]的實測曲線分布規律一致，進一步驗證了本文模型的可靠.

圖6 地表豎向位移uz 空間分布Fig.6 Distribution of vertical displacement

圖7 豎向位移沿縱、橫向的分布Fig.7 Distribution of vertical displacement along longitudinal and lateral directions

圖7 豎向位移沿縱、橫向的分布(續)Fig.7 Distribution of vertical displacement along longitudinal and lateral directions(continued)

圖9 為不同地面不平度因子β 取值下，地表振動位移的橫向分布圖，由圖可知，地面不平度對地表振動影響非常大，地面越不平順，振動位移越大，縱向分布具有相同性質.圖10 反映了輪胎充氣壓力pr對地表振動位移的影響，對比圖10(a)和圖10(b)發現，汽車在高速行駛時，pr對地表振動幾乎無影響；而在較低車速時產生一定影響，pr越大，地表振動位移越大.

圖8 不同行駛速度下振動位移縱、橫向分布對比Fig.8 Distribution comparison between longitudinal and lateral directions at different velocities

圖9 地面不平度對振動位移的影響Fig.9 Influence of ground irregularity β on vibration displacement

圖10 輪胎充氣壓力對地表振動的影響Fig.10 Effects of tire pressure on surface vibration

5 結論

利用1/4 車體模型和彈性滾子接觸模型建立車--地耦合系統的振動分析模型.模型中所有參數都物理意義明確，均可通過查表或試驗確定(地基參數).因此，本文給出的模型和算法可以作為一種預測汽車行駛誘發地基振動的理論方法.

文中通過理論推導和數值計算，分別討論了汽車行駛速度、地面不平度及輪胎充氣壓力對車--地相互作用和地表振動的影響規律.可總結出以下幾點結論：

(1) 相對而言，車速對于輪--地作用力的峰值影響有限(尤其高速行駛時)，而對載荷激勵頻率影響較大.故，車速主要通過改變車--地相互作用的激勵頻率來影響地表振動.

(2)地面不平度對車--地相互作用力和地表振動的影響最為顯著.

(3)輪胎包容性在較低車速時對車--地相互作用力和地表振動有一定影響，隨著車速增大，影響逐漸消失.