全局方向模板對非結構有限體積梯度與高階導數重構的影響1)

孔令發 董義道 劉偉

(國防科技大學空天科學學院,長沙 410073)

引言

非結構網格是CFD 數值模擬較常用的一類網格,其生成方便快捷,能夠在較少的人為干預下自動生成[1-2],這大幅度縮減了網格的生成周期;同時非結構網格具備較高的靈活性,其能快速高效地處理網格運動、網格變形以及網格加密等問題,并對不同外形具有較強的適應性[3-4].因此,相比多塊結構化網格,非結構網格的使用帶來了極大的便利.但當前制約非結構網格在復雜外形上應用的主要原因是,其很難保證計算效率與求解精度[5-7].因此,為了充分利用非結構網格自動化的生成能力,學者們不斷嘗試改進離散算法來突破精度損失以及穩定性惡化的瓶頸,實現網格生成自動化和數值模擬精準化的統一.

當前常用的非結構網格算法是二階精度有限體積方法[8-13],該方法被用于很多知名軟件與程序庫,如:Ansys’s Fluent(http://www.ansys.com),以及開源軟件OpenFOAM (http://openfoam.org) 等[14-17].在眾多不同的有限體積離散方法中,單元中心型[8-9,12]的非結構有限體積方法應用最為廣泛,該方法的離散過程相比單元頂點型更加簡便[18-19].但不論對于單元中心型還是單元頂點型的有限體積離散方法,梯度重構是影響求解器求解精度的重要過程[20-24].對于二階精度有限體積方法,目前較為常見的梯度重構方法包括格林高斯與最小二乘方法兩類[16].但為了提高計算效率與對流場的分辨率,一些學者嘗試將非結構有限體積方法向高精度推廣.關于高精度非結構有限體積算法的構造,Barth 等[25-26]基于最小二乘方法,構造了k-exact 重構算法.此后,Olliver-Gooch[27-33]基于k-exact 重構,發展了一系列高精度非結構有限體積離散方法.一般而言,隨著重構精度的增加,所需要的網格單元數量,即模板個數也會隨之增多,并且采用不同的模板選擇方法,對梯度與高階導數重構乃至最終流場計算結果會產生重要影響.

考慮到非結構網格不具備結構網格的笛卡爾索弓,所以在梯度重構的過程中只能依賴于一定的準則來尋找模板單元[34].目前較為常用的模板選擇方法是選擇與中心單元共面或共點的網格單元來構建模板集合.這兩種模板的數量可控,但選擇方式均依賴于固定的網格拓撲關系,無法在模板選擇過程中體現出流動的變化特征.如邊界層流動,該流動沿著壁面法向的變化劇烈,因此在重構過程中,我們更希望模板單元能夠盡可能多地體現沿壁面法向的流動信息.考慮到這個因素,2018 年Xiong 等[35]提出了基于局部方向的模板選擇方法,該方法在各向同性以及壓縮比較小的三角形網格上可近似沿著壁面法向與切向來擴充網格單元,能夠較為準確地反映流場變化,并且模板單元的擴充嚴格依賴于兩個局部方向,具備類似于結構網格沿著i,j兩個索弓方向求解的特點,并試圖通過弓入這種結構化特性[34]來改善基于非結構網格算法的數值表現.經過分析,這種模板選擇方式雖然初步考慮了流場的特征,但其單元局部方向的確定嚴格依賴于陣面推進過程(advancing front technique)[36-37],該過程在方向判斷時較為復雜.其次,在高度各向異性的三角形網格上,基于此方法找到的模板單元與壁面法向間的偏差較大,這將對梯度重構以及流場計算過程產生不利影響.

基于局部方向模板存在的問題,在前期的工作中,針對二階精度有限體積方法探索了一種新的模板選擇方法,并將其命名為全局方向模板.該方法不再依賴于每個網格單元獨立的局部方向,而是求解域的兩個全局方向,即壁面法向與切向,并且模板單元嚴格沿著全局方向依次擴充.該方法的優勢在于,找到的模板單元均沿著兩個相互垂直的全局方向,其空間延展性較好,具備更加明顯的結構化特征[34].更重要的是,全局方向模板選擇方法不再依賴于網格拓撲約束,即使在大壓縮比三角形網格上也能夠較為準確地反映流動的各向異性.此外,相比局部方向模板選擇方法,該方法更為簡便,避免了復雜的陣面推進與方向判斷過程.經算例驗證,采用全局方向模板得到的計算誤差相比局部方向模板更低,并且也接近甚至低于常用的共點模板.

為了進一步驗證全局方向模板在高階精度有限體積方法中應用的可行性,在此工作中,我們將初步測試采用全局方向模板對梯度以及高階導數重構準確性的影響.文章的總體結構如下:第1 節主要介紹了高階精度非結構有限體積離散方法以及k-exact 重構算法的基本過程;第2 節回顧了幾種常用的模板選擇方式,包括共點模板、共面模板,同時重述與分析了局部方向模板選擇方法的基本思路,并給出全局方向模板選擇方法的具體過程和在各向異性三角形網格上的表現效果;在文章的第3 節,為了驗證全局方向模板在高階精度有限體積方法上應用的可行性,我們在不同大壓縮比三角形網格上設置典型數值算例,來比較幾種不同模板對梯度與高階導數重構精度及準確性的影響,并在此基礎上對比了由不同模板得到的高斯點處的變量點值與導數誤差; 第4 節給出了本文結論與下一步工作展望.

為驗證全局方向模板在高階精度有限體積方法上應用的可行性,本文初步測試了該模板對變量梯度以及高階導數重構的影響,以期為高精度非結構有限體積離散提供一種更為簡單有效的模板選擇方式.

1 非結構有限體積方法

1.1 控制方程及其離散

針對無黏流動,積分型歐拉控制方程為

基于高斯積分公式,可將方程(1)中的散度體積分轉化為環面積分

式中,u為守恒變量,Fc(u) 為對流通量,n為控制體邊界面外法向矢量,V與?V分別代表積分域與積分域邊界.對于高階有限體積方法,該控制方程可被離散為

對于控制體i,Nf代表單元面數量.由于高階有限體積離散時,僅構造單元面中心點處的通量無法達到二階以上精度,因此在每個單元面處隨著精度要求的不同,所需要的高斯積分點的數量也不同.NG代表當前單元面處高斯積分點的數量,ωk與Φjk分別為每個高斯積分點處的權系數與數值通量,nj與S j為單元面處的單位外法矢量與單元面面積(二維時為單元邊長).圖1 給出了有限體積離散與通量構造的基本過程.

如圖1 所示,為采用近似黎曼方法[30-31]構造單元面某高斯積分點處的數值通量,需要首先構造單元面處的左右狀態矢量.

圖1 非結構有限體積離散與通量構造示意圖Fig.1 Unstructured finite volume discretization and flux construction

式中,與分別代表當前時間步高斯積分點處的左右狀態矢量,xG,yG;xi,yi與xj,yj分別代表高斯積分點以及單元i與單元j的中心點坐標值.在得到左右狀態矢量的基礎上,可采用Roe 格式[38-39]構造數值通量,其基本表達式如下

1.2 k-exact 重構算法

由于本文研究全局方向模板在高階精度非結構有限體積方法中的應用,因此采用k-exact 方法來實現梯度與高階導數重構.此過程需要利用中心控制體單元i的模板單元來構造重構函數Ri(x-xi),其包含單元i的平均值,并且任意多項式都可被函數Ri(x-xi)在不大于k階精度的條件下精確重構,即

但在重構過程中,為達到重構精度,始終需保證重構函數與待重構變量在控制體單元上的幾何平均值相等

式中V代表控制體.對于k-exact 重構,其重構函數的形式為

將方程(8)等式兩邊同時在控制體單元i上積分可得

式中,為幾何量在控制體上的體積分,Ollivier-Gooch 在文獻[32]中將其命名為Moments,該積分量的具體表達式為

在此基礎上,將重構函數Ri(x-xi)在單元j(即中心單元i的模板單元上積分可得

經簡化,方程(11)最終可表示為

參照方程(12),對于任意模板單元j,均可構造一個重構多項式,現將所有多項式整合可得到如方程(14)所示地矩陣方程組,通過求解該方程組,便可得到單元i的變量梯度及其高階導數

式中每一個重構方程前面都乘以權系數ωij

該系數采用參考點之間距離倒數的形式,用來強調距離中心單元較近的模板單元對重構結果的影響.

2 模板選擇方法

首先介紹了兩種常用的模板選擇方法,其次討論了基于局部方向的模板選擇方法,并在大壓縮比三角形網格上分析了這種模板存在的問題.最后,在局部方向模板缺陷的基礎上,給出了全局方向模板在不同壓縮比三角形網格上的表現效果,以進一步突顯全局方向模板的優勢.

2.1 兩種常用的模板選擇方法

較常用的模板選擇方式有兩種,分別為共面模板與共點模板.顧名思義,共面模板由與中心單元共單元面的網格單元組成,共點模板則由所有與中心單元共頂點的網格單元組成.如圖2 所示,兩種方法的模板單元數量由模板層數控制.如對于共點模板,其第一層模板是所有與中心單元共頂點的網格單元,而第二層模板則是所有與第一層模板共頂點的網格單元.

圖2 共面與共點模板Fig.2 Face-neighbor and vertex-neighbor stencils

如圖所示,共點與共面模板均依賴于固定的網格拓撲關系,針對不同流動,這兩種模板選擇方式無法較好反映流場特性,例如邊界層型流動所表現出的流動各向異性.

2.2 局部方向模板選擇方法

針對上述兩種模板選擇方式存在的問題,Xiong等[35]在2018 年提出了一種具有分維特征的結構化模板構造方法.所謂結構化[34],是指模板選擇沿著兩個相互垂直的方向進行.其次在確定局部方向的過程中,能夠盡量保證找到的兩個局部方向沿著壁面法向與流向,以此來捕捉流動的變化.

圖3 三角形單元局部方向的可能組合方式Fig.3 Possible combinations of local directions on triangular cell

對于局部方向的確定,首先要將網格單元分為四邊形與三角形兩種情況來考慮.如圖3 所示,如果網格單元是四邊形,兩個局部方向則為兩組對邊中點的連線;但三角形單元由于不存在兩組對邊,因此Xiong 等[35]將三角形的其中一個頂點視作由四邊形的一條邊退化而成,并將這個點稱為三角形單元的退化點.進而三角形網格單元的局部方向由退化點與對邊中點的連線(其被命名為第一局部方向),以及另外兩條邊中點的連線(第二局部方向)組成.從圖3 可以看出,對于一個三角形單元而言,其退化點的位置有三種不同的可能性,因此三角形網格單元的局部方向也存在三種可能的組合方式.

采用陣面推進技術[36-37]可最終確定退化點的位置以及局部方向的最終組合方式,由于其過程繁瑣,在此不再闡述.經過陣面推進后,可以找到所有網格單元的局部方向組合,如圖4 所示.圖中黑色線段代表三角形網格單元及壁面,紅色線段表示單元內的局部方向.

圖4 三角形網格單元的局部方向Fig.4 Local directions of triangular cell

在確定所有單元局部方向的基礎上,可沿著兩個局部方向來擴充模板單元.但對于三角形單元,沿著局部方向確定模板單元還需要分為按點尋找與按邊尋找兩類,該過程涉及局部方向的傳遞與夾角的判斷,由于較為繁瑣,本文不再重述其詳細判斷規則,具體過程見文獻[35].

圖5 展示的是在不同網格壓縮比的三角形網格上沿局部方向找到的模板單元效果.如圖5(a)所示,當網格壓縮較小時,第一局部方向接近壁面法向,沿著兩個局部方向找到的模板單元體現出結構化分維特征;此外,模板的空間延展性更好,能夠較為準確地反映流場變化.但該方法仍存在一些問題,如圖5(b)所示,當網格壓縮比較大時,模板呈現“畸形”現象.

圖5 在不同壓縮比三角形網格上的局部方向模板Fig.5 Local-direction stencil cells on triangular grids with different aspect ratios

出現這一問題的原因在于針對高度各項異性的大壓縮比三角形網格,基于“陣面推進”方法得到的局部方向嚴重偏離壁面法向,并且兩個局部方向之間的夾角較小,導致模板在空間的延展性較差,無法正確反映局部流動變化.

鑒于上述局部方向模板存在的問題,迫切需要發展一種新的模板選擇方式,并具備能脫離網格拓撲約束與準確反映流動變化特征的能力.

2.3 全局方向模板選擇方法

2.1 與2.2 節回顧了兩種常用的模板選擇方法以及局部方向模板的基本思路,討論了其在不同網格上的表現效果.經分析,局部方向模板雖體現了結構化特征,在壓縮比較小的三角形網格上能夠較為準確地反映流場變化,但隨著網格壓縮比的增大,其第一局部方向逐漸偏離壁面法向,導致方向性的失效.據此,在之前的工作中,我們設計了一種基于全局方向的模板選擇方式,并將其應用于二階精度非結構有限體積方法.所謂全局方向,是指對于邊界層型各向異性流動,首先可以確定兩個特征方向,其中一個方向沿著壁面法向,也就是流場變化劇烈的方向,通常沿該方向的網格尺度較小; 另外一個方向沿著流向,對應的網格尺度較大.所有的模板單元均沿著兩個全局方向依次擴充,因此避免了局部方向模板選擇方法中的陣面推進過程,并且具備準確反映流場特征的能力.

具體而言,首先對于控制體單元,過單元中心作兩條平行于壁面法向與切向的直線,其次在給定的單元集合中找到與兩條直線相交的網格單元來構建新的模板.通常,該單元集合由與中心單元共點的網格單元構成.圖6 所反映的是全局方向模板在不同壓縮比網格上的效果,圖中紅色與黑色虛線分別代表全局方向以及網格邊界面法向,綠色、藍色、橙色以及黃色的網格單元分別代表中心單元、第一層與第二層共點單元,以及全局方向模板單元.如圖6 所示,所有的模板單元均沿著兩個正交的方向,更加直觀地體現出結構化分維特征;其次,不論網格是否存在大壓縮比,全局方向模板始終沿著壁面法向與切向.因此,相比局部方向模板,全局方向模板可更加準確地準確捕捉到流動的各向異性特征.

根據圖中所反映的現象可以看出,基于該方法確定的模板單元能夠更加準確地反映流場特征,并且隨著共點單元層數的增加,模板單元沿兩個全局方向依次增加,因此模板數量可得到較為準確的控制.此外,經算例驗證,采用全局方向模板可有效提高二階精度非結構有限體積方法的計算準確性.為了進一步推廣全局方向模板在高精度方法中的應用,在下一節我們將通過典型的數值算例來初步檢驗該模板對變量梯度及高階導數重構的影響.

圖6 在不同壓縮比三角形網格下的全局方向模板Fig.6 Global-direction stencil cells on triangular grids with different aspect ratios

3 梯度和高階導數重構精度測試

為了檢驗全局方向模板在高階精度非結構有限體積方法中的數值表現,本節在不同壓縮比的三角形網格上設置了一個典型的數值算例[33]來檢驗采用該模板得到的變量梯度與高階導數的重構準確性,并將其與局部方向模板以及共點模板的重構效果對照,進而驗證新模板選擇方法的有效性,及其在高精度方法中應用并推廣的可行性.待測函數的形式如下該函數連續可導,且給定的求解域范圍是x,y∈[-0.5,0.5]×[-5e-AR,5e-AR],其中AR表示網格的壓縮比,α 與β 為兩個實數,其之間的關系為:β/α=AR.在網格壓縮比較大時,此函數沿著y方向(對于直線邊界網格即壁面法向)的變化劇烈,而在大壓縮比情況下,沿著x方向變化較小,這種變化特征與邊界層型流動所表現出的現象相似.

此外,采用的計算網格為由背景四邊形剖分得到的三角形網格.為了體現非結構網格的隨機特性,并降低計算對網格的要求,如圖7 所示,我們分別測試了規則剖分與隨機剖分兩種網格拓撲,并對兩種拓撲下的規則網格添加隨機擾動,以充分對比不同模板的計算效果差異.

為更加直觀地體現在高度各向異性網格下,不同模板對梯度與高階導數重構的影響,文章中給出了壓縮比AR=103時由4 種網格分別得到的計算結果,并在每種網格拓撲下,設置了由疏到密的5 套網格.5 套疏密程度不同的背景四邊形網格在x與y方向網格量的分布如表1 所示.

圖7 計算網格示意圖Fig.7 Schematic diagram of computational grids

表1 背景四邊形網格的網格量分布Table 1 The distribution of background quadrilateral grids

對于高階精度非結構有限體積方法,重構過程的待求量除變量梯度外,還有其高階導數.本算例測試了在三階精度下的重構效果,并采用變量梯度以及高階導數的L2誤差(平均誤差) 來進行誤差收斂性分析.算例的解析解已知,通過對函數(16)求導可得

考慮到重構單元梯度與高階導數的最終目的是計算單元面高斯積分點處的變量點值與導數值,以構造對流通量與黏性通量.因此,本節在測試單元梯度與高階導數的基礎上,為了進一步驗證不同模板的重構結果對實際計算的影響,還分別統計了在不同網格上,單元面高斯積分點處的變量點值與導數誤差.

計算變量點值與導數時,由單元中心插值到高斯積分點即可,如公式(18)所示

式中,下標Gk與下標i分別代表高斯點與單元中心.

3.1 規則網格下的數值計算結果

圖8 和圖9 給出的計算結果分別代表在規則網格上,使用3 種模板得到的兩個一階導數?u/?x,?u/?y,以及高階導數?2u/?x2,?2u/?x?y和?2u/?y2的L2誤差.如果該函數的解具有三階精度,則其一階導數(即梯度) 應具備二階精度,二階導數應具有一階精度.同時,在圖表中為簡化對不同模板的描述,使用V-Stencil、L-Stencil 以及G-Stencil 來分別表示共點模板、局部方向模板以及全局方向模板,Slope2 與Slope1 代表二階與一階精度標準線.此外,表2 所列舉的數據為:在規則密網格上,由3 種模板得到的梯度以及高階導數L2誤差的具體數值.

圖8 規則網格梯度L2 誤差Fig.8 L2 norm of gradient errors on regular grids

圖9 規則網格上高階導數的L2 誤差Fig.9 L2 norm of high-order derivative errors on regular grids

圖9 規則網格上高階導數的L2 誤差(續)Fig.9 L2 norm of high-order derivative errors on regular grids(continued)

表2 密網格上梯度與高階導數的L2 誤差Table 2 L2 errors of derivatives on the vfin grid

從圖8 反映的結果可以看出,3 種模板選擇方法下梯度的計算結果均達到了設計精度,并且采用全局方向模板得到的?u/?x與?u/?y誤差與共點模板接近.然而局部方向模板的數值表現較差,采用該模板選擇方法得到的計算誤差在3 種方法中最高.此外,我們統計了高階導數的重構誤差,其結果如下.

從圖9 可以看出,局部方向模板的計算誤差在3種方法中偏高,?2u/?x?y和?2u/?y2兩項與常用的共點模板差距較大.此外,結合表2 中的數據可以看出,全局方向模板的?2u/?y2誤差與共點模板接近,但稍高于共點模板,而?2u/?x2與?2u/?x?y誤差在3 種模板中最低.因此,當采用規則剖分的三角形網格時,全局方向模板在梯度與高階導數重構方面具有較好的數值表現.

此外,為了進一步檢驗重構結果對實際計算的影響,我們統計了高斯積分點處的變量導數與點值誤差.統計結果如圖10、圖11 以及表3 所示.

圖10 高斯積分點處梯度L2 誤差Fig.10 L2 norm of gradient errors at Gauss point

圖11 高斯積分點變量點值L2 誤差Fig.11 L2 norm of variable errors at Gauss point

表3 密網格上高斯點處的變量點值與導數的L2 誤差Table 3 L2 errors of variable and derivatives at Gauss points

從圖10 與圖11 以及表3 可以看出,在高斯積分點處,采用全局方向模板得到的變量導數與點值誤差與共點模板接近,但均低于局部方向模板.因此,全局方向模板對單元梯度與高階導數重構的優勢,在高斯積分點處得到了較好地驗證.

3.2 擾動網格下的數值計算結果

在規則三角形網格的基礎上,我們對其添加隨機節點擾動,以測試不同模板對隨機擾動網格的適應性.圖12 與圖13 分別列舉了梯度與高階導數的L2誤差.

圖12 擾動網格梯度L2 誤差Fig.12 L2 norm of gradient errors on perturbed grids

圖13 擾動網格上高階導數的L2 誤差Fig.13 L2 norm of high-order derivative errors on perturbed grids

從圖12 的結果可以看出,由全局方向模板得到的梯度誤差明顯低于局部方向模板,并且與共點模板的計算結果接近.此外,高階導數的重構結果如下.

從圖13 可以看出,在擾動網格上高階導數的誤差變化規律與規則網格相似,全局方向模板對三個高階導數的重構均有較好的數值表現.此外,高斯積分點處的變量導數與點值誤差統計結果如圖14 和圖15 所示.

圖14 高斯積分點處梯度L2 誤差Fig.14 L2 norm of gradient errors at Gauss point

圖15 高斯積分點變量點值L2 誤差Fig.15 L2 norm of variable errors at Gauss point

從圖中可以看出,當網格存在擾動時,高斯積分點處的誤差變化規律同樣與規則網格接近.此外,結合對單元梯度與高階導數的重構結果,可以充分說明全局方向模板對擾動網格同樣具有較好的適應性.

3.3 隨機剖分擾動網格下的數值計算結果

從3.2 節可以看出,對網格添加隨機節點擾動后,誤差的變化規律與規則網格相似.為簡化結果分析,本節給出了對隨機剖分網格添加節點擾動后的數值結果.圖16 與圖17 分別給出了梯度與高階導數的L2誤差.表4 中列出的數據為密網格上,各階導數的具體誤差值.

圖16 隨機剖分擾動網格梯度L2 誤差Fig.16 L2 norm of gradient errors on randomly-diag perturbed grids

圖17 隨機剖分擾動網格上高階導數的L2 誤差Fig.17 L2 norm of high-order derivative errors on randomly-diag perturbed grids

從圖中反映的結果可以明顯看出,由全局方向模板得到的兩個一階導數均達到了二階精度,但由局部方向模板得到的?u/?x項的計算精度低于上述兩種模板,并且其計算誤差明顯偏高.在此基礎上,還統計了高階導數的重構誤差.

表4 密網格上梯度與高階導數的L2 誤差Table 4 L2 errors of derivatives on the vfin grid

從圖 17 可以看出,由全局方向模板得到的?2u/?y2與共點模板接近,并稍高于共點模板,而?2u/?x2與?2u/?x?y誤差在3 種模板中最低.此外,從2.3 節對全局方向模板的描述以及圖6 中可以看出,相比共點模板,全局方向模板可有效減少用于重構過程的模板數量.因此,該模板的使用不僅顯著改善了高階精度非結構有限體積方法的計算準確性,而且可提高計算效率.

為檢驗在當前網格拓撲上,不同模板的單元梯度與高階導數重構結果對實際計算的影響,我們同樣統計了高斯積分點處變量導數與點值誤差,統計結果如圖18 和圖19 所示.此外,表5 中列出的數據為3 種模板在密網格上的具體誤差值.

從統計結果來看,由全局方向模板得到的高斯點處的變量導數與點值誤差與共點模板接近,并稍低于共點模板.因此,全局方向模板對梯度與高階導數重構的優勢得到了較好地驗證.

圖18 高斯積分點處梯度L2 誤差Fig.18 L2 norm of gradient errors at Gauss point

圖18 高斯積分點處梯度L2 誤差(續)Fig.18 L2 norm of gradient errors at Gauss point(continued)

圖19 高斯積分點變量點值L2 誤差Fig.19 L2 norm of variable errors at Gauss point

表5 密網格上高斯點處的變量點值與導數的L2 誤差Table 5 L2 errors of variable and derivatives at Gauss points

反觀局部方向模板,由2.2 節的分析可知,在高度各向異性的三角形網格上,由于局部方向與壁面法向間存在較大偏差,導致模板單元無法較好地反映流動的各向異性特征.從重構結果與高斯積分點處的誤差統計也可以看出,局部方向模板的計算誤差較高.因此,當采用高度各向異性的三角形網格時,不宜使用這種模板選擇方式.

4 結論

本文通過對比不同模板得到的變量梯度與高階導數重構結果,驗證了全局方向模板在高階精度非結構有限體積方法中應用的可行性.首先從操作層面而言,相比局部方向模板,全局方向模選擇方法的過程簡便,避免了陣面推進與局部方向傳遞過程,顯著降低了模板選擇這個前處理過程的復雜程度; 相比常用的共點模板選擇方法,新方法只需要在確定共點單元的基礎上,找到其中與兩個全局方向相交的網格單元即可,這個過程并未弓入任何復雜性.

其次從計算結果來看,不論網格拓撲是規則剖分還是隨機剖分,采用全局方向模板得到的梯度與高階導數誤差明顯低于局部方向模板,同時在計算高階導數時,全局方向模板得到的(?2u)/(?x2) 與(?2u)/(?x?y)誤差值相比常用的共點模板更低.并且相比共點模板,全局方向模板的使用可有效減少重構過程所需的模板單元數量,在一定程度上可節約CPU 時間,提高計算效率.

此外,為檢驗不同模板的重構結果對實際計算的影響,本文還統計了高斯積分點處變量點值與一階導數的誤差.經檢驗,全局方向模板得到的變量點值及導數誤差與共點模板接近,并稍低于共點模板,而局部方向模板的誤差值相對偏高,不利于對流通量與黏性通量的構造.

綜上,全局方向模板在梯度與高階導數重構過程數值表現良好,并且重構優勢在高斯積分點處得到了較好地驗證,具有在高階精度非結構有限體積求解器上應用并推廣的可行性.接下來的工作將從兩個方面開展,首先從應用層面,將進一步測試其在高精度非結構有限體積方法中的數值表現.其次從數值分析層面,在不同類型的網格上對重構矩陣的條件數與奇異性分析,以及相應的模板優化工作同樣也是下一步研究的重點.