連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)基頻最大化設(shè)計(jì)1)

程長(zhǎng)征 卞光耀 王選,2) 龍凱 李景傳 吳喬國(guó)

*(合肥工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系,合肥 230009)

?(合肥工業(yè)大學(xué)土木工程結(jié)構(gòu)與材料安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230009)

**(華北電力大學(xué)新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 102206)

引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展,很多新型材料被研制并成功應(yīng)用于不同領(lǐng)域,其中纖維增強(qiáng)復(fù)合材料就是最常用的一種,已在汽車(chē)、建筑以及航空航天工業(yè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1].纖維增強(qiáng)復(fù)合材料由基體材料和增強(qiáng)材料兩部分組成.與單獨(dú)組分材料和傳統(tǒng)的金屬材料相比,纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在強(qiáng)度、剛度、抗斷裂、抗疲勞、熱穩(wěn)定性等諸多方面具備更優(yōu)良的性能.另一方面,當(dāng)結(jié)構(gòu)所受的外激勵(lì)頻率與自身的固有頻率接近時(shí),就會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象,共振會(huì)導(dǎo)致機(jī)器破壞、橋梁倒塌等嚴(yán)重危害.因此,本文開(kāi)展連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)基頻最大化設(shè)計(jì)研究具有重要意義.

基頻最大化是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中被廣泛關(guān)注的優(yōu)化問(wèn)題之一.Ma 等[2]采用均勻化方法較早研究了動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.Pedersen[3]通過(guò)弓入新的材料剛度插值格式避免了基于SIMP (solid isotropic material with penalization) 方法的頻率優(yōu)化中在低密度區(qū)出現(xiàn)的局部模態(tài)現(xiàn)象.為了適應(yīng)實(shí)際制造工藝要求,Niu 等[4]采用均勻化方法實(shí)現(xiàn)了蜂窩材料結(jié)構(gòu)在宏觀和微觀兩個(gè)尺度上同步優(yōu)化以最大化結(jié)構(gòu)基頻,Huang 等[5]基于BESO(Bi-directional evolutionary structural optimization)方法研究了體積約束下的結(jié)構(gòu)一階頻率最大化問(wèn)題.Xia 等[6]基于水平集方法研究了結(jié)構(gòu)在無(wú)阻尼自由振動(dòng)下的頻率最大化問(wèn)題,得到了光滑的拓?fù)錁?gòu)型邊界,在此基礎(chǔ)上,他們進(jìn)一步考慮了均勻邊界腐蝕對(duì)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題中基頻的影響[7].高興軍和馬海濤[8]提出了一種將移頻與虛假模態(tài)識(shí)別相結(jié)合的通用方法,以消去連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力拓?fù)鋬?yōu)化中局部模態(tài)的不利影響.動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方面的研究還包括最大化高階本征頻率或最大化兩階本征頻率的帶寬[9]、最大化受迫振動(dòng)下的動(dòng)柔度[10-13]等.此外,還可以將上面度量結(jié)構(gòu)的振動(dòng)效應(yīng)的指標(biāo)作為約束函數(shù)來(lái)建模[14-15].文獻(xiàn)[16]從不同優(yōu)化方法角度對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題做了較為全面的綜述.

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的纖維角度優(yōu)化問(wèn)題也是被大家關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.Pedersen[17]基于OC準(zhǔn)則方法(optimality criteria based method) 實(shí)現(xiàn)了層壓膜結(jié)構(gòu)的厚度和纖維角度優(yōu)化.Luo 和Gea[18]基于能量的方法以應(yīng)變能最小化或基頻最大化為目標(biāo),實(shí)現(xiàn)了三維板殼結(jié)構(gòu)的纖維角度優(yōu)化問(wèn)題.Setoodeh等[19]基于SIMP 方法研究了單工況和多工況載荷作用下二維復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型和纖維角度的同步優(yōu)化問(wèn)題,以最大化結(jié)構(gòu)的剛度.Stegmann 和Lund[20]基于多相材料插值思想提出了一種新穎的DMO(discrete material optimization method)實(shí)現(xiàn)了一般的層壓復(fù)合殼的纖維優(yōu)化.Niu 等[21]將DMO 法拓展到考慮最小聲輻射的層壓復(fù)合板結(jié)構(gòu)的離散纖維角度優(yōu)化問(wèn)題中.Gao 等[22]將復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的離散纖維優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法處理的材料選擇問(wèn)題,提出了一種有效的二值參數(shù)化列式.段尊義等[23]將連續(xù)化懲罰策略與Heaviside 懲罰函數(shù)弓入傳統(tǒng)DMO 模型中,提高了復(fù)合材料單層板結(jié)構(gòu)的纖維角度優(yōu)化的收斂率.他們還將所提方法拓展到纖維角度和結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型一體化優(yōu)化問(wèn)題中,以最大化結(jié)構(gòu)的剛度[24].Xia 和Shi[25]基于Shepard 插值方法[26]構(gòu)造了一個(gè)連續(xù)分布的纖維場(chǎng),研究纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的剛度最大化問(wèn)題.Yan 等[27]以最大結(jié)構(gòu)剛度為目標(biāo),基于雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法提出了一種實(shí)現(xiàn)正交材料纖維方向和結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的同步優(yōu)化.Xu 等[28]實(shí)現(xiàn)了考慮載荷不確定性的纖維增強(qiáng)復(fù)合結(jié)構(gòu)的纖維方向的魯棒性?xún)?yōu)化.Papapetrou等[29]將SIMP 方法和水平集方法結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了纖維角度和結(jié)構(gòu)拓?fù)涞耐絻?yōu)化,以最大化結(jié)構(gòu)的剛度.Luo 等[30]針對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的剛度最大化問(wèn)題,提出了離散-連續(xù)的參數(shù)化列式,可有效減小優(yōu)化問(wèn)題陷入局部?jī)?yōu)化解的風(fēng)險(xiǎn).

可以看出,現(xiàn)有文獻(xiàn)大部分關(guān)注單一均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)錁?gòu)型的優(yōu)化、或單純考慮纖維角度優(yōu)化問(wèn)題,另外,關(guān)于纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型和纖維方向的同步優(yōu)化方面的研究大部分關(guān)注剛度最大化優(yōu)化問(wèn)題,而在動(dòng)力學(xué)背景下考慮結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型和纖維方向同步優(yōu)化的研究較少.因此,本文旨在提出一種針對(duì)連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)下的基頻最大化問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化方法,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與纖維方向的同步優(yōu)化,以最大化結(jié)構(gòu)的第一階本征頻率.

1 連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

1.1 復(fù)合材料結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)有限元分析

考慮二維正交各向異性材料線彈性結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析的離散型有限元方程表示如下

其中,ui為第i階特征頻率ωi所對(duì)應(yīng)的特征向量.K和M分別為結(jié)構(gòu)的總體剛度陣和質(zhì)量陣,由對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠汝嚭唾|(zhì)量陣組裝形成.和分別由式(2)和式(3)確定

其中,h為結(jié)構(gòu)的厚度,ρ0為材料的質(zhì)量密度,N為雙線性等參元形函數(shù)組成的矩陣.B為應(yīng)變位移矩陣.和分別為單元e所對(duì)應(yīng)的單元質(zhì)量陣和剛度陣.θe為單元e所對(duì)應(yīng)的表征纖維方向的角度設(shè)計(jì)變量,即建立在單元e上的纖維主方向和垂直于纖維主方向上的局部坐標(biāo)X′-Y′與全局坐標(biāo)X-Y之間的旋轉(zhuǎn)角度,如圖1 所示.

圖1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖Fig.1 Schematic illustration of coordinate transformation

式(3)中的C為全局坐標(biāo)下的正交本構(gòu)材料矩陣,其表達(dá)式為

其中,C0為局部坐標(biāo)下的正交本構(gòu)材料矩陣,由沿纖維軸向的彈性剛度Ex,纖維橫向彈性剛度Ey,剪切模量Gxy,泊松比Vxy,Vyx五個(gè)材料常數(shù)組成,其表達(dá)式為

式中,Ex,Ey,Vxy,Vyx滿(mǎn)足VyxEx=VxyEy.

式(4)中的T(θe)為C與C0之間的轉(zhuǎn)換矩陣,其表達(dá)式由下式定義

1.2 材料插值格式

為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與纖維角度的同步優(yōu)化,這里采用SIMP 方法來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的優(yōu)化,即給每一個(gè)單元弓入一個(gè)密度設(shè)計(jì)變量xe,然后采用SIMP 材料插值模型建立單元?jiǎng)偠汝嚭唾|(zhì)量陣與單元密度設(shè)計(jì)變量xe之間的關(guān)系

其中,Me和Ke分別為弓入表征拓?fù)錁?gòu)型的密度變量之后的單元質(zhì)量陣和剛度陣,p和q分別為剛度陣和質(zhì)量陣的懲罰因子,和分別由式(2) 和式(3)確定.

眾所周知,在用SIMP 求解動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題時(shí),材料低密度區(qū)域通常會(huì)出現(xiàn)局部模態(tài)[3,8-9,31],這是由于在低密度區(qū)域(如xe≤0.1),基于q=1 懲罰之后的質(zhì)量陣與基于p=3 懲罰之后的剛度陣比值過(guò)高造成的[3,9].避免局部模態(tài)的常用方法有:(1)修改剛度矩陣的懲罰方式[3,5]; (2) 修改質(zhì)量矩陣的懲罰方式[9-10,12].在這里,為了避免低密度區(qū)域中的局部模態(tài),采用文獻(xiàn)[9]中的方法,修改質(zhì)量陣的懲罰方式

這里設(shè)置剛度矩陣懲罰因子p=3,對(duì)于質(zhì)量矩陣,當(dāng)單元密度xe≥0.1 時(shí),設(shè)置懲罰因子為1; 當(dāng)單元密度xe＜0.1 時(shí),設(shè)置懲罰因子q=6.通過(guò)式(8) 和式(9)可知,通過(guò)修改質(zhì)量陣的懲罰方式可以很好地避免底密度區(qū)域質(zhì)量陣與剛度陣的比值過(guò)高的情況,從而有效避免局部模態(tài).

1.3 優(yōu)化模型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化旨在滿(mǎn)足某些約束條件下尋找最優(yōu)的材料分布,以期獲得最佳的結(jié)構(gòu)性能.與文獻(xiàn)[32-34] 關(guān)注的優(yōu)化問(wèn)題不同,本文研究連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在無(wú)阻尼自由振動(dòng)下的基頻最大化優(yōu)化問(wèn)題,以實(shí)現(xiàn)纖維方向角度與結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的同步優(yōu)化,其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)列式可表示如下

在此優(yōu)化模型中,有兩類(lèi)設(shè)計(jì)變量,其中x為表征結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的密度設(shè)計(jì)變量集合,θ為表征纖維方向的角度設(shè)計(jì)變量集合,Ne為用來(lái)離散設(shè)計(jì)域的單元個(gè)數(shù).ωi為第i階特征頻率,ui為其對(duì)應(yīng)的特征向量.K和M分別為弓入兩類(lèi)設(shè)計(jì)變量之后結(jié)構(gòu)的總體剛度陣和質(zhì)量陣.Ve和V0分別為單元e和整個(gè)設(shè)計(jì)域的體積,fv為設(shè)計(jì)領(lǐng)域中可用實(shí)體材料的體積分?jǐn)?shù)比.xmin為很小的正數(shù),作為密度設(shè)計(jì)變量的下限以防止剛度矩陣奇異,本文取xmin=10-3.本文設(shè)置每個(gè)纖維角度變量θe的范圍為[-2π,2π],寬的纖維角度范圍允許角度旋轉(zhuǎn)到最佳位置,可以避免較窄的角度變量范圍導(dǎo)致的潛在的局部解問(wèn)題[35].

2 靈敏度分析與靈敏度過(guò)濾

動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題可能存在重特征根問(wèn)題,特別是那些設(shè)計(jì)自由度多、依賴(lài)的設(shè)計(jì)參數(shù)多的結(jié)構(gòu),在優(yōu)化的過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)兩階特征根相等的情況,重特征根會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化問(wèn)題不連續(xù),進(jìn)而導(dǎo)致多重特征根關(guān)于設(shè)計(jì)變量的敏度難于計(jì)算的困難.目前也有較多優(yōu)秀工作討論了這一問(wèn)題,并給出了有效的解決方案[9,36].重特征根問(wèn)題不是這篇文章的關(guān)注點(diǎn),因此,這里假設(shè)所關(guān)注的特征根均為單根,即特征根均互不相等,這樣可以推導(dǎo)單特征值關(guān)于兩類(lèi)設(shè)計(jì)變量的靈敏度.

2.1 特征值對(duì)密度設(shè)計(jì)變量的靈敏度

式(10)中無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析的有限元方程兩邊同時(shí)對(duì)密度設(shè)計(jì)變量xe求導(dǎo),并化簡(jiǎn)可得

對(duì)式(11)兩邊同時(shí)左乘,再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)可得特征值λi=關(guān)于設(shè)計(jì)變量xe的靈敏度

其中,?K/?xe和?M/?xe與材料插值格式有關(guān),具體表達(dá)式可根據(jù)式(8)和式(9)計(jì)算得到

2.2 特征值對(duì)角度設(shè)計(jì)變量的靈敏度

類(lèi)似于求特征值關(guān)于密度設(shè)計(jì)變量的靈敏度,可以推導(dǎo)特征值關(guān)于角度設(shè)計(jì)變量θe的靈敏度,其表達(dá)式如下

值得注意的是,這里假設(shè)質(zhì)量矩陣與纖維方向無(wú)關(guān).式(15)中剛度陣K對(duì)角度設(shè)計(jì)變量θe的導(dǎo)數(shù)?K/?θe可表示為

關(guān)于體積約束關(guān)于設(shè)計(jì)變量的敏度可直接求導(dǎo)獲得,這里省略其細(xì)節(jié)推導(dǎo).

2.3 靈敏度過(guò)濾

由于有限元網(wǎng)格離散的影響,基于單元密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法經(jīng)常遭受棋盤(pán)格和網(wǎng)格依賴(lài)性等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題.為了獲得清晰的黑白設(shè)計(jì),本文采用式(17)對(duì)式(12)中定義的第一階特征值(最小特征值)λ1關(guān)于密度設(shè)計(jì)變量xe的敏度進(jìn)行過(guò)濾

其中權(quán)重函數(shù)Hei定義為

式中,dist(e,i) 為單元e的中心和單元i的中心之間的歐式距離,Nei是指單元中心落在以單元e為中心、半徑為rmin的圓形鄰域內(nèi)的單元集合.以過(guò)濾后的敏度代替式(12)參入優(yōu)化迭代.

上述優(yōu)化問(wèn)題可以用不同的優(yōu)化算法來(lái)求解,如序列線性規(guī)劃法(SLP)[37],移動(dòng)漸近線算法(MMA)[38]等,本文采用MMA 算法求解上述優(yōu)化問(wèn)題.數(shù)值測(cè)試表明角度設(shè)計(jì)變量靈敏度的絕對(duì)值相對(duì)于密度設(shè)計(jì)變量靈敏度的絕對(duì)值要小很多,為了避免陷入局部解,提高收斂效率,本文采用式(19)定義的變步長(zhǎng)策略,即使設(shè)計(jì)變量移動(dòng)步長(zhǎng)隨著迭代步數(shù)的增加逐漸減小

其中,movex和moveθ 分別為單元密度變量和角度設(shè)計(jì)變量的移動(dòng)步長(zhǎng).它們的初始值分別設(shè)置為move-x=0.5,move θ=0.1.

當(dāng)優(yōu)化過(guò)程滿(mǎn)足式(20) 定義的收斂條件時(shí),停止迭代

式中,k為當(dāng)前迭代步數(shù),ε 為容許的收斂誤差,并取ε=1.0×10-3.

3 數(shù)值算例與討論

本節(jié)通過(guò)一個(gè)靜力學(xué)優(yōu)化算例和兩個(gè)算例動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算例來(lái)展示本文方法的有效性.若無(wú)特殊說(shuō)明,平板厚度設(shè)置為1 mm,質(zhì)量密度設(shè)置為1.6 g/cm3;本構(gòu)材料陣中4 個(gè)獨(dú)立的物理參數(shù)取值為Ex=385 GPa,Ey=118 GPa,Vxy=0.3 和Gxy=84 GPa.假設(shè)初始結(jié)構(gòu)為完全實(shí)體材料,即所有密度設(shè)計(jì)變量xe的初始值均為1.本文所有的角度變量均以弧度制表示.本文所有算例中MMA 算法參數(shù)取值列于表1 中.

表1 MMA 子程序中參數(shù)取值Table 1 Parameters needed for MMA subroutine

3.1 算例一

算例一考慮短懸臂梁的剛度最大化優(yōu)化問(wèn)題.幾何尺寸為80 mm×40 mm 的設(shè)計(jì)域和邊界條件如圖2 所示,梁左端完全固支,在右端中心點(diǎn)處受大小為30 N 的橫向拉力.設(shè)計(jì)域由80×40 個(gè)平面應(yīng)力單元來(lái)離散.材料準(zhǔn)許的體積分?jǐn)?shù)設(shè)定為0.3.

圖2 懸臂梁的設(shè)計(jì)域和邊界條件Fig.2 Design domain and boundary condition of cantilever beam

為了驗(yàn)證本文方法對(duì)靜力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題的有效性,考慮以0,π/6,π/2,及[-2π,2π] 區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)數(shù)為初始纖維方向.圖3 顯示了4 種不同初始纖維方向所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果.從結(jié)果可以看出,盡管初始纖維角度不同,但優(yōu)化后的纖維基本沿軸向拉伸方向分布,增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的剛度,符合工程實(shí)際情況,這驗(yàn)證了本文方法對(duì)靜力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題的有效性.

圖3 不同初始纖維方向?qū)?yīng)的優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimization results for different initial fiber orientations

3.2 算例二

算例二考慮懸臂梁動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題.設(shè)計(jì)域與算例一相同,梁左端完全固支,在右邊中心點(diǎn)處附加一個(gè)大小為28.8 g 的集中質(zhì)量點(diǎn).設(shè)置纖維初始方向?yàn)樗椒较?即設(shè)置所有角度設(shè)計(jì)變量θe的初始值為0.材料準(zhǔn)許的體積分?jǐn)?shù)設(shè)定為0.4.

圖4 顯示了連續(xù)纖維增強(qiáng)懸臂梁在無(wú)阻尼自由振動(dòng)下結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的迭代過(guò)程.優(yōu)化算法在迭代87 步之后收斂,此時(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最小特征值為188.76 Hz.圖5 顯示了懸臂梁的纖維分布情況.可以看出,本文方法可以獲得清晰的拓?fù)錁?gòu)型,優(yōu)化后纖維方向基本沿懸臂梁橫向中軸線呈對(duì)稱(chēng)分布.

圖4 懸臂梁拓?fù)錁?gòu)型的迭代過(guò)程Fig.4 Iterative process of topological configuration of cantilever beam

圖5 懸臂梁纖維方向的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization result of fiber orientation for cantilever beam

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性,在圖5 顯示的最終纖維角度的優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上,讓所有單元對(duì)應(yīng)的角度變量逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)角度β.在幾個(gè)典型的偏轉(zhuǎn)角度π/6,π/4,π/3,5π/12,π/2 下,結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最小特征值λ1分別為128.96,96.06,75.41,64.63,61.32.可以看出,纖維方向偏轉(zhuǎn)一定角度后結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最小特征值均比通過(guò)本文優(yōu)化方法獲得的結(jié)果(188.76 Hz)要小,這說(shuō)明本文方法能夠有效找到更優(yōu)的纖維方向分布,提高結(jié)構(gòu)的頻率.

圖6 顯示了各向同性材料懸臂梁在無(wú)阻尼自由振動(dòng)下結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的優(yōu)化結(jié)果,其中材料本構(gòu)陣中使用的獨(dú)立物理參數(shù)為:楊氏模量E=385 GPa,泊松比V=0.3.可以看出,本文獲得的拓?fù)錁?gòu)型與文獻(xiàn)[15] 中的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化結(jié)果類(lèi)似,優(yōu)化算法在迭代61 步之后收斂,此時(shí)對(duì)應(yīng)的最小特征值為188.87 Hz.對(duì)于當(dāng)前的懸臂梁優(yōu)化算例,各向同性材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與纖維增強(qiáng)的正交各向異性材料結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型結(jié)果相似.

圖6 各向同性材料懸臂梁的拓?fù)錁?gòu)型Fig.6 Topological configuration of cantilever beam with isotropic material

3.3 算例三

算例三考慮固支細(xì)長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題.幾何尺寸為160 mm×40 mm 的設(shè)計(jì)域和邊界條件如圖7 示,梁兩端全固定,平板中心處附加一個(gè)質(zhì)量為51.2 g 的質(zhì)量點(diǎn).設(shè)計(jì)域由160×40 個(gè)平面應(yīng)力單元來(lái)離散.設(shè)置纖維角度設(shè)計(jì)變量的初始值為θe=0.材料準(zhǔn)許的體積分?jǐn)?shù)為0.4.

圖7 固支梁的設(shè)計(jì)域和邊界條件Fig.7 Design domain and boundary condition of clamped beam

圖8 顯示了連續(xù)纖維增強(qiáng)固支細(xì)長(zhǎng)梁在無(wú)阻尼自由振動(dòng)下結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的迭代過(guò)程.圖9 顯示了固支細(xì)長(zhǎng)梁纖維方向的優(yōu)化結(jié)果.從優(yōu)化結(jié)果可知,本文方法可以獲得清晰的拓?fù)錁?gòu)型,纖維方向主要沿著桿件的方向分布.圖10 顯示了前兩階特征值的迭代歷史.從結(jié)果可以看出,優(yōu)化算法在迭代77 步之后到達(dá)收斂,此時(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最小特征值為373.86 Hz,第2 階特征值為22 869.56 Hz,前兩階特征值在優(yōu)化的過(guò)程中始終分離的,第2 階特征值始終大于第1 階特征值,未產(chǎn)生重特征根問(wèn)題,這驗(yàn)證了本文關(guān)注的特征值為單根的假定.

同樣,為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性,在圖9 顯示的最終纖維角度的優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上,讓所有單元對(duì)應(yīng)的角度變量逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)角度β.在幾個(gè)典型的偏轉(zhuǎn)角度π/6,π/4,π/3,5π/12,π/2 下，結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最小特征值λ1的值分別為262.18,198.32,157.31,135.58,128.84.由表3 可知,結(jié)果與懸臂梁相優(yōu)化問(wèn)題類(lèi)似,纖維方向偏轉(zhuǎn)一定角度后所得結(jié)構(gòu)的最小特征值均變小,這進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性.

圖8 固支梁拓?fù)錁?gòu)型的迭代過(guò)程Fig.8 Iterative process of topological configuration of clamped beam

圖9 固支梁纖維方向的優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Optimization result of fiber orientation for clamped beam

圖10 固支梁前2 階特征值的迭代歷史Fig.10 Iteration history of the first two eigenvalue of clamped beam

4 結(jié)論

針對(duì)連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)下的基頻最大化問(wèn)題,本文提出了一種有效實(shí)現(xiàn)拓?fù)錁?gòu)型和纖維方向同步優(yōu)化的拓?fù)鋬?yōu)化方法.建立了以準(zhǔn)許的材料用量體積分?jǐn)?shù)為約束、以結(jié)構(gòu)的一階特征值為目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型,詳細(xì)推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)關(guān)于密度設(shè)計(jì)變量和角度設(shè)計(jì)變量的解析靈敏度列式.為了避免陷入局部最優(yōu)解,采用了變移動(dòng)步長(zhǎng)的策略.最后,通過(guò)一個(gè)靜力學(xué)優(yōu)化算例和兩個(gè)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算例驗(yàn)證了本文方法的有效性.結(jié)果表明,本文方法在實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與纖維角度的一體化優(yōu)化的同時(shí),可以有效改善結(jié)構(gòu)的性能.