一種基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元方法1)

伍鵬革 倪冰雨 姜潮

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410006)

引言

不確定性廣泛存在于實(shí)際工程中,如結(jié)構(gòu)的材料屬性、幾何尺寸及結(jié)構(gòu)所受載荷等.傳統(tǒng)方法主要基于概率模型對(duì)上述不確定性參數(shù)進(jìn)行描述,并使用概率方法對(duì)其進(jìn)行分析[1-5].使用概率方法進(jìn)行不確定性分析通常需要大量的實(shí)驗(yàn)樣本以獲得精確的概率分布信息.然而在許多工程實(shí)際問(wèn)題中,由于測(cè)試成本或測(cè)試技術(shù)等原因往往造成樣本數(shù)據(jù)缺乏,很難獲得足夠的樣本信息以構(gòu)建上述參數(shù)的精確概率分布函數(shù).為此,一系列非概率分析方法及非精確概率分析方法得以發(fā)展,包括證據(jù)理論[6-8]、P-box 模型[9-10]、凸模型方法[11-12]、模糊集理論[13-14]和區(qū)間方法[15-17]等.其中區(qū)間方法于20 世紀(jì)50 年代末由Moore[17]提出,最早用于處理計(jì)算機(jī)內(nèi)浮點(diǎn)運(yùn)算問(wèn)題,后來(lái)被弓入到工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的不確定性問(wèn)題中[18-20].在使用區(qū)間方法進(jìn)行不確定性分析時(shí),參數(shù)的不確定性由上下邊界表示,不僅有效適用于小樣本條件下的不確定性度量,而且易于工程人員理解和方便使用,近年來(lái)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用方面獲得了廣泛關(guān)注[21-25].

20 世紀(jì)90 年代中期,為解決在小樣本條件下工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題中的不確定性,將區(qū)間分析與有限元方法[26-27] 相結(jié)合,發(fā)展出了區(qū)間有限元方法[28-30].區(qū)間有限元是一種考慮區(qū)間不確定性的有限元分析方法,其主要目的在于借助有限元分析這一有力數(shù)值分析工具,對(duì)含區(qū)間不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)邊界求解.而獲得有限元結(jié)構(gòu)響應(yīng)邊界的關(guān)鍵在于區(qū)間平衡方程組的求解,該平衡方程組屬于一類區(qū)間線性方程組,其中的剛度矩陣或載荷向量為區(qū)間矩陣或區(qū)間向量.區(qū)間線性方程組的求解被認(rèn)為是一類NP-hard 問(wèn)題[31-33],一般情況下很難獲得其解析結(jié)果.因此,不少學(xué)者發(fā)展了區(qū)間有限元分析的近似方法以求解實(shí)際響應(yīng)集合的最小區(qū)間包絡(luò).Rao 和Berke[34]提出了頂點(diǎn)組合方法,在區(qū)間參數(shù)波動(dòng)范圍較小的情況下能夠得到較為精確的解.Neumaier 和Pownuk[35]針對(duì)桁架結(jié)構(gòu)這一典型結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題提出了一種關(guān)于區(qū)間線性系統(tǒng)的迭代解法,能夠得到較準(zhǔn)確的桁架結(jié)構(gòu)響應(yīng)包絡(luò)解.Muhanna 和Mullen[36]提出了element-by-element(EBE)列式技術(shù),在一定程度上避免了響應(yīng)區(qū)間的過(guò)保守估計(jì)問(wèn)題.Rao 等[37]和Xiao 等[38]將EBE 技術(shù)與迭代解法相結(jié)合應(yīng)用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)靜態(tài)以及動(dòng)態(tài)分析中.Muscolino 等[39]對(duì)具有不確定性參數(shù)結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)提出了比例多項(xiàng)式的近似求解方法.Sofi 和Romeo[40]基于比例多項(xiàng)式建立了適用于含區(qū)間變量及隨機(jī)變量的結(jié)構(gòu)有限元分析方法.Qiu 和Elishakoff[41]、Chen 和Yang[29]、Qiu等[42]應(yīng)用區(qū)間攝動(dòng)方法求解了含有有界不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間,對(duì)于小擾動(dòng)問(wèn)題有較好的求解精度.Degrauwe 等[43]將仿射運(yùn)算弓入至區(qū)間變量的表示中,改善了區(qū)間運(yùn)算中的區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題.

現(xiàn)有大多數(shù)區(qū)間有限元方法計(jì)算得到的響應(yīng)區(qū)間包絡(luò)往往過(guò)為保守,或只對(duì)于參數(shù)波動(dòng)范圍較小的區(qū)間有限元問(wèn)題能夠得到較準(zhǔn)確的響應(yīng)區(qū)間,或計(jì)算效率較低等.因而,如何高效求解區(qū)間有限元中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最小包絡(luò)解仍是有待解決的難點(diǎn)問(wèn)題.本文歸納了一類在工程實(shí)際中常見(jiàn)的區(qū)間有限元問(wèn)題,其中剛度矩陣可以表示為一系列獨(dú)立區(qū)間變量線性疊加的形式,稱之為可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題.如彈性模量或橫截面積等為區(qū)間參數(shù)的桁架結(jié)構(gòu),彈性模量或厚度尺寸等為區(qū)間參數(shù)的混凝土板連續(xù)體結(jié)構(gòu)等,對(duì)其進(jìn)行區(qū)間有限元分析時(shí)均可處理為可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題.針對(duì)此類可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題,采用Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)方法對(duì)其剛度矩陣的逆矩陣進(jìn)行表示,可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)關(guān)于區(qū)間變量的顯式表達(dá)式,從而便于高效求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的上下邊界.本文剩余部分內(nèi)容安排如下:第1 節(jié)首先簡(jiǎn)要介紹區(qū)間有限元分析的概念,并歸納出一類工程中廣泛存在的可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題;第2 節(jié)針對(duì)可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題,提出了基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元方法; 第3 節(jié)通過(guò)2 個(gè)算例驗(yàn)證了本文方法的有效性;第4 節(jié)給出了全文結(jié)論.

1 區(qū)間有限元問(wèn)題描述

在區(qū)間有限元分析中,通過(guò)區(qū)間模型等度量參數(shù)的有界不確定性,通常適用于樣本信息不足以構(gòu)建參數(shù)概率分布但參數(shù)上下邊界可知的結(jié)構(gòu)不確定性問(wèn)題中.由于區(qū)間不確定性的存在,通常區(qū)間有限元平衡方程中的剛度矩陣為一區(qū)間矩陣或節(jié)點(diǎn)力向量為一區(qū)間向量,從而導(dǎo)致其平衡方程組為一區(qū)間線性方程組.本節(jié)簡(jiǎn)要介紹區(qū)間有限元平衡方程組的構(gòu)成,并歸納出一類可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題.

1.1 區(qū)間有限元平衡方程

在有限元方法中,首先將結(jié)構(gòu)離散為由多個(gè)單元組成的有限單元模型,計(jì)算各個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃?進(jìn)而將離散后的單元按照單元與單元之間的共同節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái),從而組建全局剛度矩陣K

式中,Ne為結(jié)構(gòu)的離散單元總數(shù)目;Ke(i) 為第i個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃?Ti是對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q矩陣,將單元?jiǎng)偠染仃噺膯卧植孔鴺?biāo)變換到全局坐標(biāo).結(jié)構(gòu)的平衡方程則可表示為

式中,K∈RNd×Nd是結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣;u∈RNd×1表示節(jié)點(diǎn)位移向量,為待求量;p∈RNd×1是結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)等效載荷向量;Nd為整個(gè)結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目.當(dāng)給定邊界約束條件后,式(2)中節(jié)點(diǎn)位移向量u便可求出,進(jìn)而可獲得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng).

在上述通過(guò)有限元方法求解結(jié)構(gòu)在外力作用下的力學(xué)響應(yīng)信息時(shí),結(jié)構(gòu)參數(shù)均假設(shè)為確定性量.對(duì)于工程中普遍存在的不確定性結(jié)構(gòu),如材料屬性、幾何尺寸、載荷等具有不確定性的情況,通過(guò)弓入?yún)^(qū)間變量描述參數(shù)的不確定性,并結(jié)合有限元分析方法,即可通過(guò)構(gòu)建區(qū)間有限元分析列式對(duì)含區(qū)間不確定性的結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)邊界分析,結(jié)構(gòu)不確定性分析的示意圖如圖1 所示.結(jié)構(gòu)材料屬性或幾何尺寸等參數(shù)的不確定性將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的不確定性,而外加載荷的不確定性會(huì)弓起載荷向量p的不確定性.設(shè)結(jié)構(gòu)中存在不確定性參數(shù)α=[α1,α2,···,αk]T,

圖1 結(jié)構(gòu)不確定性分析Fig.1 Structural uncertainty analysis

式(4) 所表示的平衡方程組屬于一區(qū)間線性方程組,其求解結(jié)果Γ通常較為復(fù)雜,難以解析獲得.實(shí)際上,通常尋求的是包絡(luò)真實(shí)解Γ盡可能小的區(qū)間邊界uI.uI為一區(qū)間向量,每個(gè)分量描述了對(duì)應(yīng)位移響應(yīng)量的變化范圍,而不考慮各分量之間的相關(guān)性,因此uI又稱為最小的超立方體近似解[44].目前求解上述區(qū)間有限元問(wèn)題的方法主要包含三類,即基于區(qū)間運(yùn)算的方法[32,45],基于級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法[41,46]和全局優(yōu)化方法[47-48].

1.2 一類可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題

本小節(jié)歸納了在工程結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的一類區(qū)間有限元問(wèn)題,該類問(wèn)題的剛度矩陣可分解為一系列獨(dú)立區(qū)間變量的線性疊加形式,稱之為可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題.

本文僅考慮結(jié)構(gòu)材料屬性或幾何尺寸參數(shù)具有不確定性,而載荷確定的情況,此時(shí)式(4)退化為

若參數(shù)αI與結(jié)構(gòu)剛度矩陣K中的每個(gè)元素呈線性關(guān)系,且αI可如式(7) 表示為一組獨(dú)立區(qū)間變量線性疊加的形式,則區(qū)間剛度矩陣K(αI)也具有關(guān)于區(qū)間變量的線性疊加表達(dá)式

式中,Kj(0,1,2,···,m)為對(duì)稱的確定性矩陣.對(duì)于不同的區(qū)間有限元問(wèn)題,Kj的具體形式有所不同.形如式(9) 的可線性分解式區(qū)間剛度矩陣在工程實(shí)際問(wèn)題中較為常見(jiàn),如彈性模量或橫截面積等為區(qū)間參數(shù)的桁架結(jié)構(gòu),具有區(qū)間彈性模量或區(qū)間厚度尺寸等參數(shù)的混凝土板連續(xù)體結(jié)構(gòu)等,對(duì)其進(jìn)行數(shù)值分析時(shí),相應(yīng)的區(qū)間剛度矩陣均具有上述疊加形式.下面以含區(qū)間彈性模量的連續(xù)體結(jié)構(gòu)為例,通過(guò)推導(dǎo)給出其區(qū)間剛度矩陣的線性分解形式.

考慮一由線彈性各向同性材料構(gòu)成的連續(xù)體結(jié)構(gòu),其有限元模型包含Ne個(gè)單元,Nn個(gè)節(jié)點(diǎn),Nd個(gè)自由度,受到節(jié)點(diǎn)載荷p的作用.為便于理解,這里僅考慮彈性模量具有不確定性的情況,且由區(qū)間變量描述.設(shè)區(qū)間彈性模量EI可表示為式(6) 的形式,即

式中,E0為彈性模量EI的中值.

根據(jù)有限元理論[26],連續(xù)體的單元?jiǎng)偠染仃嘖e(i)有如下形式

式中,Ae(i)為第i個(gè)單元的單元積分域,t為厚度,B為幾何矩陣,D為彈性系數(shù)矩陣,與彈性模量E呈線性關(guān)系

式中,D0=E0M,Dj=EjM.將式(13)代入式(11)中,此時(shí)單元?jiǎng)偠染仃囈矠橐粎^(qū)間矩陣

由式(16)可發(fā)現(xiàn),上述問(wèn)題的區(qū)間平衡方程中區(qū)間剛度矩陣可表示為關(guān)于區(qū)間變量的線性疊加形式,因此此類問(wèn)題即屬于一類線性可分解式區(qū)間有限元問(wèn)題.

2 基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元分析方法

區(qū)間平衡方程組的求解是區(qū)間有限元分析的關(guān)鍵.與確定性的有限元求解相比,在區(qū)間有限元分析中最大的不同也是難點(diǎn)即區(qū)間平衡方程組中區(qū)間矩陣的逆運(yùn)算難以求解.現(xiàn)有區(qū)間有限元分析方法在進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)邊界分析時(shí),通常采用一系列數(shù)值手段避免對(duì)上述區(qū)間剛度矩陣進(jìn)行求逆.本節(jié)針對(duì)在上一節(jié)中歸納的可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題提出基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元方法,利用Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)方法對(duì)區(qū)間剛度矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算,從而便于后續(xù)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的上下邊界.

2.1 基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間剛度矩陣求逆

Neumann 級(jí)數(shù)是一種適用于算子求逆的級(jí)數(shù)展開(kāi)方法.設(shè)有任意矩陣A,則該矩陣的逆矩陣A-1可表示為關(guān)于矩陣A0的逆矩陣及兩者差值矩陣ΔA=A-A0的Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)[49],即

根據(jù)式(17),對(duì)于可線性分解式區(qū)間有限元?jiǎng)偠染仃嚨哪婢仃?其Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)式可表示為

由式(18) 可以看出,在區(qū)間有限元分析中弓入Neumann 級(jí)數(shù)表示可線性分解式剛度矩陣的逆,可將原非確定性剛度矩陣的逆運(yùn)算轉(zhuǎn)換為確定性名義矩陣K0的逆運(yùn)算及矩陣加、減法和乘法運(yùn)算,避免了區(qū)間矩陣的直接逆變換.通過(guò)上述展開(kāi)方法,式(18)給出了剛度矩陣逆矩陣關(guān)于區(qū)間變量的顯式表達(dá)式,從而很大程度上方便了后續(xù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行不確定性分析與求解.

2.2 位移邊界分析

由式(8)可知位移向量可表示為

將式(18)代入式(19)中,位移響應(yīng)向量可表示為

u0=,則式(20)可表示為

計(jì)算第s(s=1,2,...,Nd)個(gè)自由度位移響應(yīng)的上邊界和下邊界從而可轉(zhuǎn)換為對(duì)如下兩個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的求解

式中,u0,s表示向量u0的第s個(gè)元素,Δus表示向量Δu的第s個(gè)元素.通過(guò)求解式(22)和式(23)得到結(jié)構(gòu)在每一自由度上的位移響應(yīng)區(qū)間,從而可獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)邊界.

借助比格斯（John Biggs）提出的SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome，觀察到的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)）評(píng)價(jià)理論[17]，對(duì)職前教師有關(guān)數(shù)據(jù)分析問(wèn)題的學(xué)科認(rèn)知水平進(jìn)行劃分．以問(wèn)題1為例加以闡釋．

對(duì)于常見(jiàn)的不確定參數(shù)擾動(dòng)較小的問(wèn)題,通常保留Neumann 展式中的低階部分即可使結(jié)果滿足精度要求.進(jìn)行一階截?cái)鄷r(shí)可得

此時(shí),式(25)和式(26)即為整個(gè)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)一階截?cái)鄷r(shí)的上下邊界矢量.

2.3 應(yīng)力邊界分析

通過(guò)Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi),不確定性結(jié)構(gòu)的應(yīng)力也可表示為關(guān)于區(qū)間變量的顯式表達(dá)式.單元的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式為

因此單元應(yīng)力場(chǎng)也可表示為

當(dāng)位移響應(yīng)u取前一階截?cái)鄷r(shí),σe(i)表示為

通過(guò)式(31)和式(32)得到每個(gè)單元的應(yīng)力響應(yīng)區(qū)間,整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)邊界即可獲得.

2.4 收斂條件與誤差分析

根據(jù)Neumann 展式(17)的收斂條件可知,區(qū)間剛度矩陣逆矩陣的Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂條件為

式中,ρ(·)表示矩陣的譜半徑.

根據(jù)矩陣譜半徑的性質(zhì)有

考慮位移響應(yīng)向量表達(dá)式(20) 取前n階時(shí),位移響應(yīng)的絕對(duì)誤差可表示為

位移響應(yīng)的相對(duì)誤差為

3 算例分析

本節(jié)通過(guò)兩個(gè)算例驗(yàn)證了本文所提基于Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)區(qū)間有限元法的可行性和有效性.第1 個(gè)算例是橫截面積為區(qū)間變量的平面四桿桁架結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)力作用下的位移響應(yīng)分析; 第2 個(gè)算例是彈性模量為區(qū)間變量的汽車駕駛室受到集中載荷的形變分析.

3.1 平面四桿桁架結(jié)構(gòu)

圖2 平面四桿桁架[51]Fig.2 Four bar truss in the plane[51]

圖3 沿x 軸方向位移響應(yīng)上下邊界Fig.3 Displacement bounds in the direction of x

圖4 沿y 軸方向位移響應(yīng)上下邊界Fig.4 Displacement bounds in the direction of y

表1 節(jié)點(diǎn)位移上下邊界值相對(duì)誤差Table 1 Relative error of the displacement bounds

3.2 汽車駕駛室

汽車駕駛室結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是汽車設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié),駕駛室結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)分析有助于評(píng)估設(shè)計(jì)性能并進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)使其滿足設(shè)計(jì)要求.圖5 所示是一個(gè)簡(jiǎn)化的汽車駕駛室車身有限元模型[26,52],該模型包括28 個(gè)節(jié)點(diǎn)和43 個(gè)單元,且節(jié)點(diǎn)1′-13′與節(jié)點(diǎn)1-13具有對(duì)應(yīng)相同的和坐標(biāo)及相反的坐標(biāo).駕駛室有限元模型詳細(xì)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)信息由表2 給出.每一根梁的橫截面積為A=0.2 in2(1 in=25.4 mm),慣性矩為Iy′=Iz′=0.003 in4,極坐標(biāo)矩J=0.006 in4,泊松比為μ=0.3.節(jié)點(diǎn)11,11′,12 和12′的所有自由度均被約束,僅僅在節(jié)點(diǎn)1 處施加集中載荷,大小為Fx=-990.0 lbf 和Fy=-330.0 lbf(1 lbf=4.45N).由于缺乏足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),將梁的彈性模量考慮為不確定區(qū)間參數(shù),由于該結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu),假設(shè)對(duì)稱位置的梁的彈性模量為同一區(qū)間參數(shù),各單元的彈性模量區(qū)間值具體如表3 所示(以psi 為單位,1 psi=6.894 757 kPa),共有24 個(gè)相互獨(dú)立的區(qū)間參數(shù).

圖5 汽車駕駛室模型[26,52]Fig.5 A model of auto cab[26,52]

表2 汽車駕駛室模型節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(單位:in)Table 2 Node coordinates of model of auto cab(unit:in)

表3 單元彈性模量的中值和半徑(單位:psi)Table 3 Median and radius of modulus of elasticity(unit:psi)

利用本文所提基于Neumann 級(jí)數(shù)展開(kāi)前一階截?cái)嘤?jì)算出的各節(jié)點(diǎn)在載荷作用下沿、和軸方向位移響應(yīng)的上下邊界值如圖6～圖8 所示.圖9～圖11分別表示3 個(gè)方向上的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)與MCS 及GA結(jié)果相對(duì)比,該算例中區(qū)間變量為24 個(gè),MCS 抽取樣本點(diǎn)數(shù)為.從圖中可看出3 種方法得到的結(jié)果基本一致,沿軸方向上的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)較大,尤其是1,2,3 這3 個(gè)節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)最大,可達(dá)17 in,且第3 節(jié)點(diǎn)在軸方向的位移響應(yīng)也較大.故而在設(shè)計(jì)階段應(yīng)考慮在這些節(jié)點(diǎn)單元處做出優(yōu)化改進(jìn)以提升安全性能.

圖6 沿x 軸方向位移的上下邊界Fig.6 Displacement bounds in the direction of x

圖7 沿y 軸方向位移的上下邊界Fig.7 Displacement bounds in the direction of y

圖8 沿z 軸方向位移的上下邊界Fig.8 Displacement bounds in the direction of z

圖9 沿x 軸方向位移的上下邊界值Fig.9 Displacement bounds in the direction x

圖10 沿y 軸方向位移的上下邊界值Fig.10 Displacement bounds in the direction y

圖11 沿z 軸方向位移的上下邊界值Fig.11 Displacement bounds in the direction z

4 結(jié)論

本文針對(duì)可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題,提出了一種基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元方法.通過(guò)對(duì)彈性模量不確定情況下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行舉例分析,推導(dǎo)得到了其可線性分解式區(qū)間有限元的具體形式.對(duì)于工程實(shí)際中普遍存在的此類可線性分解式區(qū)間有限元問(wèn)題,采用Neumann 級(jí)數(shù)對(duì)區(qū)間剛度矩陣的逆矩陣進(jìn)行表示,可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)關(guān)于區(qū)間變量的顯式表達(dá)式,從而便于后續(xù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)上下邊界的求解.根據(jù)Neumann 級(jí)數(shù)的收斂條件給出了區(qū)間有限元求解方法收斂的充分不必要條件,并給出了所求結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相對(duì)誤差.通過(guò)兩個(gè)算例對(duì)所本文方法的可行性與有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.結(jié)果表明,本文基于Neumann 級(jí)數(shù)的區(qū)間有限元方法在進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)邊界分析時(shí)具有較好的求解效率和求解精度.

附 錄

區(qū)間有限元的Monte Carlo 模擬(MCS)方法借助于Monte Carlo模擬方法的思想,通過(guò)對(duì)區(qū)間參數(shù)進(jìn)行大量抽樣并進(jìn)行確定性有限元分析,并根據(jù)響應(yīng)集合的極值確定響應(yīng)邊界.其具體步驟如下:

(1)獲取結(jié)構(gòu)區(qū)間參數(shù)的上下邊界;

(2) 在m維超立方體中按均勻分布抽取區(qū)間變量樣本,共抽取Ns組樣本點(diǎn);

(3)根據(jù)所抽取的樣本點(diǎn)確定結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣,進(jìn)行確定性有限元分析求解平衡方程(2)獲得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng);重復(fù)該過(guò)程,遍歷所有樣本變量,獲得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的集合;

(4) 根據(jù)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的集合判斷出各單元節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的最大值與最小值,從而構(gòu)成結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的上邊界和下邊界.

注:由上述步驟2 中抽取的樣本將均勻分布在m維超立方體范圍內(nèi).實(shí)際上,也可以在抽樣中使用任何其他分布形式獲得樣本,唯一的要求是要確保可以獲得m維超立方體范圍內(nèi)的任何點(diǎn).