糾纏光子源的性能模型與實驗實現

王冬陽，吳俊杰，劉英文，楊學軍

(國防科技大學計算機學院，湖南 長沙 410073)

1 引言

量子計算[1]是高性能計算的前沿研究方向。相對于經典計算與經典比特，量子計算以量子比特為基本單位；實驗上，常將量子比特編碼在某一物理體系上，通過對該物理體系狀態的操控，完成計算過程。量子計算因其超強的計算能力，在許多科研領域有著顯著的應用，如大數質因子分解[2 - 4]、線性方程組算法[5,6]和量子機器學習[7,8]等。但是，由于實驗技術的限制，目前量子計算的物理實現仍處于初級階段，核心原因是受限于可操控的量子比特的數目。

光量子計算是研究量子計算的一條重要途徑。目前實現量子計算的物理體系包括光子[9,10]、離子阱[11]、超導[12]、原子[13]、量子電動力學腔[14]和核磁共振[15]等，而光量子計算以光子來實現量子比特的編碼，通過光學元器件來操控并測量量子比特的狀態，從而實現量子計算的過程。相對于其它的物理系統，光量子系統的優勢在于可以快速地傳播，相干時間長，性質穩定，不易受外界干擾，并且操控十分方便，因此是量子計算研究中的一個重要方向。

一套完整的光量子計算裝置分為糾纏光子源(光量子比特)的制備、操控和探測3個部分。糾纏光子源是光量子計算研究中最重要的方面，所產生的光量子比特的性能直接影響了光量子計算裝置的計算能力與效果。此外，通過光子與其它微觀粒子的相互作用，可以實現混合物理體系的量子計算。因此，糾纏光子源的制備對于光量子計算和量子計算具有重要的意義。

光量子比特用來編碼的狀態種類包括偏振、路徑、頻率、動量和時間等，而偏振是用來編碼光量子比特的一個主要自由度。目前偏振編碼的糾纏雙光子源主要以Kwiat等人[16,17]于1995年和1999年提出的自發參量下轉換過程SPDC(Spontaneous Parametric Down Conversion)的方法為主。而糾纏多光子的產生以若干對糾纏雙光子為基礎，通過干涉的方式將其糾纏在一起而實現[18 - 22]。糾纏雙光子的質量直接決定了糾纏多光子的質量。

衡量糾纏光子源的2個關鍵指標是純度和亮度，前者描述了所產生光子的糾纏質量，而后者描述了其產生效率。影響純度的一個因素是退相干現象，指的是所產生光子的各個疊加部分不再具有干涉的效果，從而使得各個部分的相干疊加性被破壞，影響糾纏性質。實驗中與退相干相關的一個指標是純度，退相干越嚴重，純度越低。當退相干達到一定程度時，所產生的光子之間的糾纏作用就會被破壞。亮度反映的是最終接收到的糾纏光子的強度，如果所收集到的糾纏光子的亮度過低，將不利于光子的長距離、長時間操控。

如何提高純度和亮度一直是糾纏光子源研究的一個重點和難點，代表工作包括通過空間補償[23]和時間補償[24]來提高純度，以及通過研究晶體厚度與產率的關系，得到雙光子亮度的最優解[25]。此外，糾纏光子的數目也在不斷提高，已經達到了12光子糾纏的水平[22]。

但是，目前缺少關于糾纏光源完整的性能分析和理論模型，本文系統分析了基于I型SPDC的多光子糾纏光源的性能模型，設計實現了基于I型自發參量下轉換的糾纏雙光子源，為光量子計算的研究提供了理論和實驗指導。具體貢獻為：(1)研究糾纏雙光子的純度模型，得到提高純度的方法；(2)研究糾纏雙光子的亮度模型，得到提高亮度的合理聚焦參數；(3)研究糾纏多光子的產生模型，得到產生糾纏多光子需要滿足的條件；(4)根據上述理論分析，在實驗上產生了高純度、高亮度的糾纏雙光子。

本文結構如下所示：第2節簡述利用I型SPDC過程產生糾纏光子的原理；第3節理論分析影響糾纏光子純度和亮度的因素，以及從糾纏雙光子到糾纏多光子的干涉過程；第4節利用第3節的理論分析，通過實驗產生了高品質的糾纏雙光子；第5節對工作進行總結與展望。

2 糾纏光子源的原理與結構

根據量子光學理論，通常激光器輸出的光處于相干態，而用于光量子計算的光子源需要輸出近似確定數目的粒子數量子態。SPDC過程是實現這2種量子態轉換的重要方法。本節將介紹利用I型SPDC過程產生糾纏雙光子與多光子的原理，以及衡量糾纏源質量的2個指標——純度和亮度。

圖1是利用I型SPDC過程產生偏振糾纏雙光子的過程。當一束處于水平和垂直偏振的疊加態的激光(稱為泵浦光)入射到2塊特殊設計的非線性晶體上時，水平偏振的泵浦光會在第1塊晶體上發生SPDC過程，產生垂直偏振的光子對，而垂直偏振的泵浦光會在第2塊晶體上產生水平偏振的光子對。當泵浦光處于水平和垂直偏振的疊加態時，所產生的光子對為2個同時垂直與同時水平的疊加態，當這2種情況無法區分時，就形成了偏振糾纏。目前實驗中主要采用偏硼酸鋇(BBO)作為非線性晶體。

Figure 1 Generating two entangled photons using type-I SPDC process. A pump photon is converted into a pair of daughter photons at the center of the crystal, which form a circle spatially, |H〉 and |V〉 represent states of horizontal and vertical polarizations 圖1 利用I型SPDC過程產生糾纏雙光子泵浦光會在晶體處發生轉換，產生一對轉換光子，而轉換光子在空間中的分布為一個圓環。|H〉和|V〉分別代表水平和垂直偏振狀態

SPDC過程的發生需要滿足的2個條件就是動量守恒(不需要嚴格守恒)和能量守恒。假設泵浦光子的頻率和動量分別為ωp和kp,2個轉換光子的頻率為ωi、ki以及ωs、ks，那么能量守恒要求為：

ωp=ωi+ωs

(1)

定義動量差Δk=kp-ki-ks，根據非線性光學的理論，所產生的雙光子的強度正比于sinc2(ΔkL)，其中L是晶體對應的厚度，sinc(x)≡sin(x)/x。當Δk=0時，所產生的雙光子的強度最大。

由于2種下轉換的過程發生在2個晶體中，因此|HH〉和|VV〉 2種情況在時間上存在一定的可區分性，這會使得兩者不再是量子疊加的狀態，而是處于部分的經典混合。純度p定義為兩者處于量子疊加的比例，p=1對應著完全的量子疊加，p=0對應著完全的經典混合。只有量子疊加的部分會存在糾纏性質，因此純度p直接決定了糾纏的強弱。第3.1節將從理論上分析影響純度p的因素，以及如何提高純度p。

糾纏光子源的亮度指的是在單位時間內、單位泵浦光的功率下最終收集到的糾纏光子的數目，和泵浦光的聚焦參數有關。在實驗中，為了提高SPDC的轉化效率，需要利用透鏡將泵浦光聚焦在晶體處，以達到集中能量的目的。如果聚焦的束腰過小，會使得轉換光在遠處的空間發散過快，不利于遠距離收集；而如果聚焦的束腰過大，會導致泵浦光在晶體處的能量發散，使得光子的轉換效率過低。3.2節將理論分析泵浦光束腰大小和最終亮度的關系，以及如何得到最優的亮度值。

糾纏多光子的產生，以糾纏雙光子為基礎，通過干涉過程完成，如圖2所示。圖中的PBS為偏振分束器，偏振分束器會反射垂直偏振的光子，透射水平偏振的光子。當2對糾纏雙光子各取出一個輸入到偏振分束器上后，并在2個輸出端各探測到1個光子時，2個光子要么同時被透射(都處于水平偏振)，要么同時被反射(都處于垂直偏振)。而此時這4個光子的狀態要么同時處于水平偏振，要么同時處于垂直偏振，當滿足一定條件使得這2種情況無法區分時，這4個光子就形成了偏振糾纏。對于更多光子數的糾纏原理也是類似的。

Figure 2 Generating four entangled photons using the interference of two pairs of entangled photons圖2 利用干涉過程由2對糾纏雙光子產生糾纏4光子

由于動量守恒和能量守恒，SPDC過程所產生的雙光子在頻率和動量上都是高度關聯的，而這樣的關聯會破壞上述2種情況的不可區分性。3.3節將理論分析影響這種不可區分性的因素，得出產生多光子糾纏的條件。

3 糾纏光子源的性能模型

3.1 糾纏雙光子的純度模型

影響糾纏雙光子純度的因素主要包括時間可區分性和空間可區分性。目前大部分實驗采用單模光纖收集光子，所以時間可區分性為主要因素。

本節將通過計算產生的|H〉|H〉和|V〉|V〉 2部分對應的波函數和時間的依賴關系，得到時間可區分性對于糾纏雙光子純度的影響。由于 2部分對應的均為I型SPDC過程(泵浦光為e光，2個轉換光子為o光)，因此本文只計算第1塊晶體產生光子的波函數。

根據非線性光學的理論，所產生的雙光子波函數為:

fp(ωp)fs(ωs)fi(ωi)e-i(ωsτs+ωiτi)

(2)

其中,τ是轉換光子從產生到被探測到的時間，f(ω)是泵浦光的頻率包絡函數和濾波片的濾波函數，下標p,s和i分別代表泵浦光和2個轉換光子的函數(后面的下標含義相同)，Δk和L分別是之前定義的動量之差(這里只考慮傳播方向上的動量，而默認橫向的動量之差為0，此時動量可以看成是標量)和晶體的厚度。

為了計算波函數，需要計算各個動量以及Δk與頻率的關系。假設泵浦光和轉換光子的頻率分別為ωp=Ωp+υp，ωs/i=Ωp/2+υs/i，而由能量守恒:

υp=υs+υi

(3)

根據動量和頻率的關系，將各個動量值在各自的中心頻率處進行泰勒展開，然后得到:

(4)

(5)

其中,σ是濾波片的帶寬，σp是泵浦光的帶寬，D+和D″分別為群速度色散和群速度失配項,υ-≡υs-υi。第2塊晶體產生的雙光子的波函數為Ψ(τ++Δτ,τ-)，Δτ為收集到的|HH〉和|VV〉光子的時間差。

結合一套具體實驗的參數，泵浦光和轉換光子的中心波長分別為405 nm和810 nm，非線性晶體選BBO晶體，DL值設為400 fs，本文做出了不同的σp以及σ下的雙光子波函數的圖像，如圖3所示。

Figure 3 Calculated two-photon wavefunction Ψ(τ+,τ-) with different bandwiths of the filters and pump lights圖3 計算出的雙光子波函數Ψ(τ+,τ-)在不同濾波片帶寬以及泵浦光時間帶寬的情況

圖3中橫坐標為τ-，縱坐標為τ+，單位為fs。從圖3中可以看出,I型SPDC過程產生的雙光子在τ-方向是對稱的，但是一般情況下，在τ+方向上是不對稱的，這與II型過程產生的光子是相反的。而Ψ(τ++Δτ,τ-)的波函數圖像對應于圖中Ψ(τ+,τ-)的波函數在縱軸上平移Δτ。對于圖3a，在沒有濾波且泵浦光時間帶寬較窄時,|VV〉和|HH〉重疊區域較少，即可區分性很大，這導致純度很低；當泵浦光的時間帶寬為3 ps時，對于圖3b，此時泵浦光接近于在時間上連續的激光，此時2種波函數完全重疊，純度較高；對于時間帶寬較窄的泵浦光，對于圖3c和圖3d，當濾波的帶寬變窄時，2種波函數重疊區域增加，純度提高。

因此，基于糾纏雙光子的純度模型，本文得出以下結論：如果想要在實驗中得到純度較高的雙光子，需要使用連續激光作為泵浦光，或者使用脈沖激光配合窄帶濾波片使用。此外，對于飛秒激光器，當Δτ值過大時，還需要利用補償的方法減小Δτ的值，提高2種波函數的重疊區域，從而提高純度。

3.2 糾纏雙光子的亮度模型

影響糾纏雙光子亮度的因素包括晶體材料、模式匹配、泵浦光性質和元器件損耗等，而當實驗器材固定時，泵浦光和轉換光子的模式和收集模式的匹配是最重要的因素。

本節將計算雙光子波函數和泵浦光束腰大小Wp以及收集轉換光子所對應傳播模式的束腰大小Wf的關系，得到使雙光子亮度達到最大的Wp的最優值。

為了同時考慮泵浦光子和轉換光子的空間高斯分布，根據相互作用繪景下的一階微擾理論，將SPDC過程的雙光子態表示為:

(6)

其中,i是虛數單位，?是約化普朗克常數，t表示時間，HI是系統的相互作用哈密頓量，可以表示為:

(7)

為了便于計算，本文選取了圖4的坐標系[25]，其中包括泵浦光和2個轉換共3個坐標系，考慮泵浦光為單色，并且因為最終用單模光纖收集轉換光子，本文忽略轉換光子電場的橫向動量分布，只考慮其頻率對于縱向動量的影響。

Figure 4 Coordinate system in SPDC process圖4 SPDC過程對應的坐標系

在這樣的近似下，各個電場的部分表示為:

(8)

(9)

利用這樣的坐標變換關系，本文得到了最終的哈密頓量:

(10)

其中被積函數表示為:

i(kpz-(ks+ki) cosθz))

(11)

其中，函數的實部表示真實的物理量，后文類似。

利用和3.1節一樣的泰勒展開，經過計算得到Iz的具體形式和系統的波函數|Ψ〉。系統最終的雙光子產率可以估計為:

R=〈Ψ|Ψ〉∝γ2(2γ2+1)-2

(12)

Figure 5 Variation of two photons’ generation rate with γ圖5 雙光子產率隨著γ的變化

3.3 糾纏多光子的產生模型

目前糾纏多光子主要是通過來自不同的糾纏光子對的光子之間的干涉[26]產生的。本節從來自2個光子對的雙光子HOM(Hong Ou Mandel)干涉[27]出發，指出通過干涉的方式得到多光子糾纏所需要滿足的條件。

HOM干涉是一個著名的雙光子干涉實驗。考慮2個光子分別入射到同一個分束器的2側，它們都有一半的幾率被反射，一半的幾率被透射。而當2個光子完全不可區分時，它們要么同時被反射，要么同時被透射，也就是說無法在2個探測器同時接收到光子。

圖6是來自2個光子對的雙光子HOM干涉裝置，其中BS是光束分束器。相比于普通的HOM干涉，其發生干涉的2光子來自2個SPDC過程產生的光子，此時由于發生干涉的2光子(記為i光子)的可區分性有可能被對應的s光子泄露，因此需要更為嚴格的限定條件。

Figure 6 HOM interference of two photons from different pairs圖6 來自2個光子對的雙光子HOM干涉

計算方法是類似的。本文首先考慮在4個探測器端的電場和轉換得到的4光子對應的電場之間的關系：

(13)

其中，T和R分別代表透射率和反射率，對于一個對稱的分束器，取值均為0.5。τ代表2個s光子從產生到被探測的時間，δτ代表干涉的2個i光子到達分束器的時間差，下標對應的光子參照圖6。

通過電場可以計算出對應的4光子波函數，不失一般性，本文取脈沖型泵浦光、完美相位匹配，以及高斯型濾波片，暫時忽略泵浦光的橫向分布，進而得到4光子符合的概率為:

e-i(vi2,vi1)δτf(vs1,vi2)f(vs2,vi1)|2dvs1dvi1dvs2dvi2

(14)

其中本文取轉換光子的頻率為:

ωs=ω0+vs,

ωi=ω0+vi

(15)

對應的聯合譜分布函數為高斯型泵浦光的譜包絡函數和濾波片的濾波函數的乘積。上述積分區域應該是符合計數的時間窗口，若時間窗口遠遠大于光子的相干時間，積分區域可以近似為無窮。

通過計算上述積分值，本文得到最終的4光子符合概率為:

(16)

當時間差δτ=0時，符合概率值達到最小，也對應于發生干涉的2光子的可區分性最弱。當采取濾波的帶寬σf遠遠小于泵浦光的帶寬σp時，

(17)

即2光子接近于不可區分的狀態。此時對應于產生光子的相干時間遠遠大于脈沖泵浦光的脈沖持續時間。

當σp=0時，對應于單頻連續激光器的情況，此時完全沒有對比度。所以，只能取時間窗口遠遠小于單光子的相干時間，在這樣的情況下，之前的4重積分限不能取為無窮，因此可以利用積分中心的函數值來計算，從而得到:

(18)

同樣可以達到不可區分的效果。

本文以此為基礎，進一步分析目前利用干涉方式由糾纏雙光子產生糾纏4光子的實驗裝置，計算過程是一樣的，只是要將偏振的自由度考慮進去。假設在偏振檢驗中，每一個探測器端口前放置的偏振片的設置為cosθ|H〉+sinθ|V〉，對應于之前分析的可區分和不可區分2種情況下，4光子的符合概率P(0)分別對應著4光子糾纏態的純度為1以及為0 2種情況。

因此，基于糾纏多光子的產生模型，本文得出以下結論：如果想要利用干涉的方式由糾纏雙光子得到糾纏多光子，就需要滿足達到此種類型的HOM干涉的條件。對于連續泵浦光，條件是光子相干時間大于時間窗口；對于脈沖泵浦光，條件是光子相干時間大于脈沖的持續時間，而放寬對于時間窗口的要求。

4 I型SPDC糾纏雙光子源實驗

結合之前的理論計算，本文在實驗中利用連續激光器產生了高純度的糾纏雙光子[28]，并且測量了雙光子的亮度和泵浦光聚焦的束腰大小之間的關系。

4.1 實驗裝置

圖7為糾纏雙光子產生裝置,其中，LP是長通濾波片，IF是帶通濾波片，Pol是偏振片，APD是雪崩光電二極管探測器。基于之前的理論分析，本文設計了如圖7所示的糾纏雙光子實驗裝置圖。本文采用連續激光器作為泵浦光，波長為405 nm，功率為80 mw；使用的非線性晶體為2塊粘合的BBO晶體，厚度各為0.6 mm。由于此款激光器的泵浦光頻率帶寬較窄，因此本文采取的濾波裝置為中心波長為810 nm，半高全寬為10 nm的濾波片。根據3.1節的理論計算，這種實驗參數可以消除|HH〉和|VV〉的可區分性，達到較高的純度。

Figure 7 Experiment setup of generating two entangled photons圖7 糾纏雙光子產生裝置

本文采用透鏡對泵浦光進行聚焦。產生的光子先由偏振片進行偏振檢驗，然后由光纖耦合器耦合進光纖，再由雪崩光電二極管探測器將光信號轉換成電信號，最后由符合計數系統[29]對電信號進行探測。為了減少光子的損耗，本文實驗中的相應鏡片都做了相應波長的增透鍍膜。在晶體之前，需要對泵浦光的偏振態進行初始化。根據相關理論，由2個四分之一波片和半波片組成的三明治結構，可以制備光子的任意偏振態[30]。

實驗通過2個光子的偏振關聯來檢驗所產生的雙光子的純度。根據量子力學的理論，假設所產生的雙光子的純度，即|HH〉和|VV〉量子疊加的比例為p，那么當固定一個探測端口前偏振片的角度為45°偏振，然后觀察2光子計數隨著另一個探測端口前的偏振片角度的變化，所獲得曲線的對比度也為p。

4.2 實驗結果與分析

Figure 8 Measured correlation curve of the two photons’ polarizations圖8 測得的雙光子的偏振關聯曲線

Figure 9 Measured variation of the two photons’ count with the waist of the pump light圖9 測得的雙光子計數隨著泵浦光束腰大小變化

5 結束語

光量子計算是實現量子計算的一個重要途徑，而在光量子計算中，糾纏多光子的產生是難度最大，也是最關鍵的一部分。本文研究了由SPDC過程產生糾纏光子的理論模型，得出以下結論：(1)為了得到高純度的糾纏光子，需要使用連續泵浦光，或者利用飛秒泵浦光配合窄帶濾波片使用。此外，對于飛秒泵浦光來說，當2塊晶體對應的時間差過大時，還需要利用時間補償晶體縮減時間差，進而提高純度。(2)為了得到高亮度的糾纏光子，需要將泵浦光的束腰和收集模式相匹配。(3)為了利用糾纏雙光子得到糾纏多光子，對于連續泵浦光需要使光子相干時間大于時間窗口；對于脈沖泵浦光，需要使光子相干時間大于脈沖的持續時間。

基于理論分析，本文通過實驗產生了純度為97.25%的糾纏雙光子，同時測量了雙光子亮度與泵浦光束腰大小的關系，結果符合理論分析的結果。由于受到實驗條件的限制，針對第3.3節理論研究的干涉與多光子糾纏的內容，本文沒有進行實驗驗證，這一點將在后續研究中完成。