基于分形理論的沖裁斷面質量評價研究

宋勁坤， 陳建鈞， 葛家豪

（華東理工大學機械與動力工程學院，上海 200237）

沖裁是利用沖模使材料或工件與另一部分材料、工件或廢料分離的一種沖壓工序。沖裁技術在汽車、航空、電子等行業中應用非常廣泛，由于沖裁質量對終端產物的使用有著重要影響，因此對沖裁件的精度和斷面質量要求很高。影響沖裁件斷面質量的因素較多，比如沖裁間隙、沖裁速度、沖裁力和板料厚度等[1-2]。

目前國內外學者評價斷面質量的主要方法是測量光亮帶和斷裂帶的相對長度[3-4]，然而沖裁斷面成型復雜，斷裂面具有隨機性和不規則性，光亮帶的相對長度所含信息量有限，難以全面體現沖裁斷面的細節特征，因此在評價沖裁斷面質量時存在局限性。比如兩沖裁件的光亮帶的相對長度一致，而斷裂帶卻完全不同，若僅從光亮帶的相對長度評價其斷面質量，難以保證結果的準確性，這時可以通過引入分形理論中的分形維數定量分析斷面質量來解決這個問題。

分形理論是文獻[5]通過對許多復雜形狀的不規則物體進行仔細觀察和綜合分析后提出的，具有自相似性和分形維數兩個基本特性。自相似性是指局部和整體具有相似的性質；而分形維數作為一種數學概念可定量描述分形結構自相似的程度[6]。文獻[5]指出雖然金屬的斷面不是嚴格的分形幾何，但與分形結構極為相似，即認為金屬斷面是一近似的分形結構。江來珠等[7]通過易切削鋼的沖擊斷口裂紋擴展的分形幾何模型，得到了鋼的易切削性和斷口分形維數的關系。周新聰等[8]運用分形理論計算磨損表面輪廓曲線的分形維數進而描述磨損表面形貌特征。Carpinteri 等[9]在分形幾何理論的基礎上提出了與尺寸有關的疲勞裂紋擴展規律。隨著分形理論的建立和發展，運用分形幾何表征斷裂表面已經成為斷裂表面定量分析的一種新方式[10]，而在沖裁斷面質量研究領域，用分形幾何描述沖裁斷面輪廓同樣存在重要的學術價值和應用前景，但是目前尚缺乏公開的文獻報道和系統的研究。

目前，斷面分形維數測量的方法較多，如剖面島法、斷裂剖面線法、相關函數法等。本文采用斷裂剖面線法，此法相比于其他方法過程簡便，注重于斷面輪廓的分形維數計算，適用于沖裁斷面的輪廓特征提取和定量分析。

1 沖裁試驗

本文的試驗數據采用Richadson 關系式[11-12]進行處理。選取若干規格相同的厚0.5 mm 的304 不銹鋼板作為沖裁基材，以沖裁間隙為試驗變量，分別取材料厚度（t）的10%、15%、20%進行3 組沖裁試驗，（編號分別為1、2、3）。在試驗中保持凸模的直徑為5 mm，通過更換不同直徑的凹模來改變沖裁間隙的大小。試驗模型如圖1 所示，凸模固定在萬能試驗機上，以1 mm/s 的位移下壓，上壓塊和底座依靠螺紋連接，擰緊后通過壓邊環壓緊材料，從而保證沖裁過程中材料穩定。

圖 1 試驗裝置和模型Fig. 1 Experimental device and model

在沖裁過程中板料變形較為復雜，簡單地分為3個階段：彈性變形階段，塑性變形階段和斷裂分離階段，斷面處會形成4 個特征不同的區域，如圖2 所示。

圖 2 沖裁斷面輪廓圖Fig. 2 Shear plane in blanking

沖裁完成后對斷面形貌進行掃描電鏡（SEM）分析，并測量斷面光亮帶的相對長度。分別測量每組試驗結果的斷面輪廓總長度，計算相應的分形維數。為了保證試驗的準確性，每組試驗多次沖裁，并對所測數據進行多次測量取平均值作為有效數據。

采用掃描電鏡對沖裁斷面的微觀形貌進行分析，如圖3 所示。從圖中可以看出，由于沖裁間隙的存在，板料首先受到拉伸、彎曲而出現流動形成圓角帶。光亮帶是板料塑性成形階段由于剪切作用而形成的剪切帶，因此表面平整。斷裂帶是由于拉伸破裂引起，因此表面粗糙，參差不齊，且存在很多裂紋和類橢圓形空洞。此外，圓角帶和光亮帶的交匯線較為光滑，而光亮帶與斷裂帶的交匯處則較不規則。

分別測量3 組實驗結果的相對光亮帶長度，結果表明第1 組光亮帶的相對長度為55.2%，第2 組光亮帶的相對長度為41.7%，第3 組光亮帶的相對長度為33.3%。按照相對光亮帶長度測量評價法可知，隨著沖裁間隙的增大,沖裁斷面的質量不斷變差。

為了測量沖裁件的斷面輪廓長度，采用AliconaInfiniteFocus 三維表面輪廓測量儀對3 組試驗結果進行分析，得到斷面輪廓測量結果（圖4）。由圖4 可見，即使是光亮帶的斷面輪廓也有一定的不規則性，而斷裂帶的輪廓尤其復雜，所以光亮帶或斷裂帶的相對長度并不能全面描述斷面輪廓的特征和細節。

圖 4 三維斷面測量結果Fig. 4 3D cross-section measurement

在表面輪廓儀測量基礎上，劃分不同的標尺，計算不同標尺下的輪廓曲線長度RL。再通過式(1)得到各組試驗結果的分形維數，對比結果如圖5 所示。

式中：RL為斷面輪廓的曲線總長度，R0為常數，η 為標尺長度，DF為分形維數。

由圖5 分析得出，斷面質量不同的沖裁件，其分形維數也不同。將各組試驗結果整理如表1所示，證實了分形維數與斷面的質量存在較強的關聯。沖裁斷面質量最好的第1 組分形維數最小，為1.030 8，表明其斷面輪廓復雜程度最低；而質量最差的第3 組分形維數最大，是1.098 6，表明斷面輪廓最不規則；第2 組的分形維數為1.059 2，介于前兩者之間，斷面的復雜性也介于兩者之間。因此，對于同種材料的沖裁來說，斷面質量的優劣可以用分形維數的大小來比較，分形維數越大，表示其表面復雜程度越高，斷面輪廓越不規則，斷面質量越差。

圖 5 分形維數對比圖Fig. 5 Comparison chart of fractal dimension

2 有限元分析

為了進一步研究斷面輪廓形成過程中的應力分布及其對斷面輪廓的影響，采用Deform-2D 有限元數值模擬軟件，建立如圖6 所示的軸對稱二維模型。其中，板料厚度0.5 mm，直徑18 mm，設置為彈塑性材料，材料在室溫（25 ℃）下應力-應變曲線如圖7所示。

板料的本構關系如下：

其中：εij為應變張量；σm為球張量；δij為克羅內克符號；sij為應力偏量；Ep為強化參數；σe為應力強度。其他參數如彈性模量E 為204 GPa，剪切模量G 為79 GPa，泊松比μ 為0.28。

圖 6 有限元分析模型Fig. 6 Finite element analysis model

表 1 沖裁斷面光亮帶比列與分形維數的比較Table 1 Comparison of burnish zone ratio and fractal dimension of blanking section

圖 7 沖裁樣品應力-應變曲線圖Fig. 7 Stress-strain curve of blanking sample

凹模、凸模、壓邊環均設置為離散剛體，沖裁單邊間隙10%t，各工藝參數與實驗保持一致，凸模和板料在R 方向固定，壓邊環和凹模在R、Z 方向均固定，采用常規摩擦模型，考慮到潤滑良好的情況下，摩擦因數取0.12[13]。將模型劃分為四邊形網格，總數量8 093，并采用梯度劃分的方法，細化沖裁間隙附近的網格，提高模擬結果的精確性。

對于沖裁的數值模擬而言，斷裂準則的選取直接影響到板料產生裂紋的時間和材料斷裂后的特征。本文的數值模擬采用Cockcroft&Latham 斷裂準則[14]，該準則認為，對于韌性金屬材料，當積累損傷達到一個臨界斷裂閥值C 時，即當塑性變形中的拉伸應力達到一個極限值時，斷裂發生。臨界斷裂閾值C 的計算方法[13]如下：

在有限元分析中，公式（4）近似于公式（5）[17]：

有限元數值模擬結果和實際結果的對比如圖8所示。

從對比結果得出，數值模擬的斷面輪廓中光亮帶和斷裂帶所占比例與實際照片中的比例相似，說明數值模擬結果與真實值吻合，表明用數值模擬的方法分析實際沖裁過程具有較高可靠性。在沖裁模擬過程中，圖8 光亮帶上點A 所受應力變化和斷裂帶上點B 所受應力變化分別如圖9 和圖10 所示。

從圖9 的變化曲線分析得出，在沖裁過程中，點A（光亮帶）受到的拉應力隨著沖裁的進行先為負值（受壓），隨后不斷增大變為正值（受拉），但始終未超過抗拉強度，而當所受剪應力超過抗剪強度時，板料被剪斷，拉應力和剪應力同時快速下降，由于斷面受剪力控制，形成較平整的光亮帶。而圖10 表明，隨著凸模的下壓，點B（斷裂帶）所受剪應力不斷增大，并維持在一個高位水平，但是當拉伸應力逐漸增加并超過抗拉強度時，此處的板料受拉伸作用而斷裂，形成粗糙的斷裂帶。

圖 9 點A 的應力變化曲線Fig. 9 Stress curve of point A

圖 10 點B 的應力變化曲線Fig. 10 Stress curve of point B

上述試驗和數值模擬結果表明，光亮帶是由于剪切力占主導而形成，斷裂帶是由于拉伸作用而形成。光亮帶的相對長度越小，分形維數越大。可以推測，當材料只受到拉伸作用時，光亮帶的相對長度接近于0，其斷面輪廓的分形維數達到最大。

3 拉伸斷裂試驗

為了獲得計算沖裁斷面分形維數的上限值，對厚0.5 mm 的304 不銹鋼拉伸實驗的斷面分形維數進行計算。拉伸試驗參考標準GB/T228.1—2010，拉伸試樣尺寸如圖11 所示，試樣斷面形貌如圖12 所示。相比于沖裁斷面，整個拉伸斷面粗糙度高，斷面輪廓極不規則，不存在相對平整的光亮帶，即光亮帶的相對長度接近零。

通過公式（1）計算拉伸試驗的斷面輪廓分形維數，與沖裁試驗分形維數的計算結果作比較，如圖13所示。由圖可得，304 不銹鋼只受拉應力作用形成的斷裂面，分形維數為1.128（第4 組），大于沖裁試驗中任一組的斷面輪廓分形維數，表明其斷面復雜程度最高，斷面質量也最差。

圖 11 拉伸試樣尺寸圖Fig. 11 Size of tensile specimen

圖 12 拉伸試樣三維斷面形貌圖Fig. 12 Three-dimensional cross-section topography of tensile specimen

圖 13 拉伸與沖裁的斷面分形維數對比Fig. 13 Comparison of cross-section fractal dimension of tensile and blanking specimen

4 結 論

（1）相比于傳統的相對光亮帶測量法表征斷面質量，基于分形幾何理論的分形維數具有更好的全面性和準確性，可用于定量表征復雜沖裁斷面輪廓的沖裁質量。

（2）針對同一材料，可以通過分形維數的相對大小來評價沖裁的斷面質量，斷面輪廓的分形維數越小，沖裁斷面質量越好。

（3）沖裁斷面成形過程中，光亮帶的形成由剪切應力占主導，斷裂帶的形成則由拉伸應力占主導，兩種斷裂機理共同作用下形成沖裁斷面，并形成相應的斷面分形維數。