歐拉(Euler)常數的應用探討

劉明煜　楊冉　譚建斌　王琛琦

摘 要 通過拉格朗日中值定理、幾何直觀運算的證明方法理解歐拉常數。運用歐拉常數在具體應用中進行運算，包括級數求和、求極限等，體現歐拉常數在這些方面的重要作用。

關鍵詞 歐拉（Euler）常數 極限 拉格朗日（Lagrange）中值定理 級數求和

中圖分類號：O173? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.09.026

Application of Euler Constant

LIU Mingyu， YANG Ran， TAN Jianbin， WANG Chenqi

（School of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract The Euler constant is understood through Lagrange's mean value theorem and geometric intuitive operation. The Euler constant is used to calculate in specific applications， including the summation of series and the calculation of limit， which reflects the important role of Euler constant in these aspects.

Keywords Euler constant; limit; Lagrange mean value theorem; summation of series

0 引言

Euler常數的存在性，是通過證明一個具有特殊形式的數列具有單調有界的性質，從而論證該數列的極限存在性問題。我們借助于這個結論在應用問題時將繁雜的數項級數或函數化為該數列的形式，從而使得解題過程變得簡單易懂。本文通過對歐拉常數的存在性證明展開，且運用圖像對證明進行直觀表述，并給出了一些在求解數列極限、數項級數的斂散性和函數積分問題的具體應用。

1歐拉（Euler）常數存在性證明

極限存在， 此極限稱為歐拉（Euler）常數， 記為。

證明：記，現證，且。

由拉格朗日公式有。當時，;當時，，則，即。

同理，令，有，且。則。

令。由于

故嚴格遞減。又由

可知其單調遞減有下界，故極限存在。[1]

2歐拉常數的幾何直觀描述

如圖1所示，設虛線下第1到共個小矩形的面積和為， 則。設函數與軸與軸所包圍的面積為，則。設圖中個實線下的矩形面積和為，則。

根據幾何直觀可知，，從而有，即數列是有界的，故單調遞減有下界，其極限當時存在。

圖1y=1/x函數圖像

3歐拉常數的幾個應用

我們知道歐拉常數本身作為一個求和的極限值，并且歐拉常數的主要部分為，這便使得我們在求某些由構成的級數中有了一種新的思路：我們可以通過將所需要求的級數中所含的提取出來，并且用歐拉常數的形式來表示，如此一來我們便實現了將一個較為復雜的級數形式轉變為一個含有歐拉常數的形式較為簡單的級數。

對于轉換后的級數，我們便可以更加方便地去討論它的收斂性和極限。

3.1 在數項級數求和的應用[2]

例1：求。

解：這是一個交錯級數，因為，并且，所以由Leibniz判別法知級數收斂。記其和為，部分和為，則

由于，根據極限的性質（為一個極限為0的數列），將其代入上式得

。故。

3.2 在求函數項級數收斂域的應用

例2：求級數的收斂域。[3]

解：令。

。

所以。

（1）當時，級數，由，

，及Leibniz判別法知該級數收斂。

（2）當時，級數，由發散及

利用正項級數判別法知該級數發散。從而該冪級數的收斂域為[-1，1）。

3.3 求無窮乘積的運算[2]

例3：對任意實數，求。

分析：指數連乘可以轉換為冪的連加，由得，再運用歐拉常數即可得出結果。由于，根據極限的性質，（為一個極限為0的數列）。

解：由于，前項部分乘積為

故。

3.4 在積分運算中的應用

例4：計算積分，其中表示的小數部分。[4]

分析：題目求某函數小數部分的積分，首先替換其形式為熟知的整數形式，其次將（0，1]內的積分轉換為關于的積分形式，便于求解積分。由于，根據極限的性質，（為一個極限為0的數列）。

解：因為被積函數有界，間斷點只有有限個，且這些間斷點只有唯一極限點0，所以積分有意義。

通過以上例題探討，我們得知在數項極限求和、函數項級數求收斂域、無窮乘積中的運算以及在積分運算中，歐拉常數的運用可以巧妙地簡化其計算和證明。本文只是對于歐拉常數淺顯的應用加以分析，歐拉常數在解決更為深層次的問題方面也有著顯著的決定性作用，本文不再加以闡述。

基金項目：中國礦業大學（北京）大學生創新訓練項目“數學分析中的典型問題與方法”（C201907655） （指導教師：林燕）

參考文獻

[1] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2003：25-70.

[2] 楊曉棣.Euler常數在解題中的應用[J].數學通報，1996.7：45-47.

[3] 朱永生，龔曉嵐.歐拉常數 的性質及在解題中的應用[J].高師理科學刊，2005.25（3）：15-17.

[4] 張丹丹.有關Euler常數的推廣及應用[J].蘭州文理學院學報，2016.30（3）：26-29.