抽象矩陣的行列式算法

張海濤

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

行列式不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,且在包含經(jīng)濟(jì)學(xué)在內(nèi)的很多其他學(xué)科都有廣泛應(yīng)用,行列式的計(jì)算又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),在求解線性方程組、求解逆矩陣和求矩陣特征值中占有不可替代的地位。抽象矩陣的行列式是研究生考試中的重要內(nèi)容,其概念性、綜合性強(qiáng)。由于未知行列式的具體元素，此時(shí)不能按照通常計(jì)算行列式的方法，將其化為三角形或降階來(lái)計(jì)算，基于行列式的性質(zhì)和矩陣的相關(guān)理論[1-3],介紹抽象行列式的計(jì)算方法和技巧，這些方法對(duì)學(xué)生掌握抽象行列式的計(jì)算與方陣的相關(guān)知識(shí)有指導(dǎo)作用。

1 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算

這種方法主要是運(yùn)用單行(列)可拆性來(lái)計(jì)算的。大多是把行列式用向量來(lái)表示,然后利用單行或者單列可拆性,把它拆開(kāi)成多個(gè)行列式,然后逐個(gè)計(jì)算,這時(shí)一部分行列式可能會(huì)出現(xiàn)兩行或者兩列元素相同或者成比例,這樣簡(jiǎn)化后便可求出題目中要求的行列式。

例1設(shè)3階矩陣，

其中α,β,γ2,γ3均是3維行向量，且已知行列式|A|=18,|B|=2,求|A-B|。

解兩矩陣相減，其對(duì)應(yīng)的行分別相減，因而

又因?yàn)樯厦嫘辛惺降牡谝恍袨閮上蛄恐睿珹B又可寫(xiě)成兩個(gè)行列式之差，得到

例1 中|A|-|B|=18-2=16，而|A-B|=2，故|A-B|≠|(zhì)A|-|B|，一般也有|A-B|≠|(zhì)A|-|B|。

2 利用矩陣的性質(zhì)及運(yùn)算來(lái)計(jì)算行列式

這類題目，主要是利用兩個(gè)矩陣相乘的行列式等于兩個(gè)矩陣行列式的乘積，這里當(dāng)然要求矩陣必須是方陣。解題思路是利用已知條件中的式子化和差為乘積的形式，進(jìn)而兩邊再取行列式，便可得到行列式的值。

常用的計(jì)算矩陣行列式的公式如下：

例2設(shè)A是三階方陣,|A|=,求|(3A)-1-2A*|。

解利用A*=|A|A-1=,歸結(jié)計(jì)算A-1的行列式：

說(shuō)明：|AB|=|A||B|常用來(lái)計(jì)算矩陣乘積的行列式，但也用來(lái)計(jì)算或證明和差矩陣的行列式，特別是用它計(jì)算含正交矩陣的和差行列式，將和差矩陣化成乘積矩陣，常將單位矩陣E恒等變形為AAT或AT A，然后提取公因式進(jìn)行計(jì)算。常用到下列轉(zhuǎn)置矩陣的行列式性質(zhì)：

例3設(shè)A是n階矩陣，滿足AAT=E，且|A|＜0，求|A+E|。

解將所求行列式|A+E|中的E 用AAT代換，得到

故|A+E|=|A|E+A，移項(xiàng)可得(|A|-1)|A+E|=0，又因?yàn)锳AT=E，故|AAT|=1，即|A|2=1，所以|A|=±1，而|A|＜0，所以|A|=-1，從而

(|A|-1)|A+E|=(-2)|A+E|=0，

即 |A+E|=0。

結(jié)合單位矩陣來(lái)求行列式，這類題目難度更大，對(duì)矩陣的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論要求較高，想掌握這種方法，須勤加思考，反復(fù)練習(xí)。

3 利用矩陣方程計(jì)算行列式

解題思路：先根據(jù)題目中的條件和矩陣的運(yùn)算規(guī)則,將方程進(jìn)行恒等變形,使方程化為AX=B，XA=B，或AXB=C的形式。若A或B或A且B可逆，分別解得X=A-1B，X=BA-1,X=A-1CB-1，此時(shí)再取行列式計(jì)算即可。

例4已知ABA*=2BA*+E，其中A=，求|B|。

解在等式ABA*=2BA*+E兩邊同時(shí)右乘A，得到ABA*A=2BA*A+A，即

|A|AB-2|A|B=A，而|A|==3，

所以3AB-2B=A,即3(A-2E)B=A，兩邊取行列式可得，

|3(A-2E||B|=27|A-2E||B|=|A|=3，

|3(A-2E)B||=27|A-2E|||B|=|A|=3，由于

|A-2E|==1，所以|B|=。

4 利用矩陣的特征值計(jì)算行列式

利用此方法須掌握以下兩個(gè)性質(zhì)。

性質(zhì)1設(shè)矩陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn，則

|A|=λ1，λ2，…，λn，

利用此公式，必須先求出矩陣的所有特征值。

性質(zhì)2設(shè)λ是A的特征值，α是A的屬于λ的特征向量，f(λ)是λ的多項(xiàng)式，f(A)是A的矩陣多項(xiàng)式，則f(λ)是f(A)的特征值，而α是f(A)的屬于f(λ)的特征向量。

例4已知3 階矩陣A 的特征值為1，-1，2，求|A-5E|。

解令f(A)=A-5E，因A的所有特征值為λ=1，-1，2，故f(A)=A-5E的所有特征值為f(λ)=λ-5，即f(1)=-4，f(-1)=-6，f(2)=-3，由性質(zhì)1可得

|A-5E|=|f(A)|=f(1)f(-1)f(2)=-72。

利用特征值來(lái)求行列式，這種方法需要掌握特征值的相關(guān)性質(zhì)，也需多作練習(xí)加以鞏固。

5 利用相似對(duì)角化求行列式

如果n階矩陣A能與對(duì)角陣相似，又已知其n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn，為求|A+kE|，可先將A對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使A=PΛP-1，其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，

再將E=PP-1得到，

例5設(shè)A為n階方陣，2，4，…，2n為其n個(gè)特征值，計(jì)算|A-3E|。

解因A有n個(gè)特征值，故可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得A=PΛP-1，其中Λ=diag(2,4,…,2n)，E=PP-1，則

計(jì)算行列式，要先看看是屬于數(shù)值型的還是屬于抽象型的。對(duì)于抽象行列式，需要具體分析題目中的條件和類型，再歸類處理。這類題目，方法較多，難度較大,綜合性較強(qiáng)。為了能熟練計(jì)算行列式的值,需要對(duì)行列式的性質(zhì)和矩陣的相關(guān)理論熟悉掌握，再通過(guò)勤加練習(xí)，加以鞏固。