增長條件在Hamilton 系統邊值問題中的應用之綜述

張曉飛，康淑瑰

(山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009)

1 研究現狀

1.1 變分法

非線性現象在自然界中屢見不鮮，數學工作者們經過合理論證抽象出數學模型，將非線性現象轉化為微分方程（組）解的適定性問題，即解的存在性、唯一性、穩定性問題。為深入研究這些非線性問題，數學家們創造性地提出了拓撲度方法、連續性方法、鞍點約化方法、變分法、臨界點理論、指標理論等非線性方法，涉及非線性泛函分析、微分方程與動力系統、微分幾何以及天體力學與流體力學等諸多數學與物理學分支。變分法是非線性分析的一個重要分支，諸多非線性問題都是變分問題，即可以歸結為某個泛函在一定條件下的極值問題或臨界點問題，如微分幾何中的等周問題、測地線問題、調和映照與極小曲面問題、經濟管理中的最優化問題、Dirichlet 邊值問題以及Hamilton 系統邊值問題等。

1.2 Hamilton 系統

天體力學、等離子物理、航天科學以及生物工程中的很多數學模型都是以一階Hamilton 系統或其擾動的形式出現的，而Newton 力學系統、Lagrange 力學系統以及Hamilton 力學系統推導出的方程組則是二階Hamilton 系統。由于其復雜性，Hamilton 系統的運動軌跡具有多樣性，數學上表現為各種不同類型的邊值問題，如周期解、閘軌道等，而閘軌道則是一種特殊形式的周期解。

最早從變分法入手研究Hamilton 動力系統的數學家是Poincare，他利用最小作用原理探索自由度為2 的保守系統的周期解問題。由于一階Hamilton 系統對應的作用泛函在相應的函數空間上是上下無界的，古典變分法的實用性具有很大的局限性。Rabinowitz 于1978 年在開創性文獻[Rab] 中打破這一壁壘，文章中指出利用有限維逼近原理，在有限維空間上找到一系列近似解，可以證明近似解的極限就是周期解。對于非平凡周期解，數學工作者們更關心該周期解的最小周期，因而Rabinowitz 在文獻[1]中提出著名猜想：由臨界點理論找到的τ周期解是否是最小周期解。Rabinowitz 進一步指出，可以從三個不同的角度研究Hamilton 系統周期解問題：邊值解是合適度量下的測地線(微分幾何);邊值解是作用泛函的臨界點;利用Fenchel 變換將凸Hamilton 系統邊值問題轉化為對偶變分問題（凸分析與最優化理論)。

所謂的一階Hamilton 系統周期邊值問題是指一組特殊的常微分方程，即

其中H∈C1(?2n,?)，J=。記

z=(p,q),p,q∈?n，展開（1）式得

若Hamilton 函數具有“動能+勢能”的表達形式：

首先我們在系統(1) 式左右兩邊乘以ξ∈C∞(Sτ,?2n)，隨之在區間[0,τ]上積分，整理得

此即作用泛函

z∈(Sτ,?2n)的Euler-Lagrange方程=0,z,ξ∈(Sτ,?2n),其中Sτ=?/τ?。了解函數空間(Sτ,?2n)以及作用泛函φ1，不難發現尋找系統(1)的周期解等價于尋找作用泛函φ1的臨界點。同理，尋找二階Hamilton 系統的周期解等價于尋找下面作用泛函的臨界點：

1.3 研究進展

從純粹數學角度研究Hamilton 系統邊值問題主要是給Hamilton 函數賦以適當的增長假設條件，如超二次增長條件、次二次增長條件、以及本文論述的混合增長條件。對應不同的增長條件，我們要尋找合適的臨界點理論，比如山路引理、同調環繞定理、局部環繞定理、噴泉定理等，來證明周期解的存在性結果。由于τ周期解也是kτ周期解(次調和解)，由相同的臨界點理論找到的kτ周期解實際上是否就是τ周期解，這就是所謂的次調和解互異性問題。數學研究者們還經常給Hamilton 函數附加對稱性假設，利用群作用原理推導出對稱臨界點理論，可以得到周期解的多重性結果。文獻[1-4] 中發展了不同形式的超二次條件，由此得到周期解的存在性結果。文獻[5-7] 利用不同的次二次增長條件得到存在性結果。由超二次增長條件和次二次增長條件可以引申出一些混合增長條件，應用見文獻[8-10]。

為研究周期解的最小周期問題，對于次二次增長情形，數一般通過迭代方法，比較作用泛函的臨界值，見文獻[6，10];而對于超二次增長情形，則需要利用Maslov 型指標理論，通過比較周期解與迭代解的Maslov 型指標，利用指標迭代不等式估計最小周期，見文獻[11]。Ekeland 關于凸Hamilton 系統建立了指標迭代理論，而龍以明院士和他的合作者則對于一般的Hamilton 系統建立了指標迭代不等式，并成功地將指標迭代理論應用于閉凸緊超曲面上閉特征個數的估計(幾何互異的周期解)。關于二階非凸Hamilton 系統的最小周期估計，龍以明院士建立了Morse 指標迭代理論，由此估計周期解的最小周期。

所謂的一階Hamilton 系統的閘軌道邊值問題如下：

尋找系統(3)的閘軌道等價于尋找下述作用泛函的臨界點：

由于函數空間WN中的函數具有對稱性，劉春根教授和他的合作者仿照Maslov 型指標迭代不等式的建立思路，發展了L-指標迭代不等式，可以給閘軌道最小周期一個更加良好的估計，見文獻[11]。值得一提的是，文獻[11]指出：在緊凸且對稱的閉超曲面上存在n條幾何互異的閘軌道，進而證明了Seifert 猜想。

2 混合增長條件

比較不同類型的增長條件，并介紹一些應用。首先我們介紹超二次增長條件。

2.1 超二次增長條件

Rabinowitz 于文獻[Rab] 中引入經典的超二次條件：

(Sup1)存在常數μ1＞2 與R＞0 使得

可以證明存在常數c1,c2＞0，使得H(z)≥-c2,z∈?2n,即該Hamilton 函數H的增長次數不低于μ1＞2。

Fei 于文獻[3]中弱化了文獻[1]中的超二次條件(Sup1)，推廣了周期解存在性結果，即

(Sup2)存在c1,c2＞0 以及β＞1 使得

計算得知Hamilton 函數H(z)=|z|2ln(1+|z|β)η(β,η＞1) 滿足(Sup2)而不滿足(Sup1)。

文獻[2]中就一階Hamilton 系統提出了一類弱化的超二次條件：

(Sup3)存在常數a＞0 以及一元函數η1滿足=+∞使得：

H''(z)≥-aI2n+η1(|z|)PX,

其中PX表示在J-不變平面上的投影，滿足PXN=NPX。

容易驗證：Hamilton 函數H只在平面PX?2n上是超二次增長的。最近我們將(Sup3)應用到二階Hamilton 系統，即

(Sup4)存在常數b＞0 以及一元函數η2滿足=+∞使得：

V″(q)≥-bIn+θ(|q|)PL，

其中PL表示在一維子空間L??n上的投影。

容易驗證勢能函數V只在一維子空間L上是超二次增長的。

文獻[4]就二階Hamilton 系統，弱化了超二次條件(Sup2)：

(Sup5) 存在常數c,R＞0 使得

而勢能函數

V(w)=(|w|2-1)ln(1+|w|2)+sin|w|2。

滿足(Sup5)而不滿足(Sup1)。值得一提的是該超二次條件目前只在二階系統得到應用，是否能夠應用于一階系統需要進一步研究。

2.2 次二次增長條件

Rabinowitz 類比超二次條件(Sup1)，提出了次二次增長條件：

(Sub1)存在1＜μ2＜2 以及R＞0 使得

文獻[5]提出了一般的次二次增長條件：

(Sub2)存在常數R＞0 以及單調遞增次線性一元函數f使得

而Hamilton 函數H(z)=|z|ln(1+|z|) 滿足(Sub2)不滿足(Sub1)。

文獻[7]中提出另一類次二次增長條件：

(Sub3)存在常數α∈[0,1) 以及c3,c4＞0 使得

文獻[6]就一階凸Hamilton 系統，提出一類條件，在原點處超二次增長，在無窮遠處次二次增長，即

該文獻利用對偶變分原理，將周期解問題轉化為對偶變分求最值問題。

最近，文獻[12]就二階系統，提出新的次二次增長條件，弱化(Sub1)：

(Sub5)存在一元函數θ(定義見文獻[12])以及常數R＞0 使得

而函數V(w)=滿足(Sub5)不滿足(Sub1)。

該次二次增長條件目前也只在二階系統得到應用，是否能夠應用于一階系統需要進一步研究。

2.3 混合增長條件

簡述一下混合增長條件的演化過程。

文獻[8]受超二次條件(Sub1)啟發，提出一類混合增長條件，既有超二次增長項，二次增長項，也有次二次增長項，即：

(A1)存在常數 0＜γ＜1,R,μi,νi＞0 滿足=γ(i=1,2,…,n)使得當|z|≥R時，下式成立：

易知當αi=βi(i=1,2,…,n)，(A1) 就是超二次增長條件(Sup1)。

文獻[9]由次二次增長條件引申出一類混合增長條件：

(A2)存在常數1＜μ,ν≤2 以及R＞0 滿足μ-1+ν-1＞1 使得當|z|≥R時，下式成立：

易知當μ=ν時，(A2)即是(Sub1)。

文獻[11]結合(A1)與(Sup2)提出一類混合增長條件：

(A3)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 滿足αi+βi=1(i=1,2,…,n) 使得

其中z=(p1,…,pn,q1,…,qn)，

V(z)=(α1p1,…,αn pn,β1q1,…,βnqn)。

不難發現，存在Hamilton 函數滿足(A3)，而不滿足(A1)。在(A3)假設下，利用同調環繞定理和Maslov 指標迭代理論，可以得到周期解的最小周期估計結果以及次調和解的多重性結果。

文獻[13]由條件(A2)與(A3)引申出一類混合增長條件：

(A4)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 滿 足αi+βi=1 (i=1,2,…,n) 使得

其中V(z)定義同上。文獻[13] 表明存在Hamilton 函數滿足(A4)而不滿足(A2)。

在次二次增長條件(A4) 假設下，利用同調環繞定理和Maslov 指標迭代理論，得到了周期解的最小周期估計結果以及次調和解的多重性結果。

文獻[10]受文獻[6]啟發，引入又一類混合增長條件：

(A5)存在ai,bi＞0 滿足=1(i=1,2,…,n)，使得

而當ai=bi(i=1,2,…,n)，(A5)即是(Sub4)。

文獻[10] 利用對偶變分原理，將Hamilton 系統周期解問題轉化為對偶變分問題，即：若H是凸函數，該函數的Fenchel 變換定義為：

H*(w)=sup{w?z-H(z)|z∈?2n},

則可以證明：

混合增長條件在一階Hamilton 系統周期解問題中已有了一些應用，但是受限于增長不一樣，應用范圍遠不如超二次增長條件那樣廣泛，我們將在今后沿著這一方向繼續探索。據撰稿人所知，目前可能只有一篇文獻[ZL]利用對偶變分原理研究一階凸Hamilton 系統的閘軌道。而對于一般的非凸Hamilton 系統，混合增長條件能否成功應用，尚需要繼續深入研究。