媒體報道對SEIQR傳染病模型的影響

孔麗麗，李錄蘋，陳慧琴

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009）

1 模型的建立

傳染病使得人口數量無法持續增加,生產效率難以有效提高,大規模的瘟疫爆發甚至影響到歷史的演進。因此，傳染病的研究成為了一個熱門的課題。近年來，隨著社會網絡媒體對傳染病的傳播途徑和防治手段的宣傳使得人們對疾病的傳播方式有了進一步認識，從而有效地控制了疾病的發展。因此，在傳染病的研究過程中考慮媒體報道對傳染病的影響是非常必要的。目前，已經有一些研究媒體報道對傳染病模型影響的文章出現[1-5]。考慮媒體報道影響下的SEIQR傳染病模型：

這里S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分別為t時刻各類人群的數量。用N(t)表示t時刻總人口數，則

N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。

Λ 為易感者的常數輸入率，μ為各類人群的自然死亡率，為媒體報道對傳染病傳播的影響。，n分別為傳染病的平均潛伏期和染病者的隔離率，r，r1為染病者的因病死亡率和隔離者的因病死亡率，，k為傳染病的飽和恢復率和隔離者的康復率。

2 地方病平衡點的存在性

把系統(1)中的微分方程相加得總人口N(t)的微分方程

顯然閉集

D1={(S,E,I,Q,R)∈R5|0＜S+E+I+Q+R≤;S,E,I,Q,R≥0}為系統(1)的正向不變集。

下面討論平衡點的存在性，顯然系統（1）總存在無病平衡點E0=(,0,0,0,0)。地方病平衡點的存在性由基本再生數R0所確定，接下來我們利用再生矩陣譜半徑方法[1-3]給出基本再生數的表達式。

令x=(E,I,Q,R,S)T，系統(1)可表示為

則Φ(x),Ψ(x)在E0處的雅可比矩陣分別為

定理1當R0＞1m2＜m1時，系統存在唯一的地方病平衡點E1?。

證明令系統(1)的右側導數為0，由其后四個方程得

把上邊的四個表達式代入系統(1)的第一個方程得

則當m2＜m1時，有F′(I)＜0，即F(I)為I的減函數。此時

從而當R0＞1 時，有F(0)＞0，那么方程F(I)=0 存在唯一的正解I?，也即系統(1)有唯一的地方病平衡點E1?=(S?,E?,I?,Q?,R?)。這里

3 地方病平衡點的穩定性

在m2＜m1的字體下討論系統（1）地方病平衡點E1?的穩定性。

定理2當(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3且R0＞1時，E1?局部漸近穩定。

證明系統(1)在E1?處的雅可比矩陣為這里

當(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時,有B2＜0。由此，系統(1)在E1?處的特征方程為

(λ+μ)(λ+μ+r1+k)[(λ+μ+B1)(λ+μ+σ)。(λ+n+μ+r+)-B1B2σ+B2σ(λ+μ+B1)]=0 (2)

則由Hurwitz 判據知方程(3)的根均具有負實部。因此R0＜1 且(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時，E1?局部漸近穩定。

對于E1?的全局漸近穩定性的討論如下,令

定理3若(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3，R0＞1，且下列條件之一滿足：

(1)當0＜I＜I?時，有；

(2)當I＞I?時，有。

則系統(1)的地方病平衡點E1?在D1內全局漸近穩定。

證明對于系統(1)的平衡點E1?以下式子成立：

定義Lyapunov函數

由S＞0，易知。又因算術平均數大于幾何平均數，所以有

另外，當(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時，有G′(I)＞0，從而G(I)是I的增函數。同時，函數g(I)滿足定理3的條件，所以