基于深度學習理念的高中物理問題的思考與探究
——以電磁驅動中的受力與能量問題為例

張石友 時子豪 于虎

(北京市第一七一中學 北京 100013)

1 問題的背景

高中階段，我們把有關電磁感應的問題大致分為兩大類，動生電磁感應類型和感生電磁感應類型．我們把由于金屬桿或者金屬框架與磁場發生相對運動(或者說由于面積S的變化)從而引起閉合回路磁通量的變化而產生感應電流的現象，稱為動生電磁感應現象．

在動生電磁感應現象中，廣泛涉及到動力學、電路、能量、動量、宏觀與微觀結合等問題，可以說為高中物理知識和能力的綜合考查提供了良好的平臺，因此在歷年的高考、模擬等大型考試中備受出題人青睞，近年來北京高考更是傾向于對物理學科本質進行不斷探索，例如：從宏觀與微觀的角度，分析動生電磁感應現象中的功能關系，以此來考查學生的綜合分析、解決問題的能力．但是，作為一種較為特殊的電磁感應現象，電磁驅動類型的問題卻很少被考查，筆者從教十數年，也一直對電磁驅動類型問題的實質不甚理解，甚至在一些問題中只能人云亦云、隨大流地泛泛而談．

比如，眾所周知的一個二級結論，在動生電磁感應現象中，安培力做負功，且克服安培力做功的大小等于產生的電能，或者說克服安培力做功的功率等于電功率．可以表示為

P電=F安v

然而，在電磁驅動中是否也可以運用這一結論呢？答案顯然是否定的！在電磁驅動中安培力是做正功的，只這一點，該結論就已經完全不適用了．怎么辦？我們似乎一直以來都是把電磁驅動類型的問題當做一種“特例”來處理的，苦口婆心地教會學生“在電磁驅動類型中，情況特殊，我們要特殊問題特殊處理”．筆者這些年教下來，每次到這里心里都有些發虛，也總是在思考這樣一個問題，怎么就特殊了呢？一般的動生電磁感應現象和電磁驅動問題怎么就不能統一呢？到底是不是分析過程中出現了什么疏漏，沒有考慮周全呢？為此，筆者基于深度學習理念，對電磁驅動問題進行了深入思考與研究．

2 對電磁驅動問題的深入思考與探究

我們先針對一般的動生電磁感應現象，從宏微結合的角度解釋和體會.

2.1 洛倫茲力起到能量轉換作用

2.1.1 建立模型

如圖1所示，足夠長的光滑導軌，左端連接阻值為R的電阻，兩導軌間距為L，金屬棒ab在兩導軌之間部分的電阻為r，當金屬棒的速度為v時，金屬棒內的自由電子(載流子)會有兩個分速度，一是隨金屬棒向右的速度v，二是沿金屬棒方向的定向飄逸速度u，而其合速度斜向右下方，如圖2所示．

圖1 導體棒切割模型

圖2 自由電子速度矢量圖

2.1.2 問題探討

(1)從微觀角度分析自由電子受洛倫茲力的情況

自由電子因兩個分速度而具有的兩個洛倫茲力分力如圖3所示，分別為f1=evB，f2=euB，而其洛倫茲力的合力為f．(可以證明f的方向和速度v的方向垂直，在此不做詳細說明)

圖3 自由電子f洛矢量圖

(2)分析兩個洛倫茲力的分力分別做功的情況

設在極短的一段時間Δt微元內，分力f1做功W1，分力f2做功W2，則有

W1= +f1uΔt= +evBuΔt

W2= -f2vΔt= -euBvΔt

2.1.3 結論

由上述分析可得W1+W2=0，這也恰好佐證了洛倫茲力不做功，只是通過兩個分力做功，起到將機械能轉為等量電能的“中介”的作用．(其中，沿棒方向分力f1為電源內部的非靜電力，做正功，宏觀上表現為電源電動勢，產生電能；垂直于棒分力f2，宏觀上表現為安培力，做負功，消耗機械能)

2.2 在電磁驅動情景中自由電子受力以及能量轉化問題

接下來依照上述思路，從宏微結合的角度解釋分析．

2.2.1 建立模型

如圖4所示，足夠長的光滑導軌，左端連接阻值為R的電阻，兩導軌間距為L，磁場的磁感應強度為B，當磁場以向右的速度v1勻速運動時，金屬棒隨之運動，其速度為v2，導軌與金屬棒內阻忽略不計．

圖4 電磁驅動模型

2.2.2 問題探討

(1)從微觀角度分析自由電子受洛倫茲力的情況

根據右手定則可以判斷，金屬棒的a端為電源負極，b端為電源正極，其內部電流方向為由a向b．則載流子(自由電子)的定向飄逸速度為u，方向為由b向a．同時，金屬棒內的自由電子隨金屬棒向右的速度v2，其合速度斜向右上方，即所對應的金屬棒內某個自由電子受到的洛倫茲情況則如圖5所示．依然可證洛倫茲力不做功．

圖5 電磁驅動中自由電子受力問題

(2)對金屬棒感應電動勢進行剖析

如圖6所示，選取運動參考系S′，它相對于導軌也以速度v1沿與導軌平行的方向運動．在此參考系中，導軌以速度v1向左運動，金屬棒穩定運動時以(v1-v2)向左運動．考慮到不同參考系中所表現到的電磁場情況并不一樣，對于一個參考系中的純磁場，在另一個參考系中看來，還將會有可能存在電場．根據非相對論情形(v?c)下的電場和磁場的變換式[1]

E′=E+v×B

可得感生電場強度和磁場強度的分量如下

圖6 電磁場變換情境圖示

因此在S系中可進一步分析自由電子受力，如圖7所示，除了洛倫茲力外，自由電子還應受到a指向b的感生電場力，大小為F電=eEz=ev1B，在S系看來，這個感生電場力充當動力作用，使自由電子發生定向移動(定向移動速度為u)，從而形成感應電流[2]．

圖7 在S系中分析自由電子受力

E=BL(v1-v2)

(3)從能量轉化與守恒視角分析電磁驅動

根據閉合電路歐姆定律

BL(v1-v2)=IR

展開后整理為BLv1-BLv2=IR，我們可以將之進行如下理解：等號左邊“BLv1”表示由于磁場以v1運動導致金屬棒切割磁感線產生的電動勢，稱之為正電動勢；“BLv2”表示金屬棒以速度v2切割磁感線產生的電動勢，方向與正電動勢相反，故稱之為反電動勢．因此可以看出在此過程中金屬棒的角色既是發電機也是電動機．

閉合電路歐姆定律的實質是能量守恒定律，從能量角度來講，我們可以將上式等號兩側同時乘以電流I，得

BLv1I=I2R+BLv2I

其中，BLv1I為產生“電能”的電功率，而BLv2I為輸出的機械能的機械功率，I2R為電熱功率．等式反映了磁場與電路系統的能量轉化與守恒關系．

我們也可以把電磁驅動情景與我們熟悉的“一對相互作用的滑動摩擦力對系統所做總功的代數和的絕對值等于因摩擦生熱而產生的內能”進行類比，以規律的進階便于學生理解．滑動摩擦力的作用是阻礙物體間的相對運動，在電磁驅動情境中安培力雖然是動力作用，但磁場運動，金屬棒相對磁場反向運動，安培力的作用是阻礙這個相對運動，那么我們可以類比猜想，電路的電能應等于安培力乘以金屬棒相對磁場運動的位移即E電=F安x相．論證如下：在電磁驅動過程中，磁場給金屬棒一個向右的安培力，與此同時，磁場本身必受到向左的反作用力，為保證磁場速度恒為v1，外界需給磁場一個向右的作用力F，大小等于安培力．那么拉力對磁場做功的功率為

PF=Fv1=F安v1

安培力對金屬棒的功率為

P安=F安v2

功率差值為

ΔP=F安(v1-v2)=F安v相

可以看出，F安v相即為電源總功率．