再議圖解法求解伏安特性曲線中的實際功率問題

楊曉宇

(成都市龍泉中學 四川 成都 610100)

在文獻[1]中，就求解非線性元件伏安特性曲線中的實際功率問題給出了兩種方法，其中試探法較為繁瑣，學生較難在有限的時間內通過試探的方式找到并讀出正確的I和U數值，而圖像法需要在R1和R2的伏安特性曲線基礎上作出R1和R2的等效非線性電阻的伏安特性曲線，這種做法對線性元件是可行的，但對非線性元件手工作圖將極為困難，即使作出圖像也存在讀數誤差較大的問題，該方法鍛煉學生思維能力尚可，但對學生解題幫助不大.能否直接利用原圖準確又快速地解決該問題呢？下面我們做一番討論.

1 問題的提出

利用圖解法求解伏安特性曲線中的實際功率問題的解析.

(1)一個定值電阻R

對圖1(a)所示電路，圖1(b)中的交點坐標即為實際電壓和實際電流.

圖1 電路中有一個定值電阻的伏安特性曲線

(2)一個小燈泡L

對圖2(a)所示電路，圖2(b)中的交點坐標即為小燈泡的實際電壓和實際電流.

圖2 電路中有一個小燈泡的伏安特性曲線

(3)一個定值電阻R與一個小燈泡L串聯

圖解法：對圖3(a)所示的電路圖，作出如圖3(b)所示的圖像.由于R與L串聯，電流相等，故可借助平移刻度尺做豎直線，尋找到U-UR=UR-(UR-UL)成立的豎直線(即圖中黑粗線所示兩段幾何長度相等)，易知此豎線對應U=UR+UL，滿足閉合回路歐姆定律，故圖中UL即為燈泡的實際電壓.

等效電源法+圖解法：由于R為定值電阻，故可等效為電動勢為E，內阻為R+r的電源與燈泡組成回路，則解法與(2)中情況相同，如圖3(c)所示，兩圖線的交點即為燈泡的工作點.

圖3 定值電阻與小燈泡串聯電路伏安特性曲線

(4)一個滑動變阻器R與一個小燈泡L串聯

如圖4(a)所示，當一個滑動變阻器與燈泡串聯時，可以利用“等效電源法+圖解法”求出燈泡的最大功率和最小功率.將R與電源處理成電動勢為E，內阻為R+r的等效電源，則當R從最大值減小過程中，可以作出一系列等效電源的伏安特性曲線，與L的伏安特性曲線的一系列交點均為燈泡的工作點，由圖4(b)不難發現，當R取最大值時交點對應燈泡最小實際功率，當R取最小值時交點對應燈泡最大實際功率.

圖4 滑動變阻器與小燈泡串聯電路伏安特性曲線

(5)兩個小燈泡L1和L2串聯

電路圖如圖5(a)所示，此種情況與(4)中的圖解法思維一致，圖5(b)中的U1和U2即為燈泡L1和L2的實際工作電壓.

圖5 兩個小燈泡串聯電路伏安特性曲線

(6)一個定值電阻R與一個小燈泡L并聯

圖解法：對圖6(a)所示的電路圖，作出如圖6(b)所示的圖像.由于R與L并聯，電壓相等，故可借助平移刻度尺作水平線，尋找到I總-IL=IL-(IL-IR)成立的水平線(即圖中黑粗線所示兩段幾何長度相等)，易知此水平線對應I總=IR+IL，滿足閉合回路歐姆定律，故圖中IL即為燈泡的實際電流.

圖6 定值電阻與小燈泡并聯電路伏安特性曲線

(7)兩個小燈泡L1和L2并聯

電路圖如圖7(a)所示，此種情況與(6)中的圖解法思維一致，圖7(b)中的I1和I2即為燈泡L1和L2的實際工作電流.

圖7 兩個小燈泡并聯電路伏安物性曲線

2 兩個相同的小燈泡串并聯問題中的圖解法

(1)兩相同燈泡L串聯的兩種圖解法

兩相同小燈泡串聯電路圖如圖8所示.

圖8 兩相同燈泡串聯電路圖

第一種圖解法：類似圖3(a)中解法，如圖9(a)所示，由于兩燈泡完全相同且電流相等，可以借助刻度尺平移作豎線，找到U=2UL成立的豎直線(即圖中黑粗線所示兩段幾何長度相等)，易知圖中IL即為燈泡的實際電流.

圖9 兩燈泡串聯電路伏安特性曲線兩種解法

圖10 兩種相同小燈泡串聯等效電路

解釋二：在圖8電路中，設某一燈泡的電壓為U，電流為I，由閉合回路歐姆定律可知

E=2U+Ir

等式左右同除以2可得

令

得

E′=U+Ir′

此式即為圖10的閉合回路歐姆定律.

解釋三：由幾何知識可知，作三角形OAB的一條中線BC，該中線一定平分任意一條OA邊的平行線，如圖11所示.結合圖9(a)可知，BC與L的交點即為燈泡的實際工作點.

圖11 等效法的幾何圖像

(2)兩相同燈泡L并聯的兩種圖解法

兩相同燈泡并聯電路圖如圖12所示.

圖12 兩相同燈泡并聯電路

解法一：類似圖6(a)中解法，如圖13(a)所示，由于兩燈泡完全相同且電壓相等，可以借助刻度尺平移作水平線，找到I=2IL成立的水平線即圖中黑粗線所示兩段幾何長度相等)，易知圖中UL即為燈泡的實際電壓.

圖13 兩燈泡并聯電路伏安特性曲線兩種解法

解釋一：將圖12中電源拆分成電動勢均為E，內阻均為2r的兩個電源并聯，根據電路疊加原理，可將電路等效為一個燈泡與一個電動勢為E，內阻為2r的電源組成工作電路，如圖14所示.

圖14 兩相同燈泡并聯等效電路圖

解釋二：在圖12中，設某一燈泡的電壓為U，電流為I，由閉合回路歐姆定律可知

E=U+2Ir

令

得

E′=U+Ir′

此式即為圖14的閉合回路歐姆定律.

解釋三：幾何方法與上述圖11一致，不做贅述.