《高等數學》教學中極限部分的反例探討

邱敏

高等數學是理工類學生最重要的基礎課之一。我們在學習過程中發現：高等數學中的極限部分有很多定理、命題都只是充分條件。即：若完全滿足此類定理或命題的條件時，結論必然成立;不滿足，則不一定成立。由此我們研究使該命題不成立的實例不失為一種反駁與糾錯的方法。而研究定理命題的意義非常重大，主要體現在對極限思想的理解與應用。具體如下：

一、能夠加深對基本概念的理解以及進一步了解定理的作用。如果僅從正面去分析“概念、性質、法則”等往往不能抓住命題的本質，而由其反方向思考，有時更能理解內涵。

二、能夠精確把握各個重要概念的聯系。

三、能夠加快新理論的誕生，消除歷史上的“盲點”，“悖論”;反之，也使得高等數學更為嚴謹，并且在形式、結構、應用上更為完整。

數列極限的定義我們非常熟悉，但是仍然有很多人會對這個簡單概念感到模糊。下面這個例子從反面闡述了數列極限的定義內涵。

分析了上面兩個例子，我們由數列極限定義的反面理解了與這兩個重要指標的內涵，更深刻領會了高等數學里的極限思想。

很明顯，無限多個無窮小量相加不一定構成無窮小量，無限多個無窮小相乘會出現什么樣的結果呢？有的讀者按照定勢思維分析，想象中無限多個無窮小作乘法運算必構成無窮小量。事實上，這種直覺性的結論是錯誤的，如下反例可以得到結論：無限多個無窮小量的乘積并不一定總是無窮小量。

這三個問題著重從極限概念、極限的四則運算方面構造反例，從而達到了更深入地理解高等數學里最重要的極限思想的目的。