課題：6.4.3 余弦定理，正弦定理 1.余弦定理

唐華兵

教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

1.在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容，推證余弦定理;

2.運(yùn)用余弦定理解決解三角形的相關(guān)問(wèn)題.

（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷從問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

2.經(jīng)歷體會(huì)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。

3.經(jīng)歷余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算和思維能力。

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是：探究余弦定理并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)是：探究并證明余弦定理。

（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.余弦定理的探究

師：同學(xué)們，我們?cè)诟咚俟飞蠒r(shí)，經(jīng)常會(huì)通過(guò)隧道，那么，同學(xué)們知道隧道是怎么開挖的嗎？下面，我們來(lái)看一段隧道開挖的動(dòng)畫模擬。（播放視頻）

情境導(dǎo)入：如圖，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道的寬度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B、C的距離，其中AB=3 km，AC=1 km，再利用經(jīng)緯儀測(cè)出∠BAC=150°，請(qǐng)問(wèn)BC是多少千米？

師：如果∠BAC=90°，我們可以利用勾股定理很快的求出來(lái)，但是現(xiàn)在∠BAC=150°，我們?cè)撛趺辞竽兀?/p>

問(wèn)題1.（1）在 中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知邊b，c和夾角A，能求出第三邊a嗎？

生：能

追問(wèn)1：為什么？

生：因?yàn)槲覀兂踔袑W(xué)過(guò)SAS判斷三角形全等的方法，這就告訴我們已知兩邊及其夾角這個(gè)三角形是唯一確定的，所以第三邊也是確定的。

追問(wèn)2：那么如何利用 和A表示邊 呢？請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，進(jìn)行分組合作探究，尋求解決方法.

學(xué)生活動(dòng)：小組合作探究，積極參與討論，共同尋找解決方案，展示研究成果.

設(shè)計(jì)意圖：分組合作探究，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)解決該問(wèn)題，學(xué)生可以多角度思考去尋找解決問(wèn)題的方法，起到訓(xùn)練知識(shí)遷移使用的能力.通過(guò)上臺(tái)展示，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信力.通過(guò)解題過(guò)程的完善，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.問(wèn)題的解決使余弦定理的生成比較自然.這里，教師重在啟發(fā)學(xué)生的思考.考慮到教科書中采用向量法的意義和作用，因此教師可以作兩手準(zhǔn)備：若學(xué)生中有提出用向量法探究的，則協(xié)商并確定選用向量方法探究余弦定理是十分自然的.若學(xué)生中沒(méi)有提出用向量法探究的，則教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：是否可以利用向量法探究（線段長(zhǎng)與向量的模建立聯(lián)系）.

方法一：（幾何法）通過(guò)作輔助線將三角形分割為特殊三角形---直角三角形，構(gòu)造出直角三角形后利用勾股定理建立等量關(guān)系.本方法要注意對(duì) 進(jìn)行討論.

師：非常好，同學(xué)們可以利用學(xué)過(guò)的向量知識(shí)來(lái)解決新的問(wèn)題，真是學(xué)以致用啊！

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注：我們的研究目標(biāo)是用b，c和A表示a，聯(lián)想到數(shù)量積的性質(zhì) ，可以考慮利用向量 進(jìn)行相關(guān)的數(shù)量積運(yùn)算得到結(jié)果”.

設(shè)計(jì)意圖：這是推證過(guò)程中的難點(diǎn).設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題，旨在引導(dǎo)學(xué)生不僅知道“是什么”，而且更應(yīng)當(dāng)知道“為什么”.

師：同學(xué)們，你們剛才除了用這種方法來(lái)證明余弦定理以外，還有什么其他方法證明余弦定理嗎？

生：我們還可以建立直角坐標(biāo)系

師：非常好，說(shuō)說(shuō)具體過(guò)程

方法三、（坐標(biāo)法）

設(shè)計(jì)意圖：得出余弦定理完整的形式.

師：三個(gè)等式中都含有余弦，所以三個(gè)式子合在一起叫余弦定理.這三個(gè)等式是余弦定理的符號(hào)語(yǔ)言，那么其文字語(yǔ)言該怎樣敘述呢？

提問(wèn)某學(xué)生，學(xué)生回答之后，教師結(jié)合式子敘述余弦定理的文字語(yǔ)言.

余弦定理文字表述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)余弦定理的符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言，掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，明確余弦定理的用途.

2.余弦定理與勾股定理的關(guān)系

師：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例

問(wèn)題3.余弦定理與之前學(xué)過(guò)的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常相近？

學(xué)生在教師的啟發(fā)下，發(fā)現(xiàn)與勾股定理相近，自主分析并總結(jié)出兩個(gè)定理之間的關(guān)系. 為直角時(shí)， ， ，是勾股定理的形式.這說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析，勾股定理指出了直角三角形中兩條直角邊及其所夾的直角與斜邊之間的關(guān)系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意兩邊及其夾角與第三邊之間的關(guān)系，其根本的差異在于夾角.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從余弦定理中抽象出勾股定理，進(jìn)而辨析勾股定理與余弦定理的關(guān)系.通過(guò)余弦定理與勾股定理關(guān)系的分析，引發(fā)學(xué)生提煉蘊(yùn)含在問(wèn)題中的“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生樹立辯證觀點(diǎn).

3.解三角形：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形

4.課本例5的教學(xué)（即課件的例1）

師生活動(dòng)：由例1做鋪墊，例2由學(xué)生自己在下面完成，然后用學(xué)生機(jī)上傳結(jié)果，由于這道題在求角B，C的余弦值時(shí)候有多種方法，既可以用余弦定理的推論來(lái)求，也可以用二倍角公式來(lái)求，正好可以展示他們不同的思路。

師生活動(dòng)：由例1，例2做鋪墊由學(xué)生自己在下面獨(dú)立思考，教師實(shí)時(shí)引導(dǎo)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從方程的角度理解余弦定理，從而解決問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步從方程得角度理解余弦定理，加強(qiáng)對(duì)余弦定理得理解和應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析，邏輯推理等核心素養(yǎng)。

5.課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

（1）余弦定理是什么？如何用向量方法推導(dǎo)余弦定理？

（2）余弦定理的推論是什么？

（3）余弦定理實(shí)質(zhì)上是勾股定理的推廣;

（4）運(yùn)用余弦定理及其推論可以解決哪些解三角形的問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力.

（六）、教學(xué)反思

1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用;第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。

2、當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個(gè)問(wèn)題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。

3、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過(guò)程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過(guò)大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，效果很差。學(xué)生根本沒(méi)有掌握住這些定理、概念的形成過(guò)程，不能明白知識(shí)的來(lái)龍去脈，怎么會(huì)靈活的應(yīng)用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標(biāo)教育的教學(xué)理念。新課標(biāo)課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過(guò)程，重視學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識(shí)”的權(quán)利還給學(xué)生。

4、本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程重視學(xué)生探究知識(shí)的過(guò)程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過(guò)提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問(wèn)題，探究問(wèn)題的結(jié)論。在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生在探究問(wèn)題中出現(xiàn)的困惑置之不理。

5、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點(diǎn)睛、提高效率、增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題感官認(rèn)識(shí)的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時(shí)的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C(jī)械的“眼到”，學(xué)生看了一節(jié)課的“電影”，沒(méi)有充足的時(shí)間去思考、練習(xí)、鞏固，課后會(huì)很快將所學(xué)的知識(shí)忘得一干二凈。

6、在實(shí)際的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于所學(xué)的知識(shí)（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強(qiáng)。從授課的實(shí)際效果來(lái)看，能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。后一階段的教學(xué)主要應(yīng)該加強(qiáng)師生的課堂雙邊活動(dòng)，處理好教與學(xué)的關(guān)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂參與意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽的發(fā)言，學(xué)生主動(dòng)暴露自己的問(wèn)題，教師及時(shí)的加以糾正，使教學(xué)更具針對(duì)性。