“無所不能”的合力矩定理

劉小妹 梁擁成

摘 要 基于合力矩定理分解的思想和合力矩定理解析式的應用兩個方面，對合力矩定理作了一些歸納和總結，例舉說明了定理在力學中的“無所不能”的作用：利用其分解的思想直觀方便求力矩，力偶;利用解析式求平面任意力系、空間任意力系、空間平行力系合力的作用線位置。

關鍵詞 理論力學 合力矩定理

中圖分類號：O312.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.09.032

Abstract Based on the idea of decomposition of resultant moment theorem and the application of analytical formula of resultant moment theorem， this paper sums up the theorem of resultant moment， and illustrates the omnipotent function of the theorem in Mechanics： it is intuitive and convenient to find moment and couple by using its decomposition thought; and it is used to calculate the resultant force of plane arbitrary force system， spatial arbitrary force system and spatial parallel force system line position.

Keywords theoretical mechanics; theorem of moment of resultant force

0 引言

在理論力學靜力學這一大篇中，對于力系主要研究了合成與平衡兩大問題。關于合成有合力投影定理和合力矩定理。這兩個定理在靜力學中具有重要的作用，比如合力投影定理在匯交力系中，可以求合力的大小和方向。實際上，合力投影定理適用于任何矢量比如在運動學中的速度和加速度。點的合成運動和剛體平面運動中求速度與加速度矢量合成，本質其實就是合力投影定理的推廣。在任意力系中合力投影定理可以求主矢的大小和方向，但是合力作用線位置，還必須借助于合力矩定理。利用合力矩定理可以求得主矩的大小，進而求得合力作用線的位置。這兩個定理，在匯交力系、平面任意力系、空間任意力系中均分別作了敘述和證明，繁鎖而又重復。事實上這兩個定理 均無需證明， 而可直接由合力的定義得出。[1]平面問題，力對點之矩，實際上空間問題中的力對軸之矩，是一個代數量，而在空間問題中，力對點之矩是一個矢量，合力矩定理在兩種情況下都是成立的。因此總的來說合力矩定理是指合力對任一點之矩矢等于力系中各力對該點之矩矢的矢量和;合力對任一軸之矩等于力系中各力對該軸之矩的代數和。

縱觀力學教學過程，很多地方都應用了合力矩定理。在靜力學中無論是求力對點力矩，一般任意力系的合成或是平行力系的合成都經常會用到合力矩定理，因此合力矩定理的應用是力學教學中的一個重點內容，應該加以重新的認識和重視。剛開始是利用合力矩定理的分解思想純粹求力矩，然后把合力矩定理中的作用點坐標看作是力的作用線上的任意一點，可以求任意力系的作用線方程，最后還可以用合力矩定理求平行力系的中心。在教學過程中應該引導學生不斷地對合力矩定理加以新的認識，讓學生在一步步深入學習的過程中，不斷強化理解合力矩定理，學生自然而然地就掌握了它的意義。本文基于合力矩定理分解的思想和合力矩定理解析式的應用兩個方面，對合力矩定理作了一些歸納和總結，通過實例，說明了該定理在力學中的“無所不能”的作用。

1 合力矩定理分解的思想的應用

求力對點之矩，聽起來很簡單，但是由于學生起初學力矩時就是用力乘以力作用線到該點的距離，由于先入為主，學生一遇到求力矩，就想到求距離，但是在理論力學求力對點之矩時，一般距離不太直觀方便，這時，我們可以依據合力矩定理先把力分解，分別求每個分力的矩，然后合成，這不僅適用于平面，也適用于空間，也適用于求力偶矩。例如在圖1中矩形板的A點處作用一力，方向如圖所示，則該力對點O的矩。如果直接求力的作用線到O點的距離，不太直觀，我們可以先在力作用點處A將力先分解水平和豎直的分力，這樣很容易直觀看出水平和豎直分力到固定點O的距離分別為和，依據合力矩定理，兩者分別產生的矩的代數和為。

再例如在空間力系圖2所示立方體，長、寬、高均為3m，沿對角線O′B有作用力P=10kN，如果要求此力對、、軸之矩，我們也可以先在作用點處O點把作用力分解成、方向上的分力，然后在求所有分力對、、軸之矩的代數和。

2 合力矩定理解析式的應用

在平面和空間問題中，都可以利用合力矩定理求合力的作用點或是作用線方程。另外，這些離散的力系很好理解，連續性的荷載分布如均勻分布或是三角形分布，往往也通過積分的方法利用合力矩定理求得合力的作用線位置。力作用在剛體上的點，如圖3所示。

這也適用于平行力系，得到平行力系的中心，進而得到重心，形心的位置。特別地，求形心的位置，與材料力學當中的靜矩之間有內在聯系。材料力學中物體的靜矩學生覺得概念比較抽象，但是靜矩叫面積對軸的一次矩，學習的時候，可以把靜矩和力矩有機結合起來。同理可推廣至慣性矩，故而得到了在穩定中的慣性半徑的概念，可見面積對軸的二次矩， 也可視為面積集中于慣性半徑位置處的二次矩，這些分分合合中體現了化繁為簡的重要思想。[2]

3 結論

在力學教學過程中，講解合力矩定理內容時，雖然對該定理本身的證明，理解一點都不困難，但是發現他的應用還真不少，有時候要利用其分解的思想來求力矩，力偶，拋棄原有的固定思維求距離，有時候還可以利用解析式求合力的作用線位置，平行力系中心。很多同學在一開始學習時，總認為求合力，只是其大小和方向，其實還有一個很重要的要素就是作用點，或是作用線，這就要發揮合力矩定理的“無所不能”的作用了。本文對合力矩定理作了簡要的概括和總結，其實合力矩定理還連接了理論力學和材料力學的橋梁，那就是截面的靜矩，在教學過程中，把所學的內容加以歸納總結，做到知識的融會貫通，理解就會深刻。

參考文獻

[1] 李克安.有關工程力學幾個問題的討論[J]岳陽大學學報，1988（2）：89-93.

[2] 鄒思敏.橫看成嶺側成峰——淺議合力矩定理在土建工程中的應用有關工程力學幾個問題的討論[J].建材發展導向，2017：393.