數學分析方法在現代控制理論中的應用

劉帥 王立成

摘 要 數學分析是高校數學專業學生的一門基礎專業課，其蘊涵的豐富內容和精深的思想方法為后續各學科理論學習提供了堅實的基礎。在數學分析教材中，言語精煉、概念抽象、推理嚴密的理論證明和繁雜的計算無處不在，在證明和計算過程中使用到的思想、方法和知識為其他自然科學和工程科學提供了研究方法和手段，也在理論和應用之間架起了橋梁。數學分析的學習既有助于加深對數學理論和內容本質的規律性認識，又對將數學理論應用于實際工業生產生活中起到了促進作用。此外，現代控制理論是利用現代數學方法和計算機來分析、綜合復雜控制系統的新理論，其發展離不開數學理論的推動，多種數學工具結合來解決控制與系統科學中的一些問題已成為一種規律。本文將著重探討數學分析方法在現代控制理論中的相關應用。

關鍵詞 數學分析 現代控制理論 泰勒級數 極值原理 多重積分 函數一致收斂性

中圖分類號：O17?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.09.034

Abstract Mathematical analysis is a basic professional course for students majoring in Mathematics in Colleges and universities. Its rich contents and profound thinking methods provide a solid foundation for the follow-up theoretical study of various disciplines. In the teaching materials of mathematical analysis， theoretical proof and complicated calculation with refined language， abstract concept and strict reasoning are everywhere. The ideas， methods and knowledge used in the process of proof and calculation provide research methods and means for other natural and engineering sciences， and also build a bridge between theory and application. The study of mathematical analysis not only helps to deepen the understanding of the regularity of mathematical theory and content essence， but also promotes the application of mathematical theory in actual industrial production and life. In addition， modern control theory is a new theory that uses modern mathematical methods and computers to analyze and synthesize complex control systems. Its development is inseparable from the promotion of mathematical theory. It has become a rule to solve some problems in control and system science by combining various mathematical tools. This paper will focus on the application of mathematical analysis method in modern control theory.

Keywords mathematical analysis; modern control theory; taylor series; extremum principle; multiple integral; uniform convergence of functions

0 引言

“數學分析”[1]是分析學中最古老、最基本的分支，它以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，并包括它們的理論基礎（實數、函數和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科。它的發展由微積分開始，并擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助于我們應用在對物理世界的研究，發現自然界的規律。此外，數學分析中的極限理論、函數連續理論以及積分理論等滲透于理論研究的方方面面，為各專業理論研究的發展起到了重要的橋梁作用。

現代控制理論[2]形成于20世紀50年代末，是建立在狀態空間模型基礎上的，其兩大核心分別是最優控制理論和最優估計理論（Kalman濾波理論）。特別地，狀態空間模型的建立為接下來現代控制理論的發展和繁榮奠定了堅實的基礎。由于狀態空間模型可能是線性的、非線性的、定常的、時變的、連續的、離散的，因此，在分析這些模型的過程中，數學分析、線性代數、矩陣論等數學工具發揮著巨大的作用。

1 主要結果

在這一部分，我們將著重討論幾類數學分析方法對現代控制理論發展中起到的重要作用。具體地包括：泰勒展開技術在擴展卡爾曼濾波問題中的應用;極值原理在最優控制問題中的應用;多重積分在時滯系統中的應用以及函數的一致收斂性在李亞普諾夫意義下一致穩定概念中的應用。

1.1 泰勒級數展開在擴展卡爾曼濾波問題中的應用

Kalman濾波算法[3]是在1960年由Rudolf E. Kalman第一次提出的，隨后他發現這一算法對預測阿波羅計劃的軌道非常有用，從此，卡爾曼濾波在航空航天、現代通信以及計算機視覺等領域獲得了廣泛的應用。Kalman濾波的主要思想是：利用線性系統狀態方程以及一段時間內一系列受噪聲污染的觀測值，來對未知狀態進行最優估計的算法。眾所周知，對于線性高斯系統，傳統的卡爾曼濾波算法可以在最小均方意義下獲得最優的濾波器增益。

然而，實際的工程系統經常受到外部環境中一些不確定因素的影響，導致系統呈現非線性特性，針對非線性高斯系統，處理方法有擴展卡爾曼濾波算法、無跡卡爾曼濾波算法和粒子濾波算法等。特別地，擴展卡爾曼濾波算法核心思想是：對非線性函數的泰勒展開式進行一階線性化截斷，忽略其余高階項，從而將非線性問題轉化為線性問題，繼而可以用傳統卡爾曼濾波算法進行處理。而線性化過程用到的主要數學方法就是數學分析教材中的泰勒公式。具體地，考慮如下離散時間非線性高斯系統：

其中，和分別是待估計的狀態向量和傳感器的測量輸出，表示維歐式空間;過程噪聲和測量噪聲分別是零均值的高斯白噪聲序列。

根據方程（1）中的測量輸出，可以構造兩階段卡爾曼濾波器，其具體結構此處省略。定義是時刻的狀態估計值，是時刻對時刻的狀態的預測值。在計算濾波誤差協方差矩陣的過程中會遇到如下兩項：和，而這兩項的處理需要用到泰勒展開公式。

具體地，對在估計值處進行泰勒展開并忽略高階項可得以及對在預測值處進行泰勒展開并忽略高階項可得進行線性化處理之后，接下來就可以采用傳統地卡爾曼濾波算法進行計算。

由此可見，泰勒展開技術的使用可以將難以處理的非線性濾波問題轉化成為經典的卡爾曼濾波問題，大大簡化了計算的復雜度。

1.2 極值原理在最優控制問題中的應用

線性二次最優控制問題[4]是控制理論的一類經典問題，早在20世紀50年代就有專家學者進行了研究，現在已經發展的非常成熟，也取得了非常豐碩的成果。該類問題的受控對象為線性系統，目的是獲得最優的容許控制，使得性能指標泛函最小。在求解最優容許控制律的過程中，經常會使用的一種方法就是數學分析教材中的極值原理。具體地，考慮如下連續時間線性系統狀態方程：

其中，為維狀態向量和為維控制輸入，為初始狀態，和是已知的具有適當維數的矩陣。

接下來構造如下性能指標，其是關于狀態變量和控制變量的二次型函數的積分形式：

由此可見，利用極值原理可以獲得線性二次最優控制問題的最優控制率，而且該控制率是一個反饋控制律，能方便地實現閉環最優控制，這在工程應用上具有十分重要的實際意義。

1.3 多重積分在時滯系統中的應用

所謂時滯是指系統的狀態變化不僅取決于當前時刻的狀態還受過去狀態的影響，時滯的存在對系統性能會產生極大的影響，甚至可能造成系統不穩定。在實際工程系統中，時滯可能是系統本身的特性也可能是網絡化系統中發生的通訊時滯，而常見的時滯通常包括：常時滯、時變時滯、分布式時滯以及它們之間相互組合而成的混合時滯。在分析時滯系統的穩定性問題時，常用的是采用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，即構造時滯依賴的Lyapunov函數，[5-7]然后結合線性矩陣不等式技術，可以獲得使系統穩定的充分條件。具體地，對于帶有時變時滯的連續時間系統，其時變時滯滿足，我們通常構造如下的Lyapunov泛函：

其中，，以及，這里P，Q，R是待求的正定矩陣。通過讓的關于時刻的一階導數小于零，可以獲得一系列線性矩陣不等式條件使系統穩定。

由此可見，多重積分引入可以有效地構造時滯依賴的Lyapunov泛函，接下來，在對多重積分關于時間求導的過程中，多重積分的求導法則也將被利用來證明系統的穩定性。

1.4 函數的一致收斂性在李亞普諾夫意義下一致穩定中的應用

在數學分析教材中，一致收斂性是函數的一條重要性質，具體地，函數一致收斂[1]的定義為：對于任意給定的正標量，存在，使得對于任意的以及任意的，有成立，則稱函數構成的函數族在集合上關于基一致收斂到函數。該性質對今后無論是數學理論的發展還是控制理論的發展都起到了重要的作用。

1892年俄國學者李雅普諾夫在其發表的著名文章《論運動穩定性的一般問題》中第一次提出了用于分析系統穩定性的理論，即若一個動力系統從任何初始條件出發的軌線均能維持在平衡態附近，那么可以稱為李雅普諾夫穩定。（下轉第81頁）（上接第70頁）具體的李雅普諾夫穩定又可以分為：漸近穩定、指數穩定、大范圍穩定以及一致穩定。特別地，李雅普諾夫意義下的一致穩定意味著，若系統在初始時刻為李亞普諾夫意義下穩定，那么系統在取自時間定義區間上的所有初始時刻均為李亞普諾夫意義下穩定，[8]該定義主要利用了函數一致收斂的概念。

2 結論

俗話說“工欲善其事，必先利其器”，數學分析相關知識在控制理論的發展和研究過程中發揮著重要作用，這些知識的靈活運用為豐富控制理論的研究內容、研究方法以及應用場景提供了可能。從列舉的幾個應用場景來看，用數學分析的思想和方法來處理或解釋控制理論中的相關問題，往往描述簡單準確且便于抓住實質。因此可以斷言，數學分析的理論和方法是現在控制理論的重要數學基礎，而在今后的研究中，我們將進一步深入探究數學分析的理論和方法，拓展其在控制理論研究中的應用范圍。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].高等教育出版社，2010.

[2] 藤井隆雄.控制理論[M].科學出版社，2003.

[3] R. E.Kalman.A new approach to linear filtering and prediction problems[J].Journal of Basic Engineering，1960.82：35-45.

[4] 褚健，胡協和，鐘鍔，陳虹.離散時滯系統最優跟蹤控制及應用[J].自動化學報，1995.21（1）：25-32.

[5] 吳敏，張先明，佘錦華.線性時滯系統的時滯相關魯棒控制[J].控制理論與應用，2005.22（4）：649-652.

[6] 何勇，吳敏.多時變時滯系統的魯棒穩定及有界實引理的時滯相關條件[J].控制理論與應用，2004.21（5）：735-741.

[7] 張傳科.時滯電力系統的小擾動穩定分析與負荷頻率控制[D].中南大學，2013.

[8] 鄭大鐘.線性系統理論（第二版）[M].清華大學出版社，2002.