點擊高考熱點 再議彈簧模型

河北 康利軍 李會彥

輕彈簧是一個理想化模型，也是高考物理命題中的經典模型。綜合分析近5年的高考物理試題，可見含彈簧模型的試題所占的比重偏高。(如下表)

真題示例題型及分值考點分析考查情境2015年全國卷Ⅰ第24題計算(12分)胡克定律(Ⅰ級),勻強磁場中的安培力(Ⅱ級),共點力的平衡(Ⅱ級) 2016年全國卷Ⅰ第25題計算(18分)動能定理(Ⅱ級),功能關系(Ⅱ級)2016年全國卷Ⅱ第22題實驗(6分)實驗六:驗證機械能守恒定律2016年全國卷Ⅱ第25題計算(20分)機械能守恒定律及其應用(Ⅱ級),拋體運動(Ⅱ級)2017年全國卷Ⅲ第17題選擇(6分)胡克定律(Ⅰ級),力的合成與分解(Ⅱ級),共點力的平衡(Ⅱ級)將輕質彈性繩兩端分別固定在水平天花板的兩點,繩中間懸掛鉤碼,以此情境考查受力分析和平衡問題2018年全國卷Ⅰ第15題選擇(6分)胡克定律(Ⅰ級),牛頓運動定律及其應用(Ⅱ級)

續表

由上可以看出，命題者常以彈簧作為載體，通過彈簧連接滑塊等組成物體系統，對系統或約束或釋放或突變，創設出多樣化的物理情境。

從考點分析上看，彈簧模型可以貫穿到整個高中物理力學知識的體系中。從受力角度看，彈簧的彈力是變力，在空間上，彈簧形變與所接觸物體的位移相關聯，在時間上，彈簧經歷形變需要時間，故彈簧彈力具有與其他力不同的特性；從能量角度看，彈簧是儲存彈性勢能的元件，彈性勢能的表達式在高考《考試大綱》中不做要求，但要靈活應用機械能守恒定律或功能關系來解決彈性勢能的相關問題。所以含彈簧模型的問題多為綜合性問題，涉及的知識面廣，不僅能加深對彈力、加速度、能量等基本概念的理解，促使學生形成物理觀念，同時也可綜合多個規律進行考查，使學生的模型建構、分析綜合、推理論證等科學思維內化為能力。本文通過典型例題，引導同學們分類突破彈簧模型。

一、彈簧模型中的靜力學問題

【例1】如圖1所示，兩個質量均為m的小球通過兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統處于靜止狀態，此時彈簧實際長度相等。彈簧A、B的勁度系數分別為kA、kB，且原長相等。彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°。設A、B中的拉力分別為FA、FB。小球直徑相比彈簧長度可以忽略。則

圖1

( )

圖2

圖3

【歸類總結】彈簧模型中的靜力學問題以考查受力分析為主，主要是結合胡克定律考查共點力的平衡問題，可以采用正交分解法、矢量三角形法、圖解法、整體法和隔離法等方法求解。但是對彈簧的基本力學特征要明確，輕彈簧是一種理想化的物理元件，分析問題時不需要考慮輕彈簧本身的質量和重力。對于彈簧產生的彈力，需要注意以下幾點：

1.彈簧彈力的計算

彈簧彈力的大小可以由胡克定律來計算，即彈簧發生形變時，在彈性限度內，彈力的大小F與彈簧伸長(或縮短)的長度x成正比，數學表達式為F=kx，其中k是一個比例系數，叫彈簧的勁度系數。彈簧的彈力不是一個恒定的力，而是一個變力，其大小隨著彈簧形變量的變化而變化，同時還與彈簧的勁度系數有關。

2.彈簧彈力的特點

(1)彈簧彈力的大小與彈簧的形變量有關，當彈簧的勁度系數保持不變時，彈簧的形變量發生變化，彈簧的彈力相應地發生變化；形變量不變，彈力也就保持不變；

(2)當輕彈簧受到外力的作用時，無論彈簧是處于平衡狀態還是處于變速運動狀態，彈簧各個部分所受的力的大小是相同的；

(3)彈簧彈力的方向與彈簧的形變有關，在拉伸和壓縮兩種情況下，彈力的方向相反。在分析彈簧彈力的方向時，一定要全面考慮，如果題目沒有說明是哪種形變，那么就需要考慮兩種情況。

另外，對胡克定律的考查還可以實驗形式考查，在動力學問題中也會涉及。

二、彈簧模型中的動力學問題

【例2】如圖4所示，帶有豎直支柱的斜面體靜止在水平地面上，光滑的小球被輕質細線和輕彈簧系住靜止于斜面體上，細線與斜面平行，彈簧處于拉伸狀態，小球對斜面沒有壓力。現燒斷細線，則細線燒斷瞬時，下列說法正確的是

圖4

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A.小球的加速度為零

B.小球對斜面的壓力為零

C.小球的加速度方向沿彈簧軸線

D.地面對斜面體的支持力會瞬間增大

【解析】細線燒斷前，在沿斜面方向，彈簧彈力的分量等于重力沿斜面方向分量和細線拉力之和；在垂直斜面方向，重力分量和彈簧彈力分量平衡。燒斷細線瞬間，細線拉力消失，彈簧的彈力和重力均不變，故在垂直于斜面方向受力不變，小球對斜面的壓力依然為零；沿斜面方向，小球受到的合力沿斜面向上，加速度沿斜面向上，故AC錯誤，B正確。由于小球有豎直向上的加速度分量，故整體存在超重現象，則地面對斜面體的支持力會瞬間增大，故D正確。

【歸類總結】彈簧模型中的瞬時加速度問題考查學生對牛頓第二定律瞬時性的理解。物體的加速度a與合力F對應同一時刻，即a為某時刻的加速度時，F為該時刻物體所受合力。此類問題以靜力學平衡問題開場，以其中某力突變設問，關鍵點是明確輕彈簧和輕繩、輕桿或接觸面產生的彈力的區別，即兩端同時連接(或附著)有物體的彈簧或橡皮繩，其特點是形變量大，形變恢復需要較長時間，在瞬時性問題中，其彈力的大小往往可以看成保持不變。而輕桿是不發生明顯形變就能產生彈力的物體，剪斷(或脫離)后，其彈力立即消失，形變恢復不需要時間。

【例3】如圖5所示，一輕質彈簧的下端，固定在水平面上，上端疊放著兩個質量均為m的物體A、B(物體B與彈簧拴接)，彈簧的勁度系數為k，初始時物體處于靜止狀態。現用豎直向上的拉力F作用在物體A上，使物體A開始向上做加速度為a的勻加速運動，測得兩個物體的v-t圖象如圖6所示(重力加速度為g)，則

圖5

圖6

( )

A.A、B在t1時刻分離，此時彈簧彈力大小為m(g+a)

B.施加外力的瞬間，F的大小為2m(g-a)

D.彈簧彈力等于零時，物體B的速度達到最大值

【歸類總結】彈簧模型中動力學問題的情境往往是在彈簧一端或彈簧兩端推動物塊運動，運動過程中彈簧彈力隨形變而變化，從而使得合外力變化，進而導致運動物體的加速度、速度發生變化。

(1)比較典型的分離臨界問題是考查學生對彈簧形變的特殊位置彈力特征的理解。這類問題關鍵點是明確分離的時刻，即接觸面間的彈力為零這一臨界條件；然后采用整體法和隔離法受力分析，根據牛頓第二定律列方程求解。由于彈簧彈力與形變量相對應，形變量(尤其是特殊位置的形變量)是分析彈簧彈力及變化問題的突破口，確定彈簧原長位置、現長位置及臨界位置，找出彈簧形變量x與連接物體空間位置變化的關系(這個關系是求解物體位移的關鍵點如C選項)，確定彈力的大小及方向，根據物體運動狀態結合動力學規律求解。(2)另外一類以豎直彈簧連接小球(在選修3-4中屬于彈簧振子模型，為彈簧模型中的簡諧運動問題)為基礎模型的問題，小球保持和彈簧接觸的運動過程中，小球受到的合力F、加速度a、速度v以及相對于平衡位置的位移x都具有對稱性。對應彈簧特殊位置，小球具有特殊狀態，如平衡位置時，加速度為零，速度最大；在相對于平衡位置最大位移處，速度為零，加速度最大。這也是進一步分析彈簧小球系統中能量關系的動力學基礎。

三、彈簧模型中的能量問題

【例4】如圖7所示，豎直光滑桿固定不動，套在桿上的彈簧下端固定，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧至離地高度h=0.1 m處，滑塊與彈簧不拴接。現由靜止釋放滑塊，通過傳感器測量滑塊的速度和離地高度h并作出如圖8所示滑塊的Ek-h圖象，其中高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內圖象為直線，其余部分為曲線，以地面為零勢能面，取g=10 m/s2，由圖象可知

圖7

圖8

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A.滑塊的質量為0.15 kg

B.輕彈簧原長為0.2 m

C.彈簧最大彈性勢能為0.32 J

D.滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小為0.38 J

【歸納總結】小球與彈簧模型是機械能守恒問題中的經典情境，以小球、彈簧和地球組成的系統，只有重力、彈簧彈力做功時系統的機械能守恒。彈簧彈力做功與路徑無關，只與初末位置有關，彈簧彈力做功對應彈簧彈性勢能的變化。該模型系統中的彈性勢能、小球動能和重力勢能相互轉化且總量不變。事實上，無論彈簧沿哪個方向，沿著彈簧軸線上施加一個恒力，那么彈簧和小球組成的系統都可以看作等效彈簧與小球模型，只是能量轉化要根據實際情況判定。常見的蹦極問題也屬于小球彈簧模型，該模型結合其他情境的創新試題非常多，如2019年全國卷Ⅰ第21題既與a-x創新圖象綜合，又與萬有引力與航天綜合，同時考查能量問題。

【例5】如圖9所示，一光滑細桿固定在水平面上的C點，細桿與水平面的夾角為30°，一原長為L的輕質彈性繩，下端固定在水平面上的B點，上端與質量為m的小環相連，當把小環拉到A點時，AB與地面垂直，彈性繩長為2L，將小環從A點由靜止釋放，當小環運動到AC的中點D時，速度達到最大。重力加速度為g，下列說法正確的是

圖9

( )

A.在下滑過程中小環的機械能先減小后增大

B.小環剛釋放時的加速度大小為g

C.小環到達AD的中點時，彈性繩的彈性勢能為零

【歸納總結】對于不沿彈簧軸線方向運動的彈簧與小球系統，其受力分析比二者共線時復雜，需要將彈簧彈力沿運動方向分解，根據牛頓第二定律分析小球的運動特征。在動力分析的基礎上進一步研究系統中的能量問題，若系統中只有重力、彈簧彈力做功，系統滿足機械能守恒定律。若系統中有其他力做功，且代數和不為零，如滑動摩擦力做功，則要應用功能關系求解。

四、彈簧模型中的動量問題

【例6】如圖10所示，光滑水平面上，質量為m1=2 kg和m2=1 kg的兩個小球，用一條輕質細線連接，中間有一被壓縮且和m2連接的輕彈簧，正以8 m/s的共同速度向右勻速運動，彈簧的彈性勢能為48 J，求：

圖10

(1)燒斷細線后最終m1與m2的速度；

(2)如圖11所示，若質量為m1的小球開始以某一速度向右運動去碰靜止的質量為m2的小球，輕彈簧與質量為m2的小球連接且處于原長，在接下來的運動中，彈簧被壓到最短時彈性勢能為48 J，問質量為m1的小球開始的速度。

圖11

【歸納總結】彈簧模型在動量問題中的應用主要是作為一種儲能元件使用。動量問題中的彈簧與小球模型有兩類：一類是反沖類情境(例6第1問)，系統滿足動量守恒定律，也滿足機械能守恒定律，燒斷細線，彈簧儲存的彈性勢能轉化為小球動能；另一類是碰撞類情境(例6第2問)，系統滿足動量守恒定律，也滿足機械能守恒定律，在運動過程中，當彈簧壓縮至最短(還有一種情形，如小球和彈簧拴接，彈簧拉伸最長)時，兩球共速，彈簧彈性勢能最大，當彈簧再次恢復原長瞬間，此時彈性勢能為零，那么系統從初態到此時的過程符合動量守恒彈性碰撞模型。彈簧模型也可以與板塊模型相綜合，考查更復雜的情境，在判斷運動過程中的功能關系時，對于彈簧壓縮最短或恢復原長兩個特殊狀態的處理方法，與彈簧小球模型是一致的。