兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性分析

福建 姚龍楷

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是每年高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)考查主要概念和基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在實(shí)際生產(chǎn)、生活中也經(jīng)常出現(xiàn)幾個(gè)物體同時(shí)參與運(yùn)動(dòng)的物理過程。要解決這樣的問題要求我們對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有深刻的理解。本文通過對(duì)兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)相關(guān)性問題進(jìn)行分析研究，促使考生建立一個(gè)正確空間觀念，培養(yǎng)良好的空間想象能力和數(shù)學(xué)分析能力。

一、互不牽連的相關(guān)運(yùn)動(dòng)

物體做何種形式的運(yùn)動(dòng)，是由它的受力情況和初始狀態(tài)共同決定的，物體有其自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一般說來(lái)，與其沒有力相關(guān)聯(lián)的其他物體的運(yùn)動(dòng)是不相關(guān)的。但是，在一定的空間條件下，會(huì)涉及與其他物體運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)系問題，我們稱之為互不牽連的相關(guān)運(yùn)動(dòng)。

1.兩條直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性

【例1】甲、乙兩車在一條直線上同時(shí)沿相同方向運(yùn)動(dòng)，甲車在乙車前x=56 m處，甲車以初速度v1=16 m/s、加速度大小為a1=2 m/s2勻減速剎車，乙車以初速度v2=4 m/s、加速度大小為a2=1 m/s2做勻加速運(yùn)動(dòng)，求：

(1)乙車追上甲車前二者間的最大距離；

(2)乙車追上甲車所需時(shí)間。

【解析】(1)在開始階段，甲車在前、乙車在后，且甲車速度比乙車大，兩車距離一直增大，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)速度相同，設(shè)此時(shí)速度為v，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式vt=v0+at得

v1-a1t=v2+a2t

代入數(shù)據(jù)解得t=4 s，v=v1-a1t=8 m/s

此后甲車減速、乙車還在加速，兩車距離縮短，所以在速度相等時(shí)兩車距離最大，最大距離為

聯(lián)立解得t1=12 s

【點(diǎn)評(píng)】1.質(zhì)點(diǎn)的“追及”類問題，重要的是在同一直線坐標(biāo)軸上把握兩質(zhì)點(diǎn)之間的位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系。

2.對(duì)于在一條直線上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體的追及問題，可分為如下兩類情景：

(1)速度大者減速(如勻減速直線運(yùn)動(dòng))追速度小者(如勻速運(yùn)動(dòng))。

①兩者速度相等時(shí)，追者位移仍小于被追者位移與初始間距之和，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間有最小距離。

②當(dāng)兩者速度相等時(shí)，若追者位移恰等于被追者位移與初始間距之和，則剛好追上，也是兩者相遇時(shí)避免碰撞的臨界條件。

③若相遇時(shí)追者速度仍大于被追者速度時(shí)，則被追者還能再一次追上原來(lái)的追者，兩者速度相等時(shí)，兩者間距離有一個(gè)較大值。

(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng))追速度大者(如勻速運(yùn)動(dòng))

①當(dāng)兩者速度相等時(shí)，兩者間有最大距離。

②當(dāng)追者位移等于被追者位移與初始間距之和時(shí)，后者追上前者即相遇。

【例2】A球自距地面高h(yuǎn)處開始自由下落，同時(shí)B球以初速度v0正對(duì)A球豎直上拋，空氣阻力不計(jì)。問：

(1)要使兩球在B球上升過程中相遇，則v0應(yīng)滿足什么條件？

(2)要使兩球在B球下降過程中相遇，則v0應(yīng)滿足什么條件？

【解析】本題涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)不是單一方向，但相遇條件仍然是同一時(shí)刻到達(dá)同一位置。此時(shí)兩球相遇時(shí)位移之和等于h。即

(1)欲使兩球在B球上升過程中相遇，則有

(2)欲使兩球在B球下降過程中相遇，則有t1

(1)B球上升過程中A球與相遇，即vB>0，

(2)B球下降過程中A球與相遇，即-v0

2.直線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性

【例3】如圖1所示，一足夠長(zhǎng)傾角為37°的斜面固定在水平地面上，質(zhì)量為m的小球B從斜面的底端開始以初速度10 m/s沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)質(zhì)量為m的小球A在斜面上某點(diǎn)以水平初速度拋出，不計(jì)空氣阻力。已知小球A落到斜面時(shí)恰好與小球B相撞(不考慮二次相撞)，此時(shí)小球B速率為4 m/s，小球B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g取10 m/s2。求：小球A的初速度以及拋出點(diǎn)距地面的高度。(sin37°=0.6，cos37°=0.8)

圖1

【解析】由“已知小球A落到斜面時(shí)恰好與小球B相撞”可知可能是小球B在向上運(yùn)動(dòng)減速過程中相撞，也可能是小球B速度減為0后反向加速過程中相撞，故兩種可能都要分析。

(1)小球B沿斜面做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有

mgsin37°+μmgcos37°=ma1得a1=10 m/s2

速率減為v1=4 m/s時(shí)

由v1=vB-a1t1解得t1=0.6 s

解得v01=4 m/s

因此H1=y1+s1sin37°=4.32 m

(2)小球B速度減為零再反向加速過程中相撞的情景請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手計(jì)算(答案H2=45.6 m)。

【點(diǎn)評(píng)】(1)研究平拋運(yùn)動(dòng)的基本思想是將其分解為沿水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)。涉及斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，可利用斜面三角形的邊角關(guān)系，提煉出斜面上的約束條件。常見的模型如下：

方法內(nèi)容斜面總結(jié)分解速度水平方向vx=v0豎直方向vy=gt合速度v=v2x+v2y分解速度,構(gòu)建速度三角形,滿足cotθ=vyvx=gtv0分解位移水平方向x=v0t豎直方向y=12gt2合位移s=x2+y2分解位移,構(gòu)建位移三角形滿足tanθ=yx

3.兩種曲線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性

【例4】如圖2所示，在豎直線OM上某點(diǎn)A水平向右拋出一小球A的同時(shí)在B點(diǎn)水平向左拋出另一小球B，兩小球恰好在斜線ON上的Q點(diǎn)相遇，已知A球是第一次經(jīng)過斜線ON且Q點(diǎn)離O點(diǎn)的距離是最遠(yuǎn)的，OQ=L，B球是以最短位移到達(dá)Q點(diǎn)的，∠MON=θ，重力加速度取g，求：

圖2

(1)OA間距離h；

(2)A、B球的初速度v1、v2。

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知

小球A在水平方向位移為x=v1t

由圖3可知x=Lsinθ且y+h=Lcosθ

圖3

又x=Lsinθ=v1t

【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)小球各自遵守平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，互不干擾。但兩球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的，這是重要的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。本題理解的要點(diǎn)在于讀懂Q點(diǎn)離O點(diǎn)最遠(yuǎn)的含義及B球是以最短位移到達(dá)Q點(diǎn)的含義，即小球A的運(yùn)動(dòng)軌跡在Q點(diǎn)正好與OQ相切且QB⊥ON，再利用幾何關(guān)系及相關(guān)公式便可求解。

【例5】如圖4所示，虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外。O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向。已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L(zhǎng)。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。

圖4

(1)求所考查的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑；

(2)求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔。

【解析】從分析粒子射入磁場(chǎng)所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置與粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向的關(guān)系入手，找到兩個(gè)粒子的軌道相交于P點(diǎn)的條件。

(2)如圖5所示，以O(shè)P為弦可畫兩個(gè)半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。圓心和直徑分別為O1、O2和OO1Q1、OO2Q2，在O處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角。由幾何關(guān)系可知

圖5

∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ

從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半圓周加弧長(zhǎng)Q1P，則

Q1P=Rθ

粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng)PQ2，則

PQ2=Rθ

其中T為圓周運(yùn)動(dòng)的周期．粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

兩粒子射入的時(shí)間間隔為

【點(diǎn)評(píng)】1.求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，其解題思路是先做到“三定”：即定圓心、定半徑、定圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角。本題中眾多粒子的運(yùn)動(dòng)半徑R簡(jiǎn)單可求，所有粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心集合是以O(shè)點(diǎn)為半徑的半圓(處在過O點(diǎn)的水平線下方180°范圍內(nèi))，其中必有兩個(gè)圓的弦是以O(shè)P為線段的。從而可以作出正確圖示并求解。

2.在解物理問題時(shí)，畫圖能幫助我們準(zhǔn)確地理解題意，當(dāng)學(xué)生能把習(xí)題的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成一幅圖象，表明學(xué)生通過審題已掌握了試題的主要內(nèi)容。在畫圖時(shí)，有時(shí)還能發(fā)現(xiàn)自己對(duì)試題理解上存在問題。畫圖又能幫助你分析問題。把圖示正確畫出來(lái)，問題往往已解決了一半。在學(xué)習(xí)中，重視畫圖是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和素養(yǎng)。

二、互相牽連的相關(guān)運(yùn)動(dòng)

兩個(gè)物體之間通過相互作用力，從而使兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)相互影響，相互制約，我們稱之為互相牽連的相關(guān)運(yùn)動(dòng)。這類問題的綜合性強(qiáng)，一般可按如下基本步驟分析。

【例6】用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2 kg的A、B兩物塊都以v0=6 m/s的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)，質(zhì)量為4 kg的物塊C靜止在前方，如圖6所示，物塊B與物塊C碰撞后二者粘在一起運(yùn)動(dòng)，則在以后的運(yùn)動(dòng)中

圖6

(1)當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物塊A的速度為多大？

(2)彈簧彈性勢(shì)能的最大值是多少？

(3)物塊A的速度方向有可能向左嗎？為什么？

【解析】(1)B、C發(fā)生碰撞時(shí)，B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間，B、C兩者速度為v，則有

mBv=(mB+mC)v

解得v=2 m/s

此后A、B、C繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，當(dāng)A、B、C三者的速度相等(設(shè)為v′)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有

(mA+mB)v0=(mA+mB+mC)v′

解得v′=3 m/s

(2)A的速度為v′時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，設(shè)其值為Ep，根據(jù)能量守恒定律得

解得Ep=12 J

(3)根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律得

(mA+mB)v0=mAvA+(mB+mC)vB

設(shè)A速度向左，則vA<0，解得vB>4 m/s

則B、C發(fā)生碰撞后，A、B、C三者的動(dòng)能之和為

實(shí)際上系統(tǒng)的機(jī)械能為

所以A不可能向左運(yùn)動(dòng)。

【點(diǎn)評(píng)】1.一個(gè)物體在彈簧彈力作用下的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析：

2.在由兩個(gè)物體和彈簧組成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中，具有下面的特點(diǎn)：

(1)兩個(gè)物體速度相等時(shí)，彈簧處于形變量(壓縮或拉伸)最大的狀態(tài)，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大。

(2)兩個(gè)物體在持續(xù)變化的彈力作用下做變加速運(yùn)動(dòng)，不能采用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)解決。但此模型屬于彈性碰撞模型，所以滿足包括彈簧在內(nèi)的系統(tǒng)動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

【例7】如圖7所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板A放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1的水平地面上，一滑塊B(可視為質(zhì)點(diǎn))從A的左側(cè)以初速度v0向右滑上A，B與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2(A與水平地面間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相同)。已知A的質(zhì)量為M=2.0 kg，B的質(zhì)量為m=3.0 kg，A的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2.5 m，μ1=0.2，μ2=0.4(g取10 m/s2)。

圖7

(1)A、B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)各自的加速度分別是多大？

(2)為保證B在滑動(dòng)過程中不滑出A，初速度v0應(yīng)滿足什么條件？

(3)在滿足(2)中條件的情況下，分別求出A、B對(duì)水平地面的最大位移。

【解析】(1)分別對(duì)A、B進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得Ff1=maB,Ff1-Ff2=MaA

A的加速度大小

(2)當(dāng)A、B速度相等時(shí)，若B恰好運(yùn)動(dòng)到A的右側(cè)末端，則可保證B不會(huì)滑出A，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，A、B的速度相等，則有v0-aBt=aAt

代入數(shù)據(jù)解得t=1 s，v0=5 m/s

所以初速度應(yīng)滿足v0≤5 m/s

(3)B恰好不滑出A時(shí)，A、B對(duì)水平地面的位移最大，A、B速度相等后相對(duì)靜止，一起以v=aAt=1 m/s的初速度做勻減速運(yùn)動(dòng)直到靜止。

勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a=μ2g=2 m/s2

所以A發(fā)生的位移為sA+s=0.75 m

B發(fā)生的位移為sB+s=3.25 m

【點(diǎn)評(píng)】1.“滑塊、滑板”模型分析方法：(1)分析滑塊和木板的受力情況：整體法、隔離法仍是基本的研究方法，并根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；(2)分析滑塊和木板的運(yùn)動(dòng)情況：找出滑塊和木板之間的位移關(guān)系或速度關(guān)系，建立方程。特別注意滑塊和木板的位移都是相對(duì)地面的位移。

2.涉及兩個(gè)物體、多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，并且物體間還存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)采用隔離法，準(zhǔn)確求出各物體在各運(yùn)動(dòng)過程的加速度，找出物體之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口。求解中更應(yīng)注意兩個(gè)過程的聯(lián)系：上一個(gè)過程的末速度是下一個(gè)過程的初速度。