重視“模型化思想”教學(xué)，充分挖掘教材習(xí)題

王桓

【內(nèi)容摘要】本文通過(guò)2019年高考數(shù)學(xué)理科立體幾何試題和教材相關(guān)習(xí)題的對(duì)比，挖掘了教材習(xí)題和高考習(xí)題的關(guān)聯(lián)，說(shuō)明了模型化思想教學(xué)的重要性和重視教材習(xí)題的關(guān)鍵性。

【關(guān)鍵詞】模型化思想 教材 習(xí)題核心素養(yǎng)

2019高考結(jié)束了，數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷整體貫穿了建模思想的應(yīng)用，重視學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，給我印象深刻的是理科第18題，下面我就本題談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

考題再現(xiàn)

（1）求證：PA∥平面EDB

（2）求證：PB∥平面EFD

（3）二面角C-PB-D的大小.

鏈接思考

1.幾何圖形背景分析

無(wú)論是高考第18題還是兩道習(xí)題，都是以基本的常規(guī)圖形直四棱柱、直四棱錐、正方體等作為模板背景來(lái)設(shè)問(wèn)。這樣的背景都具有共同的特征：

（1）側(cè)棱和底面具有垂直關(guān)系，由線面垂直可以得到一系列的面面垂直和線線垂直。

（2）構(gòu)成立體圖形的面是特殊的四邊形或特殊的三角形。如平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、直角三角形。既然是特殊的平面圖形，這些平面圖形則具有特殊的性質(zhì)，無(wú)論是設(shè)問(wèn)還是解題，只要能很好的利用這些特殊性質(zhì)，則是比較有意義。

2.衍生點(diǎn)的分析

無(wú)論是高考第18題還是兩道習(xí)題，都是以特殊點(diǎn)———中點(diǎn)作為衍生點(diǎn)，以衍生點(diǎn)或者已知頂點(diǎn)來(lái)構(gòu)造線段，進(jìn)而構(gòu)建構(gòu)造新的平面圖形和立體圖形，這樣的點(diǎn)組成的直線與已知直線具有特殊的線線關(guān)系，運(yùn)用這些特殊的線線關(guān)系就能得到線面關(guān)系。

3.設(shè)問(wèn)及解法分析

無(wú)論是高考第18題還是兩道習(xí)題，都是以線面的垂直、平行關(guān)系作為問(wèn)題，都是以二面角作為背景來(lái)考察。其中線面關(guān)系的考查都是以三角形中位線或者構(gòu)造平行四邊形為線線平行的突破口來(lái)考查，其中一個(gè)中點(diǎn)都要用到平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)。高考第18題中的點(diǎn)N、人教A版必修2第56頁(yè)練習(xí)2底面中心、人教A版選修2-1第109頁(yè)例4便是這樣的點(diǎn)。二面角的求法在08課改理科引入空間向量之后，便一直是考查用空間向量中的法向量求二面角，既然要求兩個(gè)平面的法向量，就必須建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系優(yōu)劣直接影響計(jì)算量的大小，而這兩道題中，都已知了底面的垂線和底面的特殊性，因此，我們只需要在底面找到兩條相互垂直的直線，空間直角坐標(biāo)系中可以順利建立，而底面又是比較特殊的菱形或者正方形，利用正方形鄰邊互相垂直和菱形的對(duì)角線互相垂直，很快就能得到過(guò)同一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，空間直角坐標(biāo)系順利建立，問(wèn)題得以解決。

教學(xué)感悟

通過(guò)以上分析，我認(rèn)為在以后的教學(xué)中，我們應(yīng)該從以下幾方面進(jìn)行教學(xué)：

1.充分重視模型化思想的應(yīng)用，深度挖掘教材習(xí)題中蘊(yùn)含的基本模型

新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。

其中，對(duì)于數(shù)學(xué)建模，詳細(xì)描述為數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。

在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題；能夠針對(duì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。

特級(jí)教師張思明提出：我們通過(guò)數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問(wèn)題、自主解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)。近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的數(shù)量和分值在高考中逐步增加，可見(jiàn)在命題中已經(jīng)在轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系觀念，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)、關(guān)心未來(lái)，實(shí)現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合。

模型化思想也是數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)，在教學(xué)中，如果我們能更好地運(yùn)用教材習(xí)題，挖掘習(xí)題中蘊(yùn)含的基本模型思想，能充分的分析幾何圖形中蘊(yùn)含的豐富的模型思想和模型性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生在識(shí)圖、析圖的過(guò)程中感受幾何圖形的特殊美，那么學(xué)生將會(huì)產(chǎn)生探究幾何圖形的興趣，進(jìn)而克服“見(jiàn)圖就煩”的心理障礙，反而形成一種“見(jiàn)中點(diǎn)就找中位線”的條件反射，在解題過(guò)程中找到學(xué)習(xí)的成就感和愉悅感。

2.找到共性，分析個(gè)性，挖掘習(xí)題內(nèi)涵，促進(jìn)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”

“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”是核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，是核心素養(yǎng)的能力體現(xiàn)?！皩W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”不僅是學(xué)會(huì)知識(shí)，而是學(xué)會(huì)知識(shí)的探究方法和其中蘊(yùn)含的研究思想。高考題依托于教材習(xí)題，但是又不拘泥于教材習(xí)題，作為教師，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要充分的設(shè)置教材習(xí)題的變式題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)共性。如：對(duì)于人教A版選修2-1第109頁(yè)例4，我們可以將底面正方形的特殊性逐漸去掉，變式成矩形，再變式成菱形、平行四邊形，給出需要的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在自己的探究過(guò)程中找到建立空間直角坐標(biāo)系的步驟：線面垂直→面內(nèi)兩條垂線→平移至三線共點(diǎn)?？梢?jiàn)，在教學(xué)中我們只要注重挖掘教材習(xí)題，充分考慮幾何圖形的特殊性，設(shè)置變式題，便能和高考接軌，提高學(xué)生的解題能力，便能有效地引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃宗積.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何貫徹新課標(biāo)的指導(dǎo)作用[J].才智，2012（10）：116.

[2]吳榮華.以生為本：“問(wèn)題教學(xué)法”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用芻論[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（08）：135-136.

[3]王相儒.正視教材變化優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)———淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何使用新教材[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（21）：53.

[4]王筍.如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生形成完善的知識(shí)體系[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2016（26）：10.

[5]高雙云.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)策略分析[J].新課程（中學(xué)），2016（1）：97.

[6]房勝.把握例題教學(xué)環(huán)節(jié)全面提升思維水平[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（9）：33-35.

[7]梁環(huán)義.淺析小組合作學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（15）.

[8]趙美娜.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)[J].新課程：教育學(xué)術(shù)版，2009（3）：84.

[9]胡錦梅.試論高中數(shù)學(xué)優(yōu)等生的培養(yǎng)探究[J].亞太教育，2015（32）：177.

[10]李仁兵.引入生活源泉澆灌高中數(shù)學(xué)教學(xué)之花[J].新課程（下），2018（11）：84.

（作者單位：太原市第二中學(xué)校）