多面體與球的外接問題

福建 黃清波

近幾年高考試題中,對多面體與球的外接問題的考查頻率比較高，而且具有一定的綜合性，是高考備考的一個重難點.此類試題考查考生的畫圖、識圖能力，具體體現為點、線、面的位置關系與數量關系等的考查，從而達到考查考生邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養的目標，對考生知識以及思維能力要求較高.本文以2019年高考數學全國卷Ⅰ理科第12題為例，從多個視角去考量這類問題的求解策略，希望讀者從中受到啟發，選擇適當的解題方法.

題目：已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°,則球O的體積為

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【分析】本題考查正三棱錐的性質、三棱錐的外接球等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，難度較大.

策略一：幾何法

【分析】首先，由題意畫出圖形，利用圖形的幾何特征并結合余弦定理求出三棱錐的側棱長；或者利用點、線、面的位置關系證明三條側棱兩兩互相垂直，結合勾股定理求出三棱錐的側棱長.其次，尋找球心的位置，三棱錐外接球的球心在通過底面三角形的外接圓圓心且與底面垂直的垂線上.最后通過解三角形求出外接球的半徑，并通過球的體積公式求解.

解法1:如圖，由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設PA=PB=PC=2a，

設頂點P在底面ABC的射影為點G,則點G是△ABC的中心，

解法2：如圖，由題意知三棱錐P-ABC是正三棱錐，

設頂點P在底面ABC的射影為點G,則點G是△ABC的中心，連接BG并延長，交AC于點H,則BH⊥AC,又PG⊥AC,

且BH∩PG=G,所以AC⊥平面PBH,所以PB⊥AC.

又點E,F分別是PA，AB的中點，所以EF//PB,

又∠CEF=90°，即EF⊥CE,所以PB⊥CE,

且AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC.

所以正三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直.

【歸納】此法是以邏輯推理作為工具來解決問題，解題過程中經常要引入輔助線和回憶大量的幾何性質、定理，如球體的截面性質、勾股定理、余弦定理等，對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高，在教學過程中，應引導學生優先考慮用幾何法解題，會嘗試著動手操作去處理圖形，即對圖形進行折疊、展開、添加輔助線等，借此不斷提高自己的空間想象能力.另一方面，讓學生熟練掌握初中、高中幾何定理、公理的運用.

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策略二：模型法

【分析】首先由題意畫出圖形，利用空間向量中的基底法證明三條側棱兩兩互相垂直是解題的關鍵.其次，通過補形，把三棱錐補成直四棱柱，從而迅速求出外接球的半徑，最后通過球的體積公式求解.

解法3：如圖，由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設PA=a，∠APB=θ.

所以2a2·cosθ=a2·cosθ，得cosθ=0，所以θ=90°.

把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，

【歸納】此法主要是對于一些有垂直關系的、可以補成直棱柱的三棱錐或四棱錐，通過補成直棱柱后較容易求得外接球的半徑.常見的模型有以長方體為基礎的特殊幾何體、以直三棱柱為基礎的特殊幾何體.

直棱柱如果有外接球，則其外接球的球心在兩底面多邊形的外接圓圓心連線的中點上.

【變式】已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

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解：由題意，△ABC為直角三角形，三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱.

把直三棱柱ABC-A1B1C1補成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑.

策略三：坐標法

解法4：由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設PA=PB=PC=2a，

設頂點P在底面ABC的射影為點G,則點G是△ABC的中心，

【歸納】此法主要是利用向量的相關知識及其運算來解決問題，即用代數的方法解決幾何問題，將數與形完美地結合起來，降低了立幾的思維難度，解題有一定的規律性，便于學生掌握.其步驟：①建系；②找點的坐標；③寫出向量坐標；④結合公式進行論證、計算；⑤下結論.不規則的坐標系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，在平時教學過程中，應加強建不規則坐標系的訓練，幫助學生消除一定的心理障礙.此外，建立坐標系后，通常會增加表示某些點坐標的難度，除了作“射影”來求，大多是通過“計算”來得到.

【變式】某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為

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A．11π B．12π C．13π D．14π

由OA=OB=OC=OD=R，得

則該棱錐的外接球的表面積為4πR2=11π.

以上幾種方法各有所長，適合求解多面體的外接球問題.“多法”的準確定位是并舉！即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優劣，而應具體問題具體分析.即使受教學時間的限制，在課堂上盡量“擇其善者而從之”，但對其他的方法應稍作提示引導，讓學生在課下嘗試、討論，并對每一種方法進行比較，思考這些方法的區別與聯系，歸納解決這類問題的合理解法，這對學生能力的提高大有裨益.