摭談含參導數題的分類討論標準及優化策略

湖北 周 威

分類討論思想是高中數學重要的思想方法，在對學生數學思維的考查方面有著獨特的作用，因此是歷年高考的必考點，特別是在導數綜合題中分類討論思想的應用，是我們不能回避的問題，例如2019年全國卷Ⅲ文、理科20題單調性討論及根據最值求參數，2017年、2018年全國卷Ⅰ理科21題判斷單調性，2017年全國卷Ⅱ理科21題求參數的范圍等考題琳瑯滿目.既然是無法避免的問題，只有基于分類討論思想在學習中做到合理、恰當分類以及掌握最常規的優化策略，才是備考的重點.通過分類討論促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

一、單調性討論的恰當分類標準

在高考導數綜合題中單調性是必須要討論的問題，因為單調性是解決后續問題的關鍵，而伴隨單調性問題大多有參數的引入，由于參數取值不同導致結果的不同，因此給數學問題帶來了不確定因素，從而就必須分類討論.那么，如何才能在分類中做到恰當、合理呢？這就必須遵循恰當分類的基本原則，即根據一個相對統一的標準，做到不重不漏，這其實也就是分類討論思想的核心.因為很多學生不知道這個標準如何確定，從而成為害怕、回避的主要原因.那么，單調性分類討論時這個標準是什么呢？

1.準確找出界點

一般地，只要嚴格按照步驟先在一條數軸上標出各種界點(關于定義域的界點、導函數因式分解中不含參數的零點或導函數有無零點時的界點)，然后遵循從左到右(或者從右到左)進行分段式討論，最后再整合、歸并就能做到恰當分類、不重不漏.

【例1】討論函數f(x)=2ax-2lnx在區間(1,+∞)上的單調性.

當a-1≤0時，即a≤1時，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增；

當0

當a-1=1時，即a=2時，f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a-1>1時，即a>2時，f(x)在(0,1)，(a-1,+∞)上單調遞增，在(1,a-1)上單調遞減.

【評注】對f(x)>g(x)的處理，一般是構造函數h(x)=f(x)-g(x)，然后進行求導， 一般情況下，含參函數求導后決定其符號的都是一次或二次函數模型，通過例1、例2讓學生更加親切、輕松地掌握含參函數單調性處理的一般方法，再通過相關界點分類討論研究h(x)的單調性(極值、圖象)，從而解決問題.

2.借助二階導數或判別式

對于無法通過因式分解確定零點作為界點的情形，如何進行恰當分類呢？

【例3】已知函數f(x)=ax+x2-xlna-a(a>0且a≠1)，討論f(x)的零點個數.

【例4】若a≥0，討論函數f(x)=(1+ax2)ex-2的單調性.

【分析】函數的定義域為R,求導得f′(x)=(ax2+2ax+1)ex，因此需要考慮a=0，a>0兩種情況.

當a=0時，f′(x)=ex>0，f(x)在R上單調遞增;

當a>0時，ax2+2ax+1=0有可能有根，也可能無根，因此需繼續分類：

當4a2-4a≤0時，即0

【評注】若f′(x)無法因式分解或無法確定正負時，需要通過題意中具體情況分類討論，判斷是否要繼續對f′(x)進行求導得到f″(x)，結合f′(x)、f″(x)一起判斷f(x)的單調性或通過f′(x)=0的判別式分類討論f(x)的單調性.

二、常規的優化策略

1.分離變量法

分離變量法一直是解決含參變量取值范圍問題的常用方法，特別是含單變量的取值范圍問題，分離變量能減少導數綜合題中分類討論層次.

【例5】已知函數f(x)=axex-x2-2x+1(其中a∈R,e為自然對數的底數)．若x≥1時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

【評注】分離變量后構造h(x)，其求導看似復雜，實則計算后恰好分子中不含ex，給計算帶來了方便.對于單變量能分離的情形，甚至能達到避免分類討論的目的.

【練習】已知函數f(x)=x2-ax+2lnx(a為常數)，若f(x)是定義域上的單調函數，求a的取值范圍.

綜上，f(x)是定義域上的單調函數時a的取值范圍是(-∞,4].

2.利用局部單調性

怎樣利用局部單調性質呢？主要根據函數零點及其導函數的正負.當函數f(x)滿足f(x0)=0時,且在某區間內f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立，則可結合f′(x0)的正負來確定參數的范圍，然后驗證在此范圍內是否能得出題設中的已知結論.比如已知條件中有f(x)≥0，根據f(x0)=0，那么必有f′(x0)≥0，從而能得出關于參數的范圍,然后根據這個范圍，驗證其能否得到f(x)≥0，如果能則參數范圍即為所求.

【例6】(2017·全國卷Ⅱ理·21節選)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

【練習】已知函數f(x)=xln(x-1)-a(x-2)(a∈R)，當x∈(2,+∞)時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在命題原則里強調，高考考查內容要注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧.因此，我們不能一味的追尋如何規避分類討論，尋求“偏、怪”的解題技巧,反而要熟悉、熟練分類討論的標準、步驟等的“通性通法”.在專題復習或解題教學中，需要分類討論的情形不盡相同，但其基本步驟可概括為先確定討論的對象及范圍，然后根據恰當分類，做到不重不漏，最后進行逐步討論、歸并和總結.同時，當分類討論確實過于煩瑣時，正所謂“正難則反”，一些減少、甚至規避分類討論的優化策略，也是數學思維的一種體現，也應該掌握，開拓數學視野，提升核心素養.