“任意”與“存在”在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
——對一道聯(lián)考試題的探究

安徽 陳曉明

參加各級各類聯(lián)考是高考復(fù)習(xí)過程中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，筆者所在學(xué)校每屆高三都要參加安徽享有盛譽(yù)的“皖南八校”聯(lián)考.2019屆高三第一次聯(lián)考如期舉行后,理科數(shù)學(xué)第22題(壓軸題)得分率極低，引起了我們數(shù)學(xué)教師的特別關(guān)注.考后筆者與學(xué)生進(jìn)行了交流，學(xué)生也談到考試中一遇到此類試題就懵，不知所措，對這次聯(lián)考的導(dǎo)數(shù)題第(Ⅱ)問沒有任何思路，可謂“望題興嘆”！

高考復(fù)習(xí)非常重要的一個(gè)方面就是要求教師善于從高考、聯(lián)考試題中挖掘更為深層的東西，從而進(jìn)行解題方法的總結(jié)與歸納.解題既要有“一題多解”的能力，也要有 “多解歸一”的認(rèn)識，這才是解題教學(xué)的目標(biāo).

1 試題再現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-alnx.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線在x軸上的截距為-2，在y軸上的截距為2，求a與b的值；

(Ⅱ)若對任意b∈[-2,-1]，都存在x∈(1,e)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，使得f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2 試題探源

【點(diǎn)評】這里主要比較兩道試題的第(Ⅱ)小問.兩道試題都含有邏輯量詞“任意”“存在”，這兩個(gè)邏輯量詞也是解決問題的關(guān)鍵.不同的是山東高考試題涉及兩個(gè)函數(shù)，邏輯量詞后是兩個(gè)自變量，而聯(lián)考試題只涉及一個(gè)函數(shù)，邏輯量詞后有一個(gè)是參數(shù).高考試題的類似題(及各種變式)在日常考試中比較常見，“任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)”等價(jià)于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”，從而將問題轉(zhuǎn)化為分別求兩個(gè)函數(shù)的最值問題，相對來說簡單些.令學(xué)生感到困惑的是到底應(yīng)該求最大值還是求最小值.筆者是通過舉例來進(jìn)行說明的.首先，可將命題變式為“任意x1∈(0,2)，任意x2∈[1,2]，都有f(x1)≥g(x2)”，然后將命題描述為“1班任何一個(gè)同學(xué)都不比2班任何一個(gè)同學(xué)矮”，顯然只需要“1班最矮的同學(xué)不比2班最高的同學(xué)矮”即可，類比得到“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最大值”.這樣原命題可描述為“2班能找到一個(gè)同學(xué)比1班任何一個(gè)同學(xué)都矮(這里不是不高的意思)”，顯然只需要“2班最矮的同學(xué)比1班最矮的同學(xué)矮”即可，從而進(jìn)一步類比得到結(jié)論“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”.當(dāng)命題改為“存在x1∈(0,2)，任意x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)” ，“存在x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)”時(shí)同樣可通過兩班同學(xué)比高矮來類比得到結(jié)論，這里不再贅述.

那么，對于聯(lián)考試題，只有一個(gè)函數(shù)，有一個(gè)邏輯量詞后是參數(shù)該怎么辦呢？解決問題的方法、本質(zhì)相同嗎？

3 解法探究

第(Ⅰ)問比較簡單，答案是a=3,b=2，解法略.

這里主要對第(Ⅱ)問解法進(jìn)行探究.

(1)當(dāng)h(1)≥0，即a≤2+b時(shí)，

因?yàn)閷θ我鈈∈[-2,-1]，a≤2+b成立，所以a≤0.此時(shí)h(x)>h(1)≥0，所以f′(x)>0在(1,e)上恒成立.即f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增.若存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立，則f(1)=1+b<0，即b<-1恒成立.因?yàn)閎∈[-2,-1]，故b=-1時(shí)不成立，所以a≤0不成立.

(2)當(dāng)h(1)<0，即a>2+b時(shí)，

因?yàn)閷θ我鈈∈[-2,-1]，a>2+b成立，所以a>1.此時(shí)①當(dāng)h(e)≤0時(shí)，h(x)<0在(1,e)上恒成立，則f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(1)=1+b≤0，所以存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.

②當(dāng)h(e)>0時(shí)，則由零點(diǎn)存在性定理知存在x0∈(1,e)，使得h(x0)=0，因?yàn)閔(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，h(x)<0，則f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(1)=1+b≤0，故在(1,x0)上存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.函數(shù)h(x)，f(x)的大致圖象分別如圖1，2所示(f(e)是否大于0對結(jié)論沒有影響).

綜上，滿足條件的a的取值范圍為(1,+∞).

圖1

圖2

【點(diǎn)評】本解法與上述高考題的解法在本質(zhì)上是一致的.這里主要的解題思想仍然是求f(x)在(1,e)上的最小值(其實(shí)函數(shù)在定義域內(nèi)沒有最小值，只是為了敘述的方便，下面也是一樣)，因?yàn)轭}目是“存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立”.因此對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)的符號由分子h(x)=2x2+bx-a決定，所以進(jìn)一步判斷h(x)在(1,e)上的符號，因?yàn)閔(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，故對h(x)最小值h(1)=2+b-a的符號進(jìn)行分類討論.最小值h(1)=2+b-a與兩個(gè)參數(shù)a,b的值有關(guān)，即a的取值范圍與b的值有關(guān)，由b的值的任意性得到a的取值范圍，再根據(jù)a的取值范圍判斷命題是否成立，從而得到結(jié)論.

解法2(變換主元)因?yàn)閒(x)=x2+bx-alnx，所以令g(b)=xb+x2-alnx，則g(b)為關(guān)于b的一次函數(shù)且為增函數(shù)(因?yàn)閤∈(1,e)).根據(jù)題意，對任意b∈[-2,-1]，都存在x∈(1,e)，使得g(b)<0成立，則g(b)max=g(-1)=x2-x-alnx<0在x∈(1,e)上有解.

令h(x)=x2-x-alnx，只需存在x0∈(1,e)使得h(x0)<0即可.

(1)當(dāng)1-a≥0，即a≤1時(shí)，φ(x)>0即h′(x)>0，h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0，不符合題意.

(2)當(dāng)1-a<0，即a>1時(shí)，φ(1)=1-a<0，φ(e)=2e2-e-a.

①若a≥2e2-e>1，則φ(e)≤0，所以在(1,e)上φ(x)<0恒成立，即h′(x)<0恒成立，所以h(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，所以存在x0∈(1,e)，使得h(x0)

②若10，所以在(1,e)上一定存在實(shí)數(shù)m，使得φ(m)=0.所以在(1,m)上φ(x)<0恒成立，即h′(x)<0恒成立，所以h(x)在(1,m)上單調(diào)遞減，所以存在x0∈(1,m)，使得h(x0)

圖3

圖4

綜上所述，當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí)，對任意b∈[-2,-1]，都存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.

所以(1)當(dāng)a≤0時(shí)，易知g′(x)<0，所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，所以g(x)

①當(dāng)a-1≤0，即a≤1時(shí)，h(x)<0，故g′(x)<0，所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，所以g(x)

②當(dāng)a-1>0，即a>1時(shí)，因?yàn)閔(1)=a-1>0，h(e)=-e2<0，且h(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，所以由零點(diǎn)存在性定理知在(1,e)上函數(shù)h(x)存在唯一零點(diǎn)x0.在(1,x0)上，h(x)>0，故g′(x)>0，所以g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)=-1，故a>1滿足題意.

綜上所述，當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí)，對任意b∈[-2,-1]，都存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.

4 試題變式

同山東高考題一樣，我們也可以對聯(lián)考試題第(Ⅱ)問進(jìn)行變式.

變式1若對任意b∈[-2,-1]，任意x∈(1,e)，都有f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2若存在b∈[-2,-1]，對任意x∈(1,e)，都有f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式3若存在b∈[-2,-1]，存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

通過類比上述解法，這些變式題不難求解，這里不再贅述.

5 幾點(diǎn)感悟

高考復(fù)習(xí)中非常重要的一個(gè)方面就是要求教師善于從高考、聯(lián)考試題中挖掘更為深層的東西，從而進(jìn)行解題方法的總結(jié)與歸納.激勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成善于研究、善于思考的習(xí)慣，通過師生的共同探究歸納出解題的通法，即遵循數(shù)學(xué)的思維特征分析問題和解決問題，只要對問題解決的通性通法熟練、高效，某些技巧性方法自然會應(yīng)運(yùn)而生.

解題教學(xué)必須先從研究試題開始，因?yàn)橹挥写蜷_思路，研究多種視角多種解法，我們才有可能站在更高的高度，比較解法之間的差異，關(guān)注解法之間的聯(lián)系，提煉出更好的解題思想來統(tǒng)領(lǐng)所有解法，即“多解歸一”.通過解題的過程，理解知識的原理，提煉方法的本質(zhì)，注重解法的策略，使學(xué)生解題有“一題多解”的能力，也要有 “多解歸一”的認(rèn)識，這才是解題教學(xué)的目標(biāo).

我們平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，重視問題本質(zhì)的理解.張奠宙教授曾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”.2019年高考全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)試卷考生普遍反映難度大，筆者認(rèn)為其根本原因還是學(xué)生思維能力欠缺，對數(shù)學(xué)知識的理解不到位，從而不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.因此，在高考復(fù)習(xí)的解題教學(xué)中，教師要充分挖掘典型問題的內(nèi)在價(jià)值與遷移功能，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性，才能以不變應(yīng)萬變.