一道三角問題的多解切入與思考

江西 黃邦活

“八仙過海，各顯神通”，很多數學問題都可以從不同角度去思考，從有限的信息中尋找切入點，架設合適的橋梁，開拓解題思路，將問題轉化為我們熟知的易于解答的新問題，來實現對原問題的解答，得到解題的有效方法.

【問題提出】

【問題分析】

1.根據AD=3,如何得到關于b,c的關系式？

切入點1：考慮平面幾何知識，根據對角線互相平分，補成平行四邊形，由余弦定理列式.

因為BD=CD，所以點D是BC的中點，如圖所示，延長AD至F，使得AD=DF，則ABFC是平行四邊形，則AF=2AD=6，∠ABF=180°-∠CAB=60°.

在△BAF中，由余弦定理得AF2=AB2+BF2-2AB·BFcos∠ABF,得b2+c2-bc=36.

切入點2：通過建立直角坐標系，設出相關點的坐標，由兩點間的距離公式來列式.

整理得b2+c2-bc=36.

切入點1：由于AE是△ABC的角平分線，可以考慮角平分線定理中的線段比例關系，根據邊角關系及余弦定理，建立等量關系.

因為∠BAC=120°，所以∠BAE=∠CAE=60°.

切入點2：建立直角坐標系，由B,E,C三點共線得到點E的坐標后，根據兩點間的距離公式列出等量關系.

3.根據1,2的結論，又如何求BC呢？

切入點：因為在△ABC中有BC2=b2+c2+bc，若聯立1,2中的結論通過解方程組解得b,c，計算麻煩，若觀察待求式子的結構，整理處理，只需要分別得到b2+c2，bc便可以迎刃而解了.

整理得(bc)2-6bc-72=0，解得bc=12，

從而b2+c2=bc+36=48，

【題后思考】

1.總結解題規律，提煉解題方法

同一類型的問題，解題方法往往有其規律，當一個問題解決后，應認真總結，從解決問題中找出普遍適應的內容，以現在解決問題的經驗幫助我們后續的問題解決.

從以上問題的分析與解答，我們可以看出：對于與三角形有關的問題，一是可以直接由正弦定理、余弦定理以及面積公式求解；二是可以運用平面向量的基底思想，轉化為向量的數量積、夾角與模來運算；三是通過建立平面直角坐標系，運用解析法求解；四是利用圖形的幾何特征，通過補形與切割求解.

比較解法，可以得出：涉及三角形的中線長度，利用向量法，“單刀直入”，由向量運算與模之間的轉化，可以快速求解；涉及三角形的角平分線長度，利用角平分線將三角形分割成兩個小三角形，利用面積之間的等量關系，以及三角形的面積公式，則運算簡單而快捷.

2.運用問題變式，提升數學思維

題海戰術往往是“以多勝少”“就題論題”，在長期的題海訓練中會身心疲憊，學生的學習會逐漸步入“低效率、重負擔、低質量”的惡性循環中.適當通過不同角度、層次、情境進行變式訓練，不僅可以克服這些缺點，而且可以做到方法歸納，題目歸類，尋找數學問題本質特征，發現規律，開拓解題思路，突破思維束縛，形成良好的思維品質，真正增強學生的解題能力，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

解答問題之后，我們可以變更結論與條件，從三角形邊角、中線、角平分線、垂線、面積中選取變更條件，可以設置如下變式：

變式4在△ABC中，∠BAC=120°，D為邊BC上的點，且BD=CD，若AD=3，則△ABC的面積的最大值為________.

變式5在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為________.

3.回歸重視教材，發揮典例功能

我們知道，精心構思的教材習題，不僅是學習的內容，也是重要結論、命題、定理或數學思想的載體，更是編擬各類試題的源泉.因此，不少高考數學試題題目及思想“取材于教材，但又不拘泥于教材”，在典型問題身上往往能找到它們的“基因”，通過變形、改編與組合重組，展現典型問題的“魅力”.因此，隨著高考的臨近，應回歸教材，重視教材，發揮教材中習題的功能，通過對教材中問題的適當拓展或延伸，改變題目的呈現形式，實現習題的推陳出新，充分發揮課本習題作為試題的根本來源的功能，以不變應萬變，提高復習效率.如以上問題，可以是2019年北師大版教材高中必修四第82頁例3、高中必修五第57頁B組第1題的結論應用、解題方法的延伸，若能正確運用，解題會事半功倍.

不能只是為了解決數學問題而解數學問題，更重要的是理清解決數學問題的思路，掌握解決數學問題中的思維方式，總結規律，提煉方法，拓展延伸，同時也要重視回歸教材，發揮習題的功能，這樣才能觸類旁通，舉一反三，更有效地提高解題能力.