解析一道高三數(shù)學(xué)試題

江蘇 鄭寶生 潘 鑫

隨著時代的發(fā)展，每年的高三都會有一些新穎的試題出現(xiàn)，有些題目人為編造的痕跡太重，但有些題目卻讓人賞心悅目，用怎樣的標(biāo)準(zhǔn)來評判試題的優(yōu)劣？有許多問題值得我們思考．下面的題目是2019年無錫市高三數(shù)學(xué)期中考試第17題(改編)，試圖通過對本題的研究來解答我們的疑慮.

一、題目

(Ⅰ)若∠BAC=60°,求sinBsinC的值；

二、題目的背景

本題涉及的知識點，有初中的直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理，高中解三角形的正、余弦定理，還有三角函數(shù)及三角恒等變換等，關(guān)鍵在于這些知識點的融會貫通．首先，正、余弦定理的應(yīng)用靈活且廣泛，三角恒等變換也是變化萬千，三角函數(shù)又是最典型的周期函數(shù)，它們在建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題中，有著舉足輕重的作用．其次，它考查了學(xué)生對正、余弦定理的熟練運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)變換的方向，以及三角函數(shù)模型的建立．最后，對于高三學(xué)生來說，他們已經(jīng)進入了高中數(shù)學(xué)的一輪復(fù)習(xí)，解三角形和三角函數(shù)已經(jīng)復(fù)習(xí)完成，對于三角函數(shù)里簡單的問題還是能夠處理的，此時學(xué)生更缺乏解題經(jīng)驗的積累、對問題深入的思考以及思想觀念的提升，一些綜合的、新穎的問題仍然會使他們束手無策.

三、題目的來源

四、題目的解法

本題第一問有多種不同解法，主要是利用直角三角形的邊角關(guān)系，正、余弦定理以及三角形面積公式等.

1．利用正弦公式

2．利用余弦公式

3．利用正切公式

4．利用余弦定理

5．利用三角形外接圓半徑

6．利用三角形的面積公式

五、題目的本質(zhì)

六、題目的變式

七、題目的一般化

八、解題的思想方法

九、題目的價值

十、題目鏈接

本問題是通過列方程的方法，尋找題目中隱含的等式，然后再通過這個等式去求解其他問題，與此類似的高考試題如下：

1．(2016·江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是________.

由于sin(B+C)=2sinBsinC,所以sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinC，則tanB+tanC=2tanBtanC，再用這個隱含的等式去求解.

(Ⅰ)求sinBsinC；

(Ⅱ)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

所以好的試題從形式上看，簡潔優(yōu)美；從內(nèi)容上看，內(nèi)涵豐富聯(lián)系廣泛；從問題的角度看，能發(fā)人深省；從知識的角度看，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).