高考復習沖刺階段“能力型”問題的教學策略

湖南 楊育球

能力型問題是高考命題創新的亮點題型，其特點是：通過給出新知識、新方法或新情境等信息，要求考生用自己已掌握的知識、技能和方法，借助題干信息解決新問題.它主要用來考查考生臨場閱讀、提取信息、處理信息所需的各種思維方法(如比較、分類、分析、綜合、歸納、演繹、類比等)及分析問題和解決問題的能力.在緊張的高考考前沖刺備考階段，如何使我們的復習教學取得事半功倍的效果？無疑重視能力型問題是使復習教學的成效更上一層樓的有效途徑.

一、通過“新信息”能力型問題的教學，培養學生思維的創新性

所謂“新信息”能力型問題，就是在常規題的基礎上，要么給出新的定義，要么將有關信息進行遷移，或者針對某一問題展開研究性學習，進而產生的一些“一反常態”的新型問題.這類問題要求考生能夠針對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題，從而培養學生思維的創新性.

A.a※b=b※a

B.μ(a※b)=(μa)※b=a※(μb)(μ∈R)

C.(a+b)※c=a※c+b※c

D.若e是單位向量，則|a※e|>|a|

以上結論一定正確的是( )

解析：當a,b共線時，a※b=2|a-b|=2|b-a|=b※a，當a,b不共線時，a※b=a·b=b·a=b※a，故A正確；當μ=0,b≠0，μ(a※b)=0，(μa)※b=2|0-b|≠0，故B錯誤；當a+b與c共線時，則存在a,b與c都不共線，(a+b)※c=2|a+b-c|，a※c+b※c=a·c+b·c，顯然2|a+b-c|≠a·c+b·c，故C錯誤；當e與a不共線時，|a×e|=|a·e|=|a|·|e|=|a|，故D錯誤.綜上，應選A.

點評：本題是“新定義運算”的信息創新問題.解決這類創新題的關鍵是“讀懂法則,緊扣法則，適當運算，適當用特例或特值處理”. 這類創新題要求考生要善于抓住新信息的主干，靈活運用所給法則解決問題.

【例2】定義函數fn(x)=(1+x)n-1(x>-2，n∈N*且n>1).

(Ⅰ)求證：fn(x)≥nx；

(Ⅱ)是否存在區間[a，b]?(-∞，0]，使函數h(x)=f3(x)-f2(x) 在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，b]；若不存在，請說明理由.

解析：(Ⅰ)令g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx，則g′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1]，當-20時，g′(x)>0，所以g(x)在(-2，0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增，則當x=0時，g(x)min=g(0)=0，即g(x)≥g(x)min=0，所以fn(x)≥nx.

(Ⅱ)假設存在滿足條件的區間[a，b]，則h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2，所以h′(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x).

其大致圖象如圖所示：

方法2.由題易知k>0，b=0.

點評：本題涉及函數、導數、函數值域和不等式等知識，是融合“新定義遷移、綜合性、開放性和探索性”于一體的函數與導數探索性問題，重在考查導數知識以及數形結合思想的綜合運用.存在型探索問題是近年來高考的熱點題型，求解這類問題，應做到大膽預測、小心求證、思路清晰、過程規范.求解函數與導數的探索性問題主要有兩個途徑：一是先假設符合題意的條件存在，然后把結論作為條件，進行分析，探求出條件后，再進行證明;二是先假設符合題意的條件存在，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；反之，肯定結論. 求解條件組合型問題，需通過對條件的反復組合試驗，進行逐一嘗試探求.

二、通過“新方法”能力型問題的教學，培養學生思維的靈活性

所謂“新方法”能力型問題，就是在問題的題干中給出的信息是一種全新的思維方式或方法型的知識.在解答這類能力型試題時，考生必須把試題所給的新知識納入到自己已有的知識結構中來，與已有知識整合形成新的知識結構，再運用它來解決問題，從而培養思維的靈活性.

【例3】三位同學合作學習，已知區域Ω={(x,y)|1≤x≤2,2≤y≤3}內的數對(x,y)滿足不等式xy≤ax2+2y2,求a的取值范圍”提出了各自的解題思路.甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”.乙說：“尋找x與y的關系，再作分析”.丙說：“把字母a單獨放在一邊,再作分析”.參考上述思路，或自己的其他解法，可求出實數a的取值范圍是________.

答案：[-1，+∞)

解析:方法1.甲的思路：原不等式可化為f(x)=ax2-yx+2y2≥0，當x∈[1，2]時，恒成立.

因為y∈[2，3]，所以-1≤a<0；

②當a=0時，f(x)=-yx+2y2，因為y∈[2,3]，所以f(1)=2y2-y∈[6，15]，f(2)=2y2-2y∈[4，12]，所以f(x)>0，符合題意；

綜上所述，a∈[-1，+∞).

當Ω={(x，y)|1≤x≤2,2≤y≤3}時，1≤t≤3.

【例4】已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是________.

解析：根據條件建立平面直角坐標系.如圖，記∠AOB=α，則0≤α≤π.

點評：本題充分挖掘向量與解析幾何都具有數與形的雙重身份這一特點做文章，利用圓的幾何性質和向量加法運算的幾何意義，轉化為兩點間的距離進而借助新“圓”模型，數形結合解決問題，很好地考查了考生思維的靈活性.

本題首先依據向量加、減運算的幾何意義構造平行四邊形，然后利用余弦定理將兩向量和與差的模表示為角的三角函數，進而換元來構造“圓(弧)”模型，利用直線與圓的位置關系求解，充分體現“構造思想”在解題中的運用和直觀想象素養的滲透.本題的兩空屬并列關系.

三、通過“新情境”能力型問題的教學，培養學生思維的深刻性

所謂“新情境”能力型問題，就是在問題中設置新的情境、或選擇不同條件，給出閱讀材料，抑或以數據(表格或圖象)的形式給出，要求考生在觀察、分析、推理、比較、概括和探索的基礎上，找到解決問題的方法和途徑，從而培養思維的深刻性.

【例5】在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值;若k不存在，說明理由.

設等差數列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數列，________，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1，且Sk+1

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析：因為在等比數列{bn}中，b2=3，b5=-81，所以公比q=-3，從而bn=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2，所以a5=b1=-1.

若存在k，使得Sk>Sk+1，即Sk>Sk+ak+1，從而ak+1<0；

同理，若使得Sk+10.

方法1:若選①，由b1+b3=a2，得a2=-1-9=-10，所以an=3n-16，當k=4時，滿足a5<0，且a6>0成立.

若選②，由a4=b4=27，且a5=-1，得數列{an}為遞減數列，故不存在ak+1<0，且ak+2>0.

又k∈N*，從而k=4滿足題意.

若選②或選③，仿解法1解決.

點評：本題是條件和結論均開放的探索性問題，在不同的條件下進行了結論的探索，考查了等差和等比數列知識的綜合運用，以及數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

【例6】幾何特征與圓柱類似，底面為橢圓面的幾何體叫做“橢圓柱”. 圖1所示的“橢圓柱”中，A′B′,AB和O′,O分別是上、下底面兩橢圓的長軸和中心，F1,F2是下底面橢圓的焦點.圖2是圖1“橢圓柱” 的三視圖及尺寸，其中俯視圖是長軸在一條水平線上的橢圓.

圖1

圖2

(1)若點M,N分別是上、下底面橢圓的短軸端點，且位于平面AA′B′B的兩側.

①求證：OM∥平面A′B′N；

②求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值.

解析：(1)①連接O′M,O′N，∵O′O⊥平面A′B′N′，O′M?平面A′B′N′，∴O′O⊥O′M.

∵O′M⊥A′B′，O′O?平面AA′B′B，A′B′?平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，∴O′M⊥平面AA′B′B.

類似可證得ON⊥平面AA′B′B，∴O′M//ON.

又∵O′M=ON， ∴四邊形ONO′M為平行四邊形，∴OM∥O′N.

又∵OM?平面A′B′N,O′N?平面A′B′N，

∴OM∥平面A′B′N.

∵z軸⊥平面ABN，∴可取平面ABN的一個法向量n1=(0,0,1).

設平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角為θ，

又∵NF1,NF2?平面ABN，∴NN′⊥NF1,NN′⊥NF2.

點評：本題以由平面圖形向空間圖形進行升維類比得到“橢圓柱”，創設新的問題情境，結合三視圖證明線面平行和求解二面角的余弦值；進而直觀判斷tan(α+β)的取值范圍，并進行了證明.多方面的知識、方法融合于一題，可謂是一道研究性學習的經典試題.

在高考復習沖刺階段時間緊、任務重的情況下，如何通過能力型問題的教學使學生數學思維能力得到進一步提升，是擺在每一位高三老師面前的課題.為數不少的老師往往以沒有時間為借口，不愿花費精力指導學生對一些具有數學思維價值的典型問題做深入地探索，而是讓學生一味地做題，一題一題的刷，整套整套的做，只是為“解題”而解題，而不去考慮如何“解題”.這樣做的結果往往適得其反，表面上看學生每天都沉浸在高壓的學習下，但學生復習效率低下，并沒有太大的效果，當學生在高考中遇到數學思維性強且需要探究數學本質的能力型問題時，就束手無策了.問題解決是數學高考的“主旋律”，即使是高考前的復習沖刺，教師也要轉變教學理念和教學方式，對一些能力型試題，多研究、多探索和多歸納，唯有如此，才能達到提高復習效率的目的.