基本不等式模塊復習要注意的幾個問題

安徽 朱啟州

基本不等式具有將“和式”與“積式”互化的放縮功能，應用廣泛.在教學中要強化因式制宜，運用合理拆添項、配湊等恒等變形，創造基本不等式的應用條件.應用基本不等式的步驟可概括為“一正二定三相等”，需特別注意滿足取等號的條件.與完全平方式等恒等式的應用一樣，基本不等式應用只有達到精熟，才能當用時用、呼之即來.現就基本不等式模塊復習教學談談自己的一點體會，供讀者參考.

一、重視梳理基本不等式幾種常見形式及其之間的關系

從上述恒成立的不等式可以看出，這些不等式的根源是(a-b)2≥0.理解掌握基本不等式的幾種常見形式，是我們應用基本不等式正確解題的知識基礎，應用時特別要注意每個不等式成立的條件.

二、不可忽視基本不等式的文化背景、幾何意義

圖1

圖2

圖3

三、理解函數、方程、基本不等式之間的本質聯系，重視函數方法

基于此，在應用基本不等式求最值問題時，我們也會考慮利用函數方法.

【例1】在正項等比數列{an}中，a4+a3-a2-a1=5，則a5+a6的最小值為________.

【解析】設數列{an}的公比為q，則a1>0,q>0，

因為5=a4+a3-a2-a1=a1q3+a1q2-a1q-a1=a1(1+q)(q2-1)，

解法二：令q2=m，顯然m>1，

所以a5+a6的最小值為20.

【說明】解法一就是以函數視角為出發點來解題的，解法二從應用基本不等式的角度來解題的，但共同點都需要對目標式進行合理的變形，從而實現轉化.

這一模塊復習的目的就是讓學生掌握運用基本不等式求最值方法，掌握常見代數式變形方法，拓寬了求最值的思路.當然，本模塊的復習目的是在函數、方程、不等式高度融合的基礎上實現知識的成網成塊，從而實現學生解題素養的提升.

四、通過對比體驗認識應用基本不等式的必要性

既然利用函數模型可以代替基本不等式解決問題，為什么還要學習基本不等式呢？打個比方，正如我們在初中階段學習了整式運算和乘法公式一樣，正是因為應用基本不等式解決問題廣泛與便利，所以學習和掌握基本不等式是很有必要的.下面舉一例說明.

運用重要不等式，關鍵是要依據目標式的特點進行變形，以能運用重要不等式.

下面運用函數方法，就需要化二元代數式為一元代數式，從而轉化為函數問題.

Δ=(4-10y)2-4(6y-1)(4y-2)=4y2-16y+8≥0，

五、掌握應用基本不等式幾個常見模式

1.由目標式特點湊成定值是運用基本不等式解題的關鍵

【解析】由a>b>c>0，

【說明】根據問題提供的條件，湊出和或積為定值往往是解題的關鍵，因此基于目標式的結構特征進行變形，湊出定值的變形就顯得更為重要.

2.“一正二定三相等”，切實檢查等號是否成立

【例5】下列命題:

【說明】“一正二定三相等”是應用基本不等式的重要步驟，要切實驗證每一步驟成立的條件，不能敷衍了事.

3.常數代換是最常運用的模式

【解析】因為a+b=2，b>0，

【說明】常數代換方法常見于條件代數式與目標代數式分別是整式與分式的情況，目的是實現目標代數式整式與分式等不同形式的轉換，或湊出積式或和式為定值，從而為應用基本不等式創造條件，如2019年全國卷Ⅰ第23題.