函數對稱性及其應用舉例

2020-11-15 04:30:00安徽陳曉明

教學考試(高考數學) 2020年2期

安徽陳曉明

函數是中學數學教學的主線，也是高考重點考查的內容.函數的性質很多，其中函數的對稱性問題是一個難點，此類試題經常出現在平時的考試中，甚至在高考舞臺也占有一席之地.函數的對稱性分為一個函數的自對稱性和兩個函數的對稱性，對稱性包括軸對稱和中心對稱.限于篇幅，這里只給出部分定理的證明，其余定理的證明讀者不難完成.

1 一個函數的自對稱性

(1)軸對稱

說明(1)特別地，當a=b時，函數y=f(x)的定義域為R，且滿足條件f(a+x)=f(a-x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.當a=b=0時，函數y=f(x)的定義域為R，且滿足條件f(x)=f(-x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱，此時函數y=f(x)為偶函數.

(2)定理的逆命題也成立，即函數y=f(x)的定義域為R，它的圖象關于直線x=a對稱，則f(a+x)=f(a-x).

(3)f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x).

(4)有對稱性(對稱軸x=a，對稱中心(a,b))的一個或兩個函數的定義域只需關于x=a對稱即可，不一定就是R.下面情況相同.

(2)中心對稱

說明(1)特別地，當a=b時，函數y=f(x)的定義域為R，且滿足條件f(a+x)=-f(a-x)，則函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.當a=b=0時，函數y=f(x)的定義域為R，且滿足條件f(x)=-f(-x)，則函數y=f(x)的圖象關于點(0,0)(即原點)對稱，此時函數y=f(x)為奇函數.

(2)定理的逆命題也成立，即函數y=f(x)的定義域為R，它的圖象關于點(a,0)對稱，則f(a+x)=-f(a-x).

(3)f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x).

(4)可推廣：設函數y=f(x)的定義域為R，且滿足條件f(x)+f(2a-x)=2b，則函數y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.逆命題也成立.

2 兩個函數的對稱性

(1)軸對稱

定理3設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱.

說明(1)特別地，當a=0時，設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=f(-x)的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)同理可得：設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=2b-f(x)的圖象關于直線y=b對稱.

(2)中心對稱

定理4設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=-f(2a-x)的圖象關于點(a,0)對稱.

說明(1)特別地，當a=0時，設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=-f(-x)的圖象關于點(0,0)(即原點)對稱.

(3)定理4可推廣為：設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x)與函數y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a,b)對稱.逆命題也成立.

3 應用舉例

例1(2018·全國卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

解析因為函數f(x)是在(-∞,+∞)上的奇函數，所以f(-x)=-f(x)，且f(0)=0.因為f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的圖象關于直線x=1對稱，由定理1說明(3)知f(x)=f(2-x)，故f(-x)=f(2+x)，所以f(2+x)=-f(x)，故f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是周期函數，且一個周期為4，故f(4)=f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0，f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，故本題正確答案是C.

評注由解析不難推廣得到：若函數f(x)的圖象有一個對稱中心(a,0)，一條對稱軸為直線x=b，且a≠b，則4|b-a|是函數f(x)的周期.