追本溯源 演繹精彩
——2019年清華大學(xué)自主招生第13題尋解之旅

陜西 李 歆

大學(xué)自主招生是深化高校招生制度改革的一項(xiàng)重要舉措，也是促進(jìn)中學(xué)素質(zhì)教育全面發(fā)展的有效途徑.大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題往往具有難度大，思路活，方法巧等特點(diǎn)，對(duì)大學(xué)選拔優(yōu)秀學(xué)生和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的方向性和指導(dǎo)性.研究大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題，從命題背景、解題思路以及方法策略等方面進(jìn)行深入思考，并站在學(xué)生的視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解前分析和解后點(diǎn)評(píng)，讓更多的學(xué)生不因遇到大學(xué)自主招生試題而煩惱，讓更多的學(xué)生與大學(xué)自主招生試題結(jié)為好友，從而在大學(xué)自主招生考生中脫穎而出，應(yīng)該成為廣大教師教學(xué)的一條專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)之路.

一、看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不易的考題

1.試題呈現(xiàn)

問(wèn)題1.(2019·清華大學(xué)自主招生·13)若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a+3b的最小值是________.

此題看上去與普通問(wèn)題沒(méi)有區(qū)別，但思考起來(lái)卻不是很順利，對(duì)考生分析和解決問(wèn)題的綜合能力要求較高.

2.解法探尋

由于已知條件中含有三次式的結(jié)構(gòu)，而所求問(wèn)題式只是一次式的線性結(jié)構(gòu)，不能將已知條件中的兩個(gè)變量單獨(dú)分離出來(lái)，因此用常規(guī)的解題工具——均值不等式難以找到出路.注意到所求問(wèn)題式是一次式，不妨借助換元法，將所求問(wèn)題式看成一個(gè)新的變量，然后利用函數(shù)與方程思想試一試.

尋解1：令t=a+3b，則t>0，將a=t-3b代入已知條件，整理得15b3-2tb2-t2b+20=0 (1)，

由題意可知，三次方程(1)有正實(shí)數(shù)解.

故a+3b的最小值是5.

點(diǎn)評(píng)：此解通過(guò)換元之后，巧妙地利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)解題工具，以三次方程(1)的正實(shí)數(shù)解為主線，使問(wèn)題得以圓滿解決，但縱觀這個(gè)解法，知識(shí)含量和思維空間都比較大，一般學(xué)生很難理解.同時(shí)，這種解法有一個(gè)致命的弱點(diǎn)，就是所求問(wèn)題式必須是線性的，如果將所求問(wèn)題式換為非線性的，比如二次式a2+3b2，那么這種解法就會(huì)失效.況且，作為一道填空題，這種解法似乎有“小題大做”之意.因此，探尋其他解法，不僅很有必要，而且十分有意義.

二、追本溯源，從基礎(chǔ)題做起

1.一道基礎(chǔ)題

問(wèn)題2.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=2，則a+b的最小值是________.

很顯然，問(wèn)題2與問(wèn)題1十分相似，只是已知條件和所求問(wèn)題式中的“線性系數(shù)”不同而已.對(duì)于問(wèn)題2，如果按照問(wèn)題1的解法去處理，則顯得復(fù)雜一些.因?yàn)榘岩阎獥l件稍作變形后，就會(huì)得到b(a2+2ab)=2，這時(shí)等式左邊括號(hào)里面恰好是(a+b)2展開(kāi)式中的前兩項(xiàng)，由此可以獲得如下解法.

1.1 一種漂亮解法

點(diǎn)評(píng)：由于問(wèn)題1和問(wèn)題2中“線性系數(shù)”的差異，導(dǎo)致問(wèn)題1無(wú)法用問(wèn)題2的方法完成，但問(wèn)題2的解法卻意外的給了我們一種啟示，就是用平方法處理線性最值問(wèn)題，即在已知條件下，如何快捷、高效地處理二次齊次式ma2+nab+kb2的最值問(wèn)題.

1.2 一種錯(cuò)誤解法

有位學(xué)生在解問(wèn)題2時(shí)，將已知條件也作了變形，結(jié)果卻得到了下面的錯(cuò)解.

2.幾道變式題

2.1由錯(cuò)誤解法引發(fā)的變式

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是很正常的一件事，在這種情況下，教師切不可輕易地放棄學(xué)生的解題思路，強(qiáng)制要求學(xué)生按照教師提供的方法來(lái)完成解題，那樣往往會(huì)阻礙學(xué)生思維的發(fā)展，甚至扼殺學(xué)生的創(chuàng)造性思維.因此，教師要善于從學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題中辯證地分析錯(cuò)因所在，做到因勢(shì)利導(dǎo)，對(duì)癥下藥，這樣才能準(zhǔn)確醫(yī)治學(xué)生的“思維傷口”，引領(lǐng)學(xué)生思維沿著正確的方向前行.

可以看出，上面這位學(xué)生的解題方向值得肯定，導(dǎo)致解法錯(cuò)誤的根源在于等號(hào)成立的條件前后不一致，如果改變一下已知條件和所求問(wèn)題，那么會(huì)怎么樣呢？由此引發(fā)出變式1.

變式1.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則a2+5ab+b2的最小值是________.

故a2+5ab+b2的最小值是15.

點(diǎn)評(píng)：此解法與上述錯(cuò)解的過(guò)程幾乎完全一樣，只是某些式子的結(jié)構(gòu)不同，由此說(shuō)明，在學(xué)生錯(cuò)誤解法的背后的確隱藏著可以借鑒的和有用的東西，值得教師在教學(xué)中加以正確引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)找錯(cuò)和改錯(cuò)，從而在錯(cuò)誤的源頭上徹底清除學(xué)生的思維障礙，打通走向成功的希望之路.

2.2改變所求問(wèn)題式的結(jié)構(gòu)引發(fā)的變式

對(duì)于變式1，如果已知條件不變，改變一下所求問(wèn)題式的結(jié)構(gòu)，那么解法會(huì)改變嗎？

變式2.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則13a2+17ab+7b2的最小值是________.

容易發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)沿用變式1的解法是徒勞的，讓我們的思路往回走，面對(duì)問(wèn)題2的解法想一想，能否得到啟示呢？

故13a2+17ab+7b2的最小值是75.

點(diǎn)評(píng)：把所求問(wèn)題式進(jìn)行拆項(xiàng)處理，并將(1)式和(2)式代入后，則巧妙地消去了ab，從而使下一步再拆項(xiàng)水到渠成，同時(shí)為均值不等式的運(yùn)用搭建了平臺(tái).

變式3.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則2a2+2ab+b2的最小值是________.

與變式2相比較，所求問(wèn)題式的各項(xiàng)系數(shù)變小了，按理來(lái)說(shuō)求解應(yīng)該方便一些，但事實(shí)恰恰相反，直接用變式2的解法，對(duì)所求問(wèn)題式進(jìn)行拆項(xiàng)處理是行不通的，我們不妨將問(wèn)題式各項(xiàng)的系數(shù)變大一些，則可以求解.

故2a2+2ab+b2的最小值是10.

點(diǎn)評(píng)：以上三種變式，已知條件相同，只是所求問(wèn)題式的各項(xiàng)系數(shù)發(fā)生了變化，然而入手時(shí)的思路卻在處理細(xì)節(jié)上有所不同，由此從幾個(gè)不同的解題視角上，反映了二次齊次式ma2+nab+kb2的解題策略，揭示了“細(xì)節(jié)決定成敗”的解題內(nèi)涵.

三、條件成熟，優(yōu)美解法登臺(tái)

1.問(wèn)題1尋解出彩

通過(guò)對(duì)上面的基礎(chǔ)題問(wèn)題2以及三個(gè)變式的解法研究，問(wèn)題1的第二次尋解已經(jīng)浮出水面，只需要將變式3的解法作一些數(shù)字修改即可.

故a+3b的最小值是5.

點(diǎn)評(píng)：很明顯，尋解2比尋解1要簡(jiǎn)潔得多，而且尋解2僅僅用到了代數(shù)式的變形、平方、配項(xiàng)系數(shù)、拆項(xiàng)以及均值不等式，這些都是處理代數(shù)最值問(wèn)題最常用的解題方法和基本工具，是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為理想也是眾所期盼的解題途徑，因此，尋解2充分彰顯了數(shù)學(xué)解題基本方法的魅力和價(jià)值所在.

2.問(wèn)題1的拓展變式

受問(wèn)題1尋解2的啟發(fā)，在已知條件不變的情況下，將所求問(wèn)題式變?yōu)槎畏驱R次的形式，可以得到以下兩個(gè)變式.

變式4.若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a2+15ab+21b2+5a的最小值是________.

故a2+15ab+21b2+5a的最小值是65.

變式5.若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a2+5ab+8b2+b的最小值是________.

故a2+5ab+8b2+b的最小值是23.

點(diǎn)評(píng)：由于所求問(wèn)題式變得復(fù)雜一些，因此變式4和變式5相對(duì)于問(wèn)題1又增加了難度，但是有了問(wèn)題1的尋解2作為參考，以及問(wèn)題2的三個(gè)變式精彩解法的能力提升，處理變式4和變式5便輕車(chē)熟路.

四、不忘初心，研究尚在路上

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，解決問(wèn)題就是對(duì)心臟的維護(hù)和保養(yǎng).一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題的誕生，往往凝聚著命題者潛心研究和反復(fù)實(shí)踐的水平和智慧，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有不可估量的作用.從問(wèn)題2到問(wèn)題1，雖然題型結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生改變，只是將已知條件和所求問(wèn)題式中的“線性系數(shù)”作了簡(jiǎn)單地調(diào)整，但解決問(wèn)題的策略卻在細(xì)節(jié)上發(fā)生了質(zhì)的變化和飛躍，單憑機(jī)械地模仿和借用問(wèn)題2的解法處理問(wèn)題1只能是“望洋興嘆”，由此說(shuō)明從問(wèn)題2到問(wèn)題1的解題歷程還很遙遠(yuǎn).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)問(wèn)題2的處理如果就題解題，沒(méi)有后續(xù)的變式和教學(xué)，那么學(xué)生的思維就會(huì)被禁錮、被滯留，當(dāng)問(wèn)題1出現(xiàn)時(shí)就會(huì)“似曾相識(shí)”，卻“望而生畏”.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不忘初心，牢記研究永遠(yuǎn)在路上，做問(wèn)題變式及其教學(xué)的領(lǐng)路人，不斷開(kāi)啟學(xué)生的思維智慧，在教學(xué)路上讓變式教學(xué)熠熠閃光.像上面的問(wèn)題2，在順利完成解法之后，再進(jìn)一步地做變式和拓展研究，通過(guò)變式1、變式2和變式3的教學(xué)，不僅讓學(xué)生從方法角度掌握此類(lèi)最值問(wèn)題的解決策略和思維鏈條，也讓學(xué)生從探究領(lǐng)域感悟到數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題的產(chǎn)生背景及其相互關(guān)系，當(dāng)問(wèn)題1及其變式出現(xiàn)時(shí)，思維就會(huì)跟著感覺(jué)走，在不知不覺(jué)中進(jìn)入到“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的思維境界，從而實(shí)現(xiàn)由基礎(chǔ)知識(shí)題到能力水平題的思維大提升和大跨越.