二次函數在閉區間的最值問題研究

安徽 陳曉明

多年來二次函數在閉區間的最值問題一直是高考的熱點問題，此類問題主要包括四種情況：軸定區間定(二次函數的對稱軸和定義域都不含參數)；軸定區間動(只有定義域區間端點含參)；軸動區間定(只有二次函數的對稱軸含參)；軸動區間動(二次函數的對稱軸和定義域區間端點都含參數)．因為第一種情況較簡單，第四種情況較復雜，所以考的較少，而中間兩種情況考的特別多．“軸動區間定”的情況只需分三種情況討論(軸在區間左、中、右)即可，難度也不大，因此本文主要研究“軸定區間動”的情況．巧合的是，本學期筆者所在學校(省級示范高中)的三次大型考試都考到了這種情況．在試卷講評課上筆者帶領學生對試題進行研究，以期找到此類問題的求解策略．

A.b=2 B.b≥2 C.12

【例2】已知函數f(x)=-x2-2x+3，求函數f(x)在區間[a,a+4]上的最小值．

錯解：如圖所示，要求函數f(x)在區間[a,a+4]上的最小值，只需比較區間的端點離對稱軸x=-1的遠近即可．因此分3種情況討論：

(1)當-1-a>(a+4)-(-1)，即a<-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當-1-a=(a+4)-(-1)，即a=-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當-1-a<(a+4)-(-1)，即a>-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

剖析：能將求函數最值的問題轉化為比較區間端點離對稱軸遠近的問題，體現了化歸與轉化及數形結合的思想，然后通過分類討論解決問題．但是圖象畫的不夠準確，因為定義域區間[a,a+4]長度為4，而拋物線f(x)=-x2-2x+3與x軸兩交點分別為(-3,0),(1,0)，它們之間的距離也為4，而從圖象上看[a,a+4]卻落在[-3,1]的內部，明顯不對．幸好還不影響解題．另外，如圖所示，當對稱軸x=-1在區間[a,a+4]右側時，上面分類中的(a+4)-(-1)為負值，不能表示右端點到對稱軸的距離．因此，上面的分類只是對稱軸x=-1在區間[a,a+4]內的情況，還要討論對稱軸分別在區間左及區間右的情況．

(2)當-1≥a+4，即a≤-5時，f(x)min=f(a)=

-a2-2a+3．

(3)當a≥-1時，易知f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

(1)當a+2<-1，即a<-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當a+2=-1，即a=-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當a+2>-1，即a>-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

【例3】當x∈[a,b]時，函數f(x)=x2-4x+5的最小值為a，最大值為b，則b=________.

解析：本試題與前面試題有什么異同點呢？首先定義域區間有所不同，例1只有右端點含參，例2與例3左、右端點都含參，不同的是例2只含一個參數，而例3含兩個參數．然后例1與例3其實都是定義域與值域相同(給出含參最值)，求參數的值．而例2是求含參最值．

本題還是要比較拋物線的對稱軸x=2與定義域區間的位置關系.

(3)當a<2

首先可以確定的是函數f(x)=x2-4x+5的最小值a=f(2)=1，這樣函數的最大值b可分為兩種情況：

①當b≤3時，如圖所示，b=f(a)=f(1)=2，這與前提條件a<2

②當b>3時，如圖所示，由題意知b=f(b)，故b2-

評注：看來研究二次函數在閉區間的最值問題，抓住拋物線的對稱軸與定義域區間的位置關系進行分類討論是解決問題的關鍵．這道在考場上得分率極低的試題并不是不可逾越的！

教學思考

通過前面的例題，我們不難發現試題難度在遞進，學生在解題過程中會遇到一個個難以解決的問題．“問題探究”的學習方式對發展學生的思維有比較大的影響．學習數學，不只是學會數學知識，更重要的是學會數學式的思維，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的創新精神．這些僅憑學生聽講、做題是很難獲得的，而以問題為中心的合作探究學習可以促進學生思維的飛躍、素養的提高．