研究“草圖”，探究“內(nèi)理”

江蘇江陰市利港實驗小學(xué) 趙 靜 張建國

數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾提出，視覺思維占主導(dǎo)地位。在小學(xué)階段，學(xué)生以形象思維為主，用形象思維觀察問題、分析問題、解決問題。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會借助草圖來理解數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)中落實幾何直觀的具體體現(xiàn)。借助草圖可以培養(yǎng)學(xué)生的一種思維方式，有利于學(xué)生直觀、巧妙地找到解決問題的突破口，深入理解數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向更抽象、更高級的空間形式，有助于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)。

一、借助“草圖”理解數(shù)學(xué)概念

師：你是怎么來理解的？

生1：我是畫圖來理解的。

生2：我是計算得來的。求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算。結(jié)果都是公頃。

阿提雅說過：“幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道。”借助草圖可以把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺；借助草圖可以來驗證計算結(jié)果，促進學(xué)生對計算結(jié)果的理解，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)果的判斷力。根據(jù)題意畫草圖，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中最常用的一種方法，一種解題技能，也是學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的一種體驗。我們要讓學(xué)生體會到畫草圖的價值，體會畫草圖是理解問題、解決問題的一種策略。

二、借助“草圖”理解計算算理

【片段2】分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘

學(xué)生確認(rèn)后，畫出陰影。

師：陰影部分占長方形的幾分之幾？

師：那陰影部分的二分之一該怎么表示呢？它又是長方形的幾分之幾呢？

（生畫一畫）

師：能看圖列算式填寫結(jié)果嗎？

……

計算對于學(xué)生來說最難理解的是算理，尤其是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算，學(xué)生理解起來更是難上加難，用草圖直觀地展示在學(xué)生面前整個計算過程，并直觀地在圖中顯現(xiàn)出結(jié)果，讓學(xué)生清晰地溝通了算理和算法之間的聯(lián)系。在片段2中，借助長方形圖幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，同時也借助了長方形草圖驗證了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的結(jié)果，并能讓學(xué)生理解歸納出算法。劉加霞博士指出：經(jīng)驗的獲得需要“領(lǐng)悟”與“轉(zhuǎn)化”。學(xué)生通過視覺觀察或參與具體活動，可以直接獲得具體經(jīng)驗；再通過回顧、反思所經(jīng)歷的活動，進行內(nèi)在的思考，不斷內(nèi)化為能夠理解的、抽象的、合理的經(jīng)驗；最終在解決新問題的過程中證實和運用獲得的經(jīng)驗，從而不斷創(chuàng)生出新的經(jīng)驗。

三、借助“草圖”解決實際問題

【片段3】有關(guān)電線長度計算的實際問題

像此類解決問題，如果學(xué)生不畫草圖，恐怕很難理解，也很難解決。如果把草圖畫出來，學(xué)生看了草圖后就很容易迎刃而解。

在解決問題的過程中，理清數(shù)量關(guān)系是核心，任何一個數(shù)學(xué)問題都是由情境和數(shù)量關(guān)系兩部分組成的。尋求問題的結(jié)果，取決于對情境的理解，理清數(shù)量關(guān)系，從而建立求解模型。大多數(shù)學(xué)生喜歡形象思維，抽象思維的能力還有待發(fā)展，因此極少有學(xué)生會主動借助草圖來尋找問題的突破口。如果學(xué)生能養(yǎng)成畫草圖的習(xí)慣，這樣的草圖可以是線段圖，可以是方塊圖，等等，只要能化抽象為直觀，幫助理解和思考的草圖都可以嘗試。運用草圖不僅能比較容易找到解題思路，還能進一步提升思維的深度。上面有關(guān)電線長度的計算題，數(shù)量關(guān)系混亂，很難找到等量關(guān)系入手，讓學(xué)生畫線段圖，結(jié)合草圖，就很容易看出分?jǐn)?shù)和對應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系。“直觀與推理是圖形與幾何學(xué)習(xí)中的兩個重要方面”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助草圖有利于學(xué)生理解抽象的概念、法則等，有利于學(xué)生解決一些稍復(fù)雜的實際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，進一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

四、借助“草圖”理解數(shù)學(xué)結(jié)果

【片段4】最多可以剪多少個直角三角形

出示例題：在長12分米、寬6分米的長方形布上剪直角邊長分別為3分米和4分米的直角三角形，最多可以剪多少個？

師：請同學(xué)們在長方形圖里動手畫一畫。

師：通過畫一畫，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我們可以先剪長4分米、寬3分米的長方形，最后把長方形分成兩個直角三角形。

師：那這樣的長方形最多可以剪多少個呢？

生：我們可以看大長方形的長里面可以剪多少個這樣的小長方形，寬里面可以剪幾排這樣的小長方形。（生借助圖向大家介紹）

師：能用算式表示出來嗎？

生：12÷4=3（個），6÷3=2（排），3×2=6（個）可以剪6個長方形。而每個長方形可以剪成兩個完全相等的直角三角形，所以一共可以剪12個這樣的三角形。

師：從圖上看，正好剪完，沒有剩余。非常好。我們可以看長里面可以剪多少個，寬里面可以剪多少排？那如果不能正巧剪完，又該怎么辦呢？

出示例題：在長12分米、寬7分米的長方形紙上剪直角邊長分別為3分米和4分米的直角三角形，最多可以剪多少個這樣的直角三角形？

師：也請同學(xué)們在長方形圖里動手畫一畫。

（生展示了兩種不同的圖）

師：請同學(xué)們觀察這兩種剪法，你們覺得最多可以剪多少個這樣的直角三角形？

生：14個。

小學(xué)生的思維通常以直觀、形象為主，他們的空間想象能力容易受到阻礙，因此往往有些學(xué)生會有思維定式，停留在同種類型的解題模式上，而不能理解問題的內(nèi)理，掌握問題的本質(zhì)。動手畫一畫草圖，借助直觀的圖形，可以幫助學(xué)生理清問題的本質(zhì)，得出問題的結(jié)果。在以上教學(xué)片段中，教師讓學(xué)生動手畫一畫，思考剪長4分米、寬3分米的長方形，最多可以剪多少個？這時長和寬都能正好剪完，通過圖來驗證結(jié)果，一目了然。然而，教師又出了一道不能正好剪完的題，此時最多又能剪多少個呢？有的學(xué)生還是用了原來的方法，有些學(xué)生則通過畫圖剪出了更多三角形。學(xué)生借助草圖，有效地將抽象的數(shù)學(xué)結(jié)果形象化、簡單化，進一步理解在遇到此類問題時應(yīng)如何分析和解決。