桁架結構彈塑性屈曲承載力計算方法

張明，谷任奇，童萬波

(1.東南大學 混凝土與預應力混凝土結構教育部重點實驗室，江蘇 南京 210018； 2.中鐵二院工程集團有限責任公司，四川 成都 610031; 3.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

桁架結構因其特殊的結構形式，其桿件主要受軸向拉力或壓力，能充分發揮結構材料的作用，減輕結構的自重，故而在工程實際中得到了廣泛的應用[1-2]。而一般鋼構件的長細比較大，故桁架結構穩定問題是桁架結構工程應用中面臨的一個主要問題，同時很多學者對桁架結構的穩定性問題作了大量的研究分析[3-10]。孫煥純等[3]通過對桁架結構屈曲穩定性理論進行討論，提出了桁架結構線彈性屈曲承載力的計算方法。柯秋鴻等[4]對無支撐和有支撐的2種立體桁架結構體系進行了線彈性屈曲承載力分析。郭彥霖等[5]針對鋼管桁架拱平面內的彈性屈曲進行了分析。樂慈等[6]結合天津梅江會展中心工程，對張玄桁架結構的線性屈曲承載力進行了分析。杜兆宇[7]應用ABAQUS有限元軟件對某懸挑雙向折形斜交平面桁架結構進行了線彈性屈曲承載力分析。侯亞委等[8]對某電廠大跨度干煤棚鋼結構進行了線性特征值屈曲分析。Dou等[9]對圓鋼管桁架拱結構采用靜態平衡法，研究分析了的圓鋼管桁架拱結構彈性面外屈曲荷載。Madah等[10]基于梯度的移動漸近線方法，在考慮幾何缺陷的情況下利用共旋轉梁方程探討了結構的局部屈曲和桁架的整體屈曲問題。

然而，目前學者只研究了桁架結構的線彈性屈曲承載力或者彈性屈曲承載力，少有研究桁架結構的彈塑性屈曲承載力。本文提出一種通過確定桁架結構最不利桿件，同時計算桁架結構最不利桿件的彈塑性屈曲承載力，來分析桁架結構彈塑性屈曲承載力的計算方法。并且本文通過應用本方法對單桿結構以及簡單桁架結構在靜力荷載作用下的彈塑性屈曲承載力分析以及簡單桁架結構動力荷載作用下的彈塑性屈曲承載力分析，同時與有限元軟件ABAQUS分析的屈曲承載力進行對比，以驗證本文提出方法的正確性與可行性。

1 桁架彈塑性屈曲承載力分析方法

1.1 確定最不利桿件

對桁架結構進行彈塑性屈曲承載力分析，其首要任務是找到桁架結構在其已知荷載狀況下的最不利受壓桿件。因為，最不利桿件是桁架結構在該荷載狀況下最早發生屈曲的桿件，進而可能導致整個桁架結構的屈曲破壞。確定最不利桿件需對桁架結構進行線彈性分析[11]：

K·D=P

(1)

式中：K為桁架結構線彈性剛度矩陣；P為桁架結構在該荷載狀況下的荷載向量；D為桁架結構在荷載向量P作用下，桁架結構的位移向量。

桁架結構各桿件在荷載P作用下的應力σi可根據線彈性分析結果及式(2)確定[11]：

(2)

式中：σi為桁架結構第i根桿件的應力；Ni為桁架結構第i根桿件的軸向力；Ai為桁架結構受壓區第i根桿件的橫截面面積。根據式(2)，將桁架結構中壓應力最大的桿件定義桁架結構在該荷載狀況下的最不利桿件。在此基礎上，定義最不利桿件在該荷載狀況下的軸向力為N0，荷載向量P為參考荷載P。

1.2 最不利桿件與桁架結構的關系

桁架結構最不利桿件的確定是綜合考慮了結構的布置形式、荷載分布、桿件與節點之間的連接以及材料非線性，這些因素體現在1.1節中最不利桿件的確定及1.3節中最不利桿件線彈性屈曲承載力計算部分。因此，桁架結構最不利桿件是桁架結構中的關鍵構件，因為最不利桿件的屈曲可能會導致桁架結構的局部屈曲，進而可能引起結構連續倒塌，甚至引起整個結構的倒塌。同時，結構的破壞是由于結構桿件破壞逐漸積累導致。綜上所述，可以將最不利桿件的屈曲承載力作為分析桁架結構屈曲承載力的重要參考指標，即可通過參考桿件的屈曲承載力估算桁架結構屈曲承載力的下限值。

1.3 最不利桿件線彈性屈曲承載力計算

根據結構力學中穩定計算理論[11]，桁架結構最不利桿件的線彈性屈曲承載力可表示為:

(K-S)Δ=0

(3)

S=Ples

(4)

式中：K為桁架結構最不利桿件的線彈性剛度矩陣；S為桁架結構最不利桿件在線彈性屈曲承載力作用下的幾何剛度矩陣；Ple為桁架結構最不利桿件的線彈性屈曲承載力；s為桿件單元的幾何剛度矩陣；Δ為桁架結構最不利桿件在其線彈性屈曲承載力作用下的位移向量。因此，桁架結構最不利桿件的線彈性屈曲承載力Ple為：

|K-Ple·s|=0

(5)

1.4 最不利桿件彈塑性屈曲承載力計算

計算得到桁架結構最不利桿件線彈性屈曲承載力Ple后，簡單桁架結構最不利桿件的彈塑性屈曲承載力Pcr_R即可根據Dunkerley提出的壓桿強度曲線[12-14]計算得到：

(6)

(7)

Ny=fyA

(8)

式中：Ny為桁架結構最不利桿件的屈服承載力，可根據式(8)計算；Λ為最不利桿件的廣義長細比[12]；其中fy為最不利桿件材料的屈服應力，A為最不利桿件的橫截面面積。

1.5 桁架結構彈塑性屈曲承載力計

計算得到簡單桁架結構最不利桿件的屈曲承載力Pcr_R后，根據式(9)和式(10)可得到桁架結構的彈塑性屈曲承載力[12]。

Pcr=λP

(9)

λ=Pcr_R/N0

(10)

式中：Pcr為桁架結構的彈塑性屈曲承載力;λ為桁架結構彈塑性屈曲承載力的比例因子；P為桁架結構的參考荷載。

2 有限元模擬方法及模型建立

桁架結構有限元模擬分析的屈曲承載力是通過采用有限元軟件ABAQUS進行模擬分析。桁架結構模型中各桿件均采用ABAQUS中B31單元進行模擬，模型節點均采用固結；采用2種方法進行對比分析：特征值屈曲分析方法和riks分析方法，模型網格劃分方式采用自由網格劃分。

梁單元B31的幾何圖如圖1所示，其假定：構件的變形可以由沿長度變化的位移函數確定，并且適合于以剪切變形為主的構件建模，如深梁和細長梁進行建模。梁單元B31在每個節點處具有6個自由度：沿x向、y向以及z向的平移，以及關于x軸、y軸以及z軸的旋轉[15]。

本文所選的桁架結構模型為單桿結構模型和單層單跨結構模型，其結構布置及荷載分布如圖2所示。桁架結構采用材料為低碳鋼Q345，其彈性模量E為206 GPa，屈服強度σy為354 N/mm2，鋼材泊松比ν為0.3，各桿件桿長l為2 m，桿件截面尺寸為

Φ100 mm× 5 mm。鋼材Q345材料性質假定為理想彈塑性，其應力-應變曲線如圖3所示。

圖1 B31單元幾何圖[15]Fig.1 The geometry of element B31[15]

圖2 簡單桁架結構邊界、布置及荷載分布Fig.2 The boundary, configuration and the load of the simple truss

圖3 鋼材應力-應變曲線Fig.3 The stress-strain curve of the steel

3 桁架結構彈塑性屈曲承載力分析

3.1 桁架結構彈塑性屈曲承載力計算

3.1.1 結構最不利桿件的確定

為了便于分析，對所有分析的桁架結構模型的荷載P的大小均假設為單位荷載1 N。為確定桁架結構模型的最不利桿件，可利用有限元軟件ABAQUS對桁架結構模型a、模型b、模型c和模型d分別進行線彈性分析。根據有限元分析結果，桁架結構模型a、模型b、模型c和模型d的最不利桿件為圖2中桿件cd。桁架結構模型a、模型b、模型c和模型d的最不利桿件在荷載P作用下的軸向力N0及參考荷載P見表1。

3.1.2 最不利桿件線彈性屈曲承載力分析

根據結構力學中結構穩定計算理論[11]，簡單桁架結構模型a、模型b、模型c和模型d的最不利桿件的彈性剛度矩陣K和單元幾何剛度矩陣s見表2。因此，根據式(5)可分別計算得到桁架結構模型a、模型b、模型c和模型d的最不利桿件的線彈性屈曲承載力，計算結構見表3。

表1 最不利桿件軸向力及參考荷載

表2 桁架結構模型最不利桿件K和s

表3 桁架結構最不利桿件線彈性屈曲承載力

3.1.3 最不利桿件彈塑性屈曲承載力分析

在根據式(5)計算得到桁架結構最不利桿件的線彈性屈曲承載力Ple后，根據式(6)即可計算得到桁架結構最不利桿件的彈塑性屈曲承載力Pcr_R，具體相關參數的計算及結果見表4。

表4 桁架結構最不利桿件彈塑性屈曲承載力

3.1.4 桁架結構彈塑性屈曲承載力分析

根據式(6)計算得到桁架結構最不利桿件的彈塑性屈曲承載力Pcr_R后，桁架結構的彈塑性屈曲承載力Pcr即可根據式(9)和式(10)計算得到，其具體相關參數的計算及結果見表5。

表5 桁架結構彈塑性屈曲承載力

4 桁架屈曲承載力有限元模擬分析

桁架結構模型a、模型b、模型c以及模型d應用有限元軟件ABAQUS特征值屈曲分析方法分析得到的桁架結構屈曲承載力Pcr(B)和應用riks分析方法得到的桁架結構屈曲承載力Pcr(R)見表6。為便于對比分析，表中還給出了基于最不利桿件桁架結構的彈塑性屈曲承載力估算值Pcr。另外，桁架結構模型a、模型b、模型c以及模型d應用特征值屈曲分析得到的位移云圖和應用riks分析得到的位移云圖分別如圖4和圖5所示。桁架結構模型a、模型b、模型c以及模型d應用riks分析方法的荷載加載曲線如圖6所示。

表6 桁架結構屈曲承載力Table 6 The buckling strength of truss structure

從表6中可見，桁架結構模型a、c和模型d根據本文給出的方法計算的彈塑性屈曲承載力與應用有限元軟件ABAQUS特征值屈曲分析方法和riks分析方法得到的屈曲承載力較為接近。由于特征值屈曲分析是假定結構在整個分析過程中均為彈性(未考慮材料的塑性)，桁架結構模型b在荷載達到在彈性屈曲荷載前，結構已經發生強度破壞，故基于本文方法估算的桁架模型b的彈塑性屈曲承載力與有限元軟件ABAQUS特征值屈曲分析方法得到的屈曲承載力相差較大。而riks分析的結果更接近壓潰荷載，其與基于最不利桿件方法估算的桁架結構屈曲承載力較為接近。

研究發現，當構件長細比較大時，結構失效以屈曲破壞為主，此時基于最不利桿件方法估算的桁架屈曲承載力與利用特征值屈曲分析所獲得的屈曲承載力較為接近；當構件的長細比較小時，構件以強度破壞為主，此時基于最不利桿件方法估算的桁架結構屈曲承載力與利用riks分析結果較為接近。

圖4 桁架結構特征值分析位移云圖Fig.4 The displacement cloud map of simple truss analyzed by eigenvalue analysis

對比桁架結構模型a、模型b、模型c以及模型d應用特征值屈曲分析得到的位移云圖和應用riks分析得到的位移云圖，由于2中分析方法的原理不同，故在模型屈曲破壞時的破壞形態并不相同，但分析得到的模型屈曲承載力較為接近，也與本文所提方法計算桁架結構彈塑性屈曲承載力較為接近。結合圖5中桁架結構模型b應用riks分析得到的位移云圖和圖6中桁架結構荷載加載曲線，可發現桁架結構模型b的破壞形態更接近桿件的受壓強度破壞。同時，從圖6可看出，桁架結構模型a、模型c和模型d的破壞形態以屈曲破壞為主。

圖5 桁架結構riks分析位移云圖Fig.5 The displacement cloud map of simple truss analyzed by riks analysis

圖6 桁架結構荷載加載曲線Fig.6 Load loading curves of truss structures

5 結論

1)桁架結構最不利桿件的確定充分考慮了結構布置形式、荷載分布、桿件與節點之間的連接以及材料非線性和幾何非線性的影響。因此，基于桁架結構最不利桿件彈塑性屈曲承載力計算桁架結構屈曲承載力的計算方法是合理的、可行的。

2)根據本文所提方法計算的桁架結構彈塑性屈曲承載力與根據有限元模特征值屈曲分析方法和riks分析方法模擬的屈曲承載力結果較為接近，驗證了本文所提方法計算桁架結構彈塑性屈曲承載力的正確性。

桁架結構的彈塑性屈曲承載力與結構的邊界條件、荷載分布以及結構形式有關，進而對于復雜桁架結構的彈塑性屈曲承載力分析還有待更進一步的分析研究。