基于遺傳算法的工程項目群工期-費用優化研究

豐景春，施嘉鋒，豐 慧，張 可

（1.河海大學商學院,江蘇南京 211106；2.河海大學項目管理研究所，江蘇南京 211106；3.江蘇省世界水谷與水生態文明協同創新中心，江蘇南京 211106；4.河海大學國際河流研究中心，江蘇南京 211106）

1 文獻綜述

近年來，伴隨著“一帶一路”倡議、京津冀協同發展等重大方略的實行，我國穩步邁入經濟發展新常態，我國承建的各種大中型工程項目也不再僅限于國內，同時也在走出國門，這意味著我國承擔大中型建設工程項目的企業會面臨更多的機遇與挑戰，提高大中型工程建設項目的質量和效率，對建設工程項目管理進行優化，是亟待解決的問題。

建設工程項目管理優化的對象側重于工期、費用和資源三大方面，這三大方面之間存在聯系性，實現工程建設項目工期縮短（進度優化）、費用減少（成本優化）、資源均衡（資源優化）一直都是工程項目管理過程中的重要目標，在相關研究中，各專家學者的研究主要集中于實現單項目目標優化，例如，閆文周等［1］研究了關鍵鏈的期望工期、分布規律以及指定工期下的完工概率，以完工概率最小的關鍵鏈作為重點管控對象，從而實現工程項目工期優化；楊波等［2］利用決策網絡計劃技術在規定工期下對工程項目的費用進行優化；Pinha 等［3］認為糟糕的資源管理往往是工程項目超支以及工期延誤的主要原因，因此提出了一種短期資源分配與管理的軟件工具，以解決資源約束項目的資源調配問題。對于工程項目管理過程中資源均衡類問題，常用的衡量指標為資源均衡方差、絕對偏差等，如何立華等［4］提出了一個創新性指標——資源波動成本，可用以度量并最小化資源波動對施工生產力和成本造成的影響。也有研究把工程項目的質量納入優化目標，一般來說，工程項目的質量難以量化，而高興夫等［5］假定了工程項目活動時間與質量之間的線性關系，將活動的質量進行量化處理，構建了工期、費用、質量綜合優化的數學模型。

以上研究多建立在工程建設單項目的基礎上，而如今，絕大多數的工程項目不是孤立存在的，多是在項目群的環境下執行［6］。項目群是一系列旨在實現組織整體戰略目標，且為適應于組織內外部環境變化而有機聯結的各合同項目的集群。工程項目群相較于單一項目來說更為龐大，內部涉及更多的利益主體，工作關系錯綜復雜，對業主進度控制、費用控制等各方面的管理水平提出了更高的要求，因此，為保證項目群整體工作及時而又高效完工，以項目群的工期、費用、資源或質量為研究對象進行項目實施前和實施過程中的合理優化是十分必要的。

目前，工程項目群管理方面的研究提出了許多有價值的模型，例如，鑒于項目群內包含多個利益主體，豐景春等［7］引入了子網絡的概念，將同一個承包商所承擔的項目構成一個子網絡，構建了項目群工期提前獎勵模型，而汪玉亭等［8］研究了因承包人原因導致的子網絡之間和子網絡內項目工期延誤對項目群所帶來的影響，構建了基于子網絡的項目群工期延誤懲罰模型，獎勵模型與懲罰模型對于項目群費用優化具有重要意義；豐景春等［9］建立了甲供資源約束條件下項目群實施前和實施過程中的工期-費用優化模型，分別用于優化初始網絡計劃以及優化后網絡計劃的動態調整，可以實現既定工期目標并控制業主支出費用；另外，項目群也需要調用資源以實現目標，豐景春等［10］考慮項目群內部合同項目之間的邏輯關系，利用資源在項目群內部合同項目之間的轉移，構建資源約束條件下項目群工期優化模型。

工程建設單項目、多項目或者項目群中，各目標優化模型的求解一般多采用傳統的關鍵路徑法或關鍵鏈法，而如今，伴隨著人工智能技術的發展，各種人工智能算法在眾多領域得到了普及與應用，因而也出現了運用智能算法求解建設工程項目中不同目標優化問題的研究，例如，Chaharsooghi 等［11］構建了以項目現金流現值最大化為目標的數學優化模型，并使用遺傳算法進行求解，該方法對項目現金流量的管理和項目控制有重要作用；張厚先等［12］利用粒子群算法求解了大型網絡計劃的工期固定資源均衡以及資源有限工期最短的優化問題；胡華選等［13］構造了一種改進的蟻群算法應用于工程項目的工期-費用優化問題，取得了有效的結果。以上的研究多為針對工程建設的單目標優化，也有學者進行了多個目標優化的研究，如Vijayan 等［14］利用多目標優化蟻群算法，實現了工程項目的時間、成本和風險3 個參數之間的協調優化；杜學美等［15］將質量和安全指標均進行了量化處理，連同工期和成本指標建立了多目標優化模型，并應用粒子群優化算法對模型進行求解，為求解多目標優化問題提供了指標處理以及算法求解的思路；邱惠［16］考慮到項目群資源共享，通過對工程項目群工期、成本、管理資源分析，提出基于粒子群算法的項目群網絡計劃優化模型，最后仿真驗證優化效果；王益鋒等［6］建立了項目群約束資源分配模型，引入了粒子群算法并給出算法在模型中的應用流程，對目標模型進行求解，實現了項目群整體進度的優化。

綜上，現有研究成果對于求解工程項目群工期、費用或資源優化都具有重要的參考價值，與此同時，利用智能算法進行算例求解可以提高結果的精準性，是求解優化問題的可靠選擇；但是現有研究主要是針對單項目而展開的，較少涉及項目群，同時現有研究成果鮮有利用智能算法求解項目群優化問題。為此，本文基于遺傳算法基本原理構建了工程項目群工期-費用優化模型，以工程項目群費用最小作為主要優化目標，利用遺傳算法對模型進行求解，并引入案例驗證該模型及所使用算法的可行性。

2 工程項目群工期-費用優化機理分析

工程項目群（以下簡稱“項目群”）由多個相互關聯的、擁有共同戰略目標的項目與活動組成，通過對組成項目群的項目和活動進行整體管理，能夠獲得比對各項目單獨管理更大的效益。工期、費用和資源作為項目群管理下易量化的指標，常被業主重點關注并列為管理導向目標之列。項目群工期、費用和資源之間雖各自獨立，但也協調統一，若只對其中某一項進行優化而忽略其他因素，很大可能會得到一個損害其他管理目標的結果，三者互為制約作為優化目標達成的規制條件，且優化內容存在交叉重疊，因此，進行工程項目群優化時，工期、費用和資源彼此間的約束不容忽視。一般來說，項目群的整體費用包括各合同項目在執行過程中衍生的直接費用和間接費用兩大項。在一定的工期范圍內，項目群的直接費用隨工期延長而降低，而間接費用不降反增，因此，兩部分費用疊加之后得到的總費用存在一個最小值，即為業主所需支付費用的最小值，此時也會對應一個在此情形下的最小工期，所以在項目群費用優化過程中，不僅關注了費用目標的達成，同時還能實現工期目標的優化。

基于以上分析，本文構建的工期-費用優化模型以費用低作為首要目標構建目標函數，工期短作為次要目標可通過約束法被轉化為模型中約束條件的一部分。其中，將項目群總體的費用劃分為直接費用、工期壓縮帶來的趕工費用、項目群時間變化帶來的獎懲以及間接費用；工期為關鍵線路上各項工作時間之和。使用約束法將次要目標轉變為約束條件之后，可以將多目標優化問題轉變為單目標優化問題，從而方便對模型進行求解。

3 優化模型構建

3.1 模型基本假設

對構建項目群的工期-費用優化模型涉及的一些參數或條件進行如下假設：

（1）項目群一共包含了N個合同項目，每個合同項目均包含n項工作。其中，關鍵路徑上有q項工作，q項關鍵工作的集合為KR。各項工作間遵循嚴格的邏輯關系，優化不改變項目之間的邏輯關系。

（2）項目群內各項工作的工期不存在延誤。在工程實踐中，項目群內各個工作的工期可能提前也可能延誤，為簡化研究，假設項目群中各項工作不存在延誤；無論是關鍵線路還是非關鍵線路上的工作，均在其工期可變動的范圍內進行壓縮。

（3）優化前項目群只有一條關鍵線路，優化后原關鍵線路仍為關鍵線路。

（4）項目群的工程質量在進行工期和費用優化的過程中不受影響。

3.2 模型構建

3.2.1 費用優化目標

項目群的費用優化需要調整工期來實現，費用一般由直接費和間接費兩部分組成，其中直接費用會隨工期的延長而減少，間接費則會隨工期的延長而增加；考慮到工作趕工，因此引入趕工費率以及獎勵與懲罰系數以充分表達項目群總費用（C）。項目群總費用包括正常情況下的直接費用、時間壓縮時增加的直接費、項目群工期優化帶來的獎勵以及間接費用。因此構建以下目標函數：

3.2.2 工期約束條件

項目群的工期即為關鍵路徑的長度，因此工期優化目標函數如下：

鑒于進行首要目標費用優化的同時工期也能得到優化，因此，通過約束法將各項工作的時間參數進行表示，作為費用優化過程中需要考慮的時間層面的約束條件。關鍵路徑上的工作時間長短決定了最終工期的長短。對于關鍵路徑上的工作，其實際用時應當較優化前更短，但需要控制在極限壓縮范圍內，即：

保持關鍵線路不變動，因此各條非關鍵路徑上的工作持續時間之和不能超過關鍵路徑的工期長度。

3.2.3 優化模型

基于以上目標函數與約束條件的構建與分析，得到如下工期-費用優化模型：

4 工期-費用優化的遺傳算法

4.1 遺傳算法選擇依據

遺傳算法（genetic algorithm，GA）是受生物學進化學說和遺傳學理論的啟發而發展起來的，是一類模擬自然生物進化過程與機制求解問題的自組織與自適應的人工智能技術，是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制的隨機的搜索算法。遺傳算法在求解優化類問題，尤其是一些不能直接求解的復雜優化問題時能較好地解決問題。本文構建的模型以工作持續時間為變量，多個工作持續的時間與遺傳算法中染色體上各個基因位編碼可以相對應，優化過程中種群染色體的適應度函數可以利用模型的目標函數表示，因此使用遺傳算法來求解項目群的工期-費用優化問題。

4.2 算法求解流程

（1）編碼。利用遺傳算法解決項目群工期-費用優化首先需要對問題進行編碼，即將實際問題轉化為一個利用遺傳算法參數來表示的問題［17］?，F從以下兩方面說明編碼時尤為重要的細節：一是被編碼變量。將工作的持續時間作為被編碼變量有利于項目群工期與費用的相關計算，每個基因位可與工作的編號相對應，即一個基因值對應一個工作的持續時間，工作的優先次序能體現出邏輯關系，因此本文選擇工作持續時間作為編碼變量且基因位與工作的編號相對應。二是基因值形式。由于二進制編碼過長，不利于編輯和整理同時給解碼工作造成困難，因此本文采用實數編碼改進的遺傳算法，以實數表示基因，直接使用問題的變量進行編碼且不用轉換進制，可節省整個算法迭代運行的時間。此外，由于實數可表示的范圍大且精度高，對于結果更為有益。

（2）產生初始種群。根據編碼機制，初始化原始種群，隨機生成一定數目的個體，然后從中挑選出較好的個體加入到初始種群中。此過程是個不斷迭代的過程，直到初始種群規模達到預期值。設定初始種群規模為100。

（3）適應度計算。遺傳算法中，通過適應度函數值來衡量某一個體的適應度高低，適應度越高其繁殖機會越大；反之則越小。對于本文研究的項目群工期-費用優化問題，目標函數是求最小值，與遺傳算法中適應度的原理剛好相反，為了保證遺傳算法中對各個個體適應度的比較排序，從而確定選擇概率，必須將目標函數轉化為求最大值形式且函數值為非負的適應度函數，因此引入一足夠大的常數c，使用該常數減去原目標函數，通過這樣的構造方法即可轉化為一個新的目標函數的最大化問題。

（4）選擇。選擇是指以一定概率從種群中選取若干個體的操作，是基于每個個體的適應度，按一定規則從某一代群體中選擇出一些優良的個體遺傳到下一代群體中的過程。本文采用輪盤賭選擇算子，為有效應對“早熟收斂”問題，需要采用精英策略，即將當前群體中適應度最高的個體結構完整地復制到下一代群體中，優秀個體得到保留的同時也不會破壞種群的多樣性。

（5）交叉。交叉也就是基因的重組，通過交換染色體上的基因完成。常用的交叉方法有單點交叉、多點交叉、均勻交叉等，本文采用均勻交叉，即對父代個體的部分染色體上的基因進行替換重組。設定交叉率pc為0.7。

（6）變異。變異指染色體上發生基因突變。變異算子是基因根據算子在取值范圍內隨機取值，然后替換該基因的原值個體。本文參考王云［18］研究中的變異算子（見表1），具體過程如下：在一條染色體中隨機選擇一個基因位置，如表1 中的基因值11，根據基因值大小范圍隨機選取一個值（不出現負值），即表1 中選擇數值0.2，用選擇的基因值加上這個值得到11.2，同時在染色體的對稱位置選擇基因并減去該值得到7.8，經調整后完成變異的全過程。設定變異率pm為0.01。

（7）終止條件。迭代次數的多少影響著運算以及收斂的速度，以最大迭代次數為終止條件，輸出最終結果。設定終止迭代次數為500 次。

表1 變異算子

5 案例分析

5.1 案例背景

某Z 大型工程項目群包含有3 個合同項目，各合同項目內均有8 項工作，為了有效地實現Z 項目群進度的有效控制，業主繪制了網絡計劃，各項工作的持續時間如圖1 所示，其中粗實線表示該工作位于關鍵路徑上，即關鍵路徑為A1—C1—F1—B2—F2—B3—F3—G3。由圖1 可知，優化前Z 項目群的總工期為60 個月。

圖1 Z 項目群網絡計劃分布

應業主的要求，現需要將項目群的工期進行壓縮，從而使項目群提前建成投產，且由業主支付各項工作的趕工費用；同時，業主要求項目群提前完工時最終的總費用能控制在較小值。為簡化計算，本文不考慮緊前工作提前完工、緊后工作提前開工產生的索賠費用，因此以Z 項目群最終提前完工時業主的獎勵方式代替工作間的索賠費用，暫不考慮具體獎勵費用的分配問題。各項工作的計劃工期、最大可壓縮月數、工程直接費用、趕工費率如表2所示，各項參數由項目經理、項目管理領域專家學者、專業技術人員根據Z 項目群特點共同綜合決定。獎勵系數β取值為60 萬元/月，間接費用系數γ取值為90 萬元/月。

表2 Z 項目群各工作相關參數

表2 （續）

5.2 項目群工期-費用優化模型求解

在Z 項目群的背景條件下，運用遺傳算法對其進行工期-費用優化，以得到全局最優的項目群總費用，同時得到優化后對應費用的工期。本文運用Python 3.7.4 版本，通過運用遺傳算法原理對Z 項目群工期-費用優化模型進行程序編寫，運行得到如圖2 所示結果。其中，橫坐標代表的是子代數量，縱坐標為項目群在相應的算法迭代次數下的總費用。經過500 次的算法迭代，項目群總費用的最優值趨于全局最優值，即Z 項目群最優化費用為48 800 萬元。在程序運行結束的界面，可以得到500 次迭代均為有效進化，且在第40 代時得到最優的一代。算法耗時0.927 秒，求解效率與精度較高。

圖2 基于遺傳算法的Z 項目群工期-費用優化結果

對于模型的決策變量，即項目群內各項工作的持續時間，在算法迭代完成輸出最優費用的同時，也輸出項目群內各項工作的持續時間，得到的結果如表3 所示。通過與各項工作原來持續時間的比對，在優化過程中，合同項目1 各項工作的持續時間保持不變，而合同項目2 和3 中部分關鍵及非關鍵工作的持續時間發生了變化。通過計算，得到Z 項目群最終總工期為55 個月，比原計劃工期縮短了5 個月，項目群工期縮短了8.33%。

表3 Z 項目群各項工作持續時間 單位：月

5.3 結果分析

（1）案例分析表明，Z項目群工期縮短了5個月，與此對應的項目群最終總費用為48 800 萬元。若采用傳統工期優化方法進行優化，則項目群總費用為54 394 萬元，要比采用本研究提出的方法得到的最優費用要高出11.46%；同時，對應的項目群工期可以壓縮14.5 個月，將原計劃項目群工期壓縮的幅度達到24.17%，這樣大的工期壓縮幅度對于原本就極為復雜的大型工程項目群管理工作帶來更大困難，同時，需要耗費更多的人力、物力、財力，其操作性也較差，不符合實際情況。因此，在綜合考慮工期、費用的情況下，采用本研究提出的方法求得的結果更符合大型復雜工程項目群的實際情況。

（2）根據變量最終取值情況，工期-費用優化的對象既包括關鍵工作，也包括部分非關鍵工作，據此得到費用最優條件下各項工作的工期。

5.4 模型優勢

本文所建立的工程項目群工期-費用優化模型具有如下優勢：

（1）是基于業主視角的項目群工期-費用優化模型。一方面，考慮了項目群中各項工作持續時間的變動給直接費與間接費帶來的影響；另一方面，假定項目群內不存在工作延誤的情況，考慮項目群提前竣工給承包商帶來的獎勵費用。在理想狀態下，業主希望實現工期短、費用低，但在實際情況下，業主一味追求縮短工期往往會以降低工程質量為代價，因此，項目群工期-費用優化模型將費用優化作為首要目標，通過項目群總費用與工作持續時間之間的優化，使得項目群最終工期優于計劃工期。

（2）模型構建在變量選擇時充分運用遺傳算法的原理，因此求解更加準確具體。項目群費用優化時全面考慮到了項目群中的所有工作，包括關鍵工作和非關鍵工作，由于可以人為設定輸出結果的精確度，因此在編碼操作過程中采用實數編碼的方式，可以使變量的結果更加精確，操作也更為簡便。

6 結論與展望

（1）鑒于大型工程項目群是一個復雜的系統，如果只對項目群中的單合同項目或項目群的局部進行優化，則項目群難以實現利益最大化，為此，需要從全局視角對項目群工期-費用進行優化。本文以合同項目中的每項工作工期作為變量，以總費用作為優化目標，構建了工程項目群工期-費用優化模型，運用實數編碼以及精英保留策略的遺傳算法，對項目群工期-費用優化模型進行求解，得到了項目群的最優總費用以及相對應條件下項目群中所有工作的工期。

（2）根據遺傳算法的基本原理，通過對案例進行編程計算，求解得到各項工作的持續時間，在實現項目群總費用最優的同時，案例項目群的工期也比原先計劃工期縮短了5 個月。案例求解表明，運用智能算法求解這一問題更加高效，得到的結果也更為精確。

本文構建的工程項目群工期-費用優化模型沒有考慮資金的時間價值，而對于大型工程項目群，其工期一般歷時較長，考慮資金的時間價值將更加符合工程實際；此外，項目群質量以及資源等方面也是項目群優化問題中需要考慮的重要指標，結合智能算法求解這系列問題還有待進一步研究。