立足基本圖形的初中幾何探究復習課設計

【源起】

筆者觀摩了一節以初中數學課本(浙教版)八上2.2 等腰三角形的性質的課內練習2 為引，在九年級上的一節探究性復習課。A教師立足課本，關注探究再拓展，但學生對問題的解答暴露以下教學設計的問題。

一、缺少學生需要的基本圖形意識和轉化思想的培養

在例題與練習都是以等腰三角形為條件的情況下，但最后的練習題出現了等腰梯形，九年級的學生怎么也想不到把等腰梯形轉化為等腰三角形。

二、探究結論多，沒有找出各縱論之間的共性，探究價值沒有體現

【設計修改】

筆者以基本圖形為主線對本課的例題練習重新編排，設計問題串，在八年級基礎比較一般的平行班作為等腰三角形的一節復習探究課重新講了一次，獲得了很好的效果。

環節一(初探，生成結論，形成問題解決的基本方法)

例1.如圖1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，P為BC的中點，則點P到AB，AC的距離相等，請說明理由。

圖1

圖2

追問1：點P到兩腰的距離與等腰三角形腰上的高有什么數量關系？

追問2：如圖2 若將底邊上的中點變為底邊上任意一點，其他條件不變，結論還成立嗎？

猜想并證明結論1：等腰三角形底邊上的點到兩腰的距離之和等于腰上的高。

環節二(練習鞏固，提升基本圖形的化歸能力與識別)

練習1：如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點P在底邊BC上，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BG⊥DC于G。證明：PE+PF=BG

圖3

圖4

圖5

教師引導：點P的情況及問題沒有變，但圖形變了，那么怎么辦呢？

(引導學生把等腰梯形化為等腰三角形直接應用結論)

練習2：如圖4，已知正方形ABCD的邊長2，E是對角線BD上一點，BE=BC，P是EC上任意一點，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值。

練習3：如圖5，在Rt△ABC中，∠A=900，D為AB上一點，AD：BD=1：3，BD=DC，P為BC上一點，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，若BC=4，求PE+PF的長。

環節三(例題再探)

教師：前面例1 中的點P位置還可以在哪里？(學生進行大膽討論，分類畫圖)

例2.如圖6，在例1 的條件下，若將等腰三角形的底邊上任意一點變為底邊延長線上任意一點，其他條件不變，結論還成立嗎？

圖6

圖7

圖8

圖9

猜想并證明結論2：等腰三角形底邊延長線上任一點與兩腰的距離之差等于一腰上的高。

例3.已知等邊?ABC和點P，設點P到?ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，?ABC的高為h，若點P在一邊BC上(圖7，此時h3=0，可得h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當P點在?ABC內(圖8）和點P在?ABC外(圖9)這兩種情況時，h1，h2，h3與h之間有怎樣的關系？請寫出你的猜想并簡要說明理由。

猜想并證明結論3：P點在等邊?ABC內，有h1+h2+h3=h；點P在等邊?ABC外，有h1+h2-h3=h

【設計總結】

筆者認為幾何探究復習課的設計要考慮以下幾個方面。

一、明確基本圖形——教師的任務是引導學生觀察圖形，培養圖形意識

由本節引例來源確定基本圖形就是“等腰三角形”。

二、確保整節課探究過程的完整性，思維的延續性

本課探究的基本過程設計可以歸納為是：

環節一：原基本圖形中，某一要素①在特殊情況下的結論證明；②在一般情況下的結論猜想；③在一般情況下的結論證明；④一般性結論的應用。

環節二：原基本圖形特殊化后，同一要素在一般情況下的結論猜想與證明。

三、以基本圖形為主線，保證圖形變化的有序性

本課以等腰三角形底邊上的點的位置變化為主線，初探與再探時從點P在等腰三角形底邊中點，到點P在底邊上再到點P在底邊的延長線上，后繼點P在等邊三角形內，點P在等邊三角形外。從特殊到一般，再從一般到推廣的發展過程。

四、從探究問題的結論上要體現共性

本課先是基本圖形為等腰三角形時的和關系，然后是差關系，再到基本圖形特殊化為等邊三角形后的和與差的關系。不但讓學生能夠真正了解問題探究的一般過程，同時讓原來的五個不同結論在整體上統一成都是研究“一點到邊的距離與一邊上的高線之間的數量關系”。