以新題型強化區分功能 以新情境加強素養考查
——2020年全國高考數學試題分析與教學建議

北京 胡鳳娟

2014年9月，國務院發布了《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》，在考試科目設置中指出“考生總成績由統一高考的語文、數學、外語3個科目成績和高中學業水平考試3個科目成績組成.保持統一高考的語文、數學、外語科目不變、分值不變，不分文理科，外語科目提供兩次考試機會”.這里“不分文理科”影響最大的科目是數學，因為在現行考試的所有科目中，只有數學是文理分科的，那么施行文理不分科，既要讓文科學生能夠獲得一定的分數，也要能夠選拔出數學優秀的學生，這勢必要求數學學科在題型、試卷結構等方面做出一定的改革.

2018年1月，《普通高中數學課程標準(2017年版)》出版，課程內容不再按文理分科設置，內容要求上整體比原文科有所增加，比原理科有所降低；同時，課程標準凝練了數學核心素養，研制了“學業質量”，對每個知識提出了“學業要求”.這些變化使高考可以依據課程標準進行命題.

2019年6月，國務院發布《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》，明確指出“深化考試命題改革.學業水平選擇性考試與高等學校招生全國統一考試命題要以普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據，實施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱.優化考試內容，突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.創新試題形式，加強情境設計，注重聯系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題”.這里最明確的要求是不再制定考試大綱，高考命題要以普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據.

2020年1月，教育部考試中心發布了《中國高考評價體系》，中國高考評價包括高考的核心功能、考查內容和考查要求，明確了“一核”“四層”“四翼”的概念及其在素質教育發展中的內涵.“一核”為考查目的，即“立德樹人、服務選才、引導教學”，是對素質教育中高考核心功能的概括，回答“為什么考”的問題；“四層”為考查內容，即“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”，是素質教育目標在高考中的提煉，回答“考什么”的問題；“四翼”為考查要求，即“基礎性、綜合性、應用性、創新性”，是素質教育的評價維度在高考中的體現，回答“怎么考”的問題.這是中國高考歷史上的一件大事，從此高考考試大綱告別了歷史舞臺.

同時，2020年高考是《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》頒布之后的第一年，是《中國高考評價體系》頒布后的第一年，是北京、天津、山東和海南作為第二批高考改革試點省市采用文理不分科高考模式的第一年.因此，2020年是高考進入一個新階段的元年.分析2020年的高考試題有助于老師們更好地把握高考，更好地進行教學.

總體來講，2020年高考數學全國試題立足實際，穩中求新，強調數學學科核心素養的考查，體現時代特征和育人導向，力圖落實高考評價體系的要求，為積極推進高考綜合改革和高考考試內容改革以及發揮高考對高中數學教學改革的引領作用打下堅實的基礎.在此基礎上，2020年高考數學有所變化和創新.

一、題型變化，增強考試的區分功能

不分文理科的高考改革要求對數學學科提出了艱巨的任務和嚴峻的挑戰.相當于用一份卷子區分出數學水平范圍更大的學生，要求數學試卷在題型上有所改革，增強考試的區分功能.

2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)和2020年新高考Ⅱ卷(供海南省使用)將原來的12道單選題改為8道單選題和4道多選題，選擇題的總分不變、每道題的分值不變.因為題型的變化，將其中的4道題改為多選題，并按“全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分”的要求給分，使得學生的可能的得分數值增加了一倍，即原來學生的得分只能有以下13種可能：0、5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60，現在學生可能得到的分值數量大大增加，使得學生的得分結果呈現更多的可能性，可以增強考試的區分功能.

實際上，類似多選題，選擇多個正確選項的填空題在以往是常見的，因此大家不必焦慮.我們看2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的第一個多選題：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·9)已知曲線C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

D.若m=0，n>0，則C是兩條直線

答案：ACD.

該題考查學生對圓錐曲線基本概念和性質的記憶，如橢圓、圓、雙曲線方程的特點，橢圓的焦點位置、圓的半徑、雙曲線的漸近線方程.

二、情境創設，突出數學的應用價值

《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》明確指出要“加強情境創設”.《中國高考評價體系》第四部分是“情境：高考評價體系的載體”.可見情境在高考中的重要地位.高考評價體系中所謂的“情境”即“問題情境”，指的是真實的問題背景，是以問題或任務為中心構成的活動場景.“情境活動”是指人們在情境中所進行的解決問題或完成任務的活動.在目前的高考考查方式中，問題情境和情境活動都是通過文字與符號的形式進行的.

在2020年的高考數學試題中，可以看到將對數學知識、能力、素養的考查融入新的情境中，體現了數學在社會生活中的廣泛應用.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為

( )

A.20° B.40°

C.50° D.90°

答案：C.

該題借助日晷考查了學生的直觀想象素養和數學閱讀能力，涉及的數學知識主要是線線、線面平行和垂直的性質.該題的難點是讀懂題意并用圖形表示出球、平面、直線之間的位置關系.讓學生感受中國古代數學文化的同時，感受數學在計時方面的應用.

(2020·全國卷Ⅱ文·3)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i

( )

A.5 B.8

C.10 D.15

答案：C.

該題考查學生的數學抽象素養，即理解用數學語言表達的規則.同時，將對數學抽象素養的考查融入音樂中，體會數學與音樂的關系.

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I(t)=ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

答案：B.

該題借助新冠肺炎疫情考查學生的數學建模素養和數學閱讀能力，涉及的知識有一元一次方程、指數函數性質和指數方程求解.該題的難點是理解“在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間”蘊含的數量關系.

2020年高考數學理科試卷中有創新情境的題目還有很多，如全國卷Ⅱ中的第4題考查學生使用等差數列求圜丘的石板數，全國卷Ⅲ的第4題使用Logistic模型預測新冠疫情，全國卷Ⅰ的第5題種子發芽率與溫度之間的關系、第19題羽毛球比賽規則的問題等等.

創設新情境的試題近年來越來越多，越來越體現出對學生數學應用能力和數學閱讀能力的要求.

教學中，建議教師注意培養學生多思考、多觀察的習慣.首先，在生活中，觀察校園、教室、家到學校路上的建筑等等其中蘊含的數學問題，比如：教師桌椅的高度是否合適、食堂就餐窗口的設計與建議等等，從身邊的小問題出發，促進學生“用數學的眼光觀察世界”；其次，在閱讀時，這里的閱讀可以是新聞、雜志、小說等等，根據其中談到的情境進行數學思考，比如：疫情期間武漢原市長在新聞發布會中報告物資儲備情況時反復修改數據，數感差導致即使有明顯錯誤也感覺不到；再如7月13日，有媒體報道“4.1萬名黨員、干部、職工和學生，捐獻熱血5.1萬噸”，稍有常識的人也能發現錯誤，要培養學生“用數學的思維思考世界”.

三、立足基礎，強調核心概念和方法

《中國高考評價體系》在“四翼”中要求高考要圍繞學科的主干內容，加強對基本概念和基本思想方法的考查.2020年高考數學試題較好地落實和體現了“四翼”要求，即基礎性、綜合性、應用性和創新性.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·5)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是

( )

A.62% B.56%

C.46% D.42%

答案：C.

該題考查學生對隨機事件的運算，是根據考查集合運算的情境進行改變的，即將“原來的多少位同學”換成了“百分之多少的學生”，通過學生參加不同項目的鍛煉情況的考查，既可以考查集合的運算也可以考查隨機事件的運算，這反映了隨機事件與集合的本質關系，抓住了數學中的核心概念.

給出下列四個結論：

①在[t1,t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；

④甲企業在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中，在[0,t1]的污水治理能力最強.

其中所有正確結論的序號是________.

答案：①②③.

導數是高中數學學習中的核心概念，但是在教學中往往不顧概念的來龍去脈，忽略知識之間的聯系.該題很好地體現了研究導數的意義和價值.

(2020·全國卷Ⅰ理·14)設a，b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=________.

該題考查學生的數學運算素養，涉及的知識是向量模的運算和向量加減運算法則.該題可以用不同的方法解決，如果用代數運算的方法則需要明確運算的方法，根據向量模的定義，需要求出向量a,b的數量積；如果仔細分析題目中的條件，分析要進行運算的對象，會發現：向量a,b是邊長為1的等邊三角形的兩條邊，問題進而解決，非常直觀，需要借助向量加法和減法的運算法則的幾何意義.該題很好地體現了高中數學中的基本方法.

四、創新試題，注重數學素養的考查

新世紀以來各國都在討論培養什么樣的人的問題，即回答關鍵能力、核心素養是什么的問題.我國借助高中課程標準修訂之際，各個學科凝練了自己的學科核心素養.數學學科核心素養有：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.在2020年新課標頒布之后的第一次高考中，高考數學試題較好地落實了對數學核心素養的考查.如：

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

該題考查學生利用正弦定理、余弦定理進行邏輯推理和數學運算的素養.該題屬于結構不良問題，需要學生自己判斷、選擇條件，設置一個完整的數學問題并解答.在高考數學中，這是新題型，體現了《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中要求的“增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題”.

實際上，不管選擇哪個條件，學生都應該有堅定的能做好的信心.但往往面臨選擇的時候，人們容易猶豫、徘徊、耽誤時間.需要學生考場上進行判斷、選擇，體現了對學生數學素養的要求.

(2020·全國卷Ⅲ理·17)設數列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(Ⅰ)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

(Ⅱ)求數列{2nan}的前n項和Sn.

答案：(1)a2=5,a3=7,an=2n+1;(Ⅱ)Sn=(2n-1)·2n+1+2.

該題要學生首先猜想數列的通項公式，再加以證明，這個問法非常好.學生首先要有數學直觀想象素養，能根據計算出來的前三項，猜想一個通項公式，進而證明是對的.據說，北京大學有一年《數學分析》考試成績不如往常好，最后發現導致學生成績不夠好的一個原因是，有幾道題老師換了問法，不是直接證明某個命題，而是給出命題，問是否成立，成立則需要證明，不成立則需要舉反例.這是我們目前教學中、學習中比較欠缺的東西，在教學中，通常忽略過程，直接告訴學生結果，然后證明或證偽.因此，該題的問法非常好，值得提倡.這有助于引導教學中關注知識產生、發展的過程，有助于學生真正地理解知識之間的聯系.

五、日常教學建議

課標在考試命題建議中寫到“考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧；融入數學文化.命題時，應有一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識，問題情境的設計應自然、合理.在命制應用問題、開放性問題和探究性問題時，要注意公平性和閱卷的可操作性.”可見，《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》《中國考試評價體系》《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》在考查內容、試題類型、情境設計幾個方面的要求都是一致的.在第一部分的分析中，我們已經看到這些要求在高考數學卷中已經得到了很好的落實.

在今后的高考數學中將更多的關注數學本質、通性通法，考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識.

如何更好地抓住數學本質和通性通法呢？在本輪課標實施中，教育部給出的抓手是“主題教學”，有時候會說“單元教學”“深度學習”，我們認為本質上都是一樣的.為什么要進行主題教學呢？目前試卷編制過程中一個很重要的方面是要對高中所學的知識達到一定的覆蓋率，這就導致了知識之間的關系的斷裂，使得教學中更加強調具體知識點，并且常常陷在堆積如山的知識點中，很難看清楚知識之間的層次——誰第一重要、誰不那么重要，導致教學時往往抓不住重點，抓不住關鍵點.因此，提出“主題教學”的目的是把相關的知識做一個整體的思考，搞清楚一個單元中、許多方法中到底誰是最重要的.因此，建議老師們在教學中進行整體思考和設計，開展“主題教學”.當然“主題教學”的開展需要一個團隊的協作，需要不斷地積累經驗.