培養(yǎng)學生直觀想象能力的若干策略
——以三角函數(shù)教學為例

葉誠理

（福建省福清第一中學，福建福清 350300）

引言

知識高度復合的三角函數(shù)教學中體現(xiàn)直觀想象能力，應以其函數(shù)的主要特征聯(lián)想到包含其他局部知識點的總括方式，把握住想象的兩大特點：一是整體模型化。在三角函數(shù)題型中涉及范圍領域、發(fā)展運動領域的知識點考查中，要對解題答案進行全面的預判，防止在內容、方法的選擇上陷入局部思維[1]。二是抽象具體化。在解題過程中，要對題干中三角函數(shù)的主要特點進行具象化遷移，使其所考查的知識點呈現(xiàn)出具體表象特征，能通過直接聯(lián)想到可視、可感的形象來厘清解題思路的正確與否。

一、直觀想象能力在三角函數(shù)中的重要性

直觀想象能力本質上是一種人的思維產(chǎn)物，在數(shù)學中體現(xiàn)為一種整體思維。

例題1：已知α是第二象限角，那么是第幾象限角？

這道題是三角函數(shù)的基礎知識運用，然而此題的錯誤率并不低。許多學生直觀地判斷為“第一象限角”。此題考查學生的整體性思維：由于，當k為偶數(shù)時，是第一象限角，而當k為奇數(shù)時，是第三象限角。

此題考查的是終邊相同角的基本公式α+2kπ（k∈Z）。不少學生直觀認為，貿(mào)然選擇了選項B，應用了錯誤的三角函數(shù)的周期kπ。

由上述舉例可見，三角函數(shù)中一些簡單易錯題型往往是利用局部思維漏洞設計的。而許多學生在發(fā)展自身數(shù)學思維的同時，將“第一印象”或“直觀判斷”當作直觀想象能力的一部分，從而陷入對直觀想象能力認識不全面的誤區(qū)。教師在解題中，要分析、判斷學生陷入了哪種思維方式的誤區(qū)，將直觀想象能力“從整體到具體”的原則傳授給學生，使學生能夠第一時間反應出題目考查的主要知識點，認清三角函數(shù)問題的本質。

二、培養(yǎng)學生直觀想象能力的有效策略

（一）訓練學生畫思維導圖

以人教版數(shù)學教材為例，每一本教材前面都有章節(jié)目錄，起到了揭示各章之間的內部邏輯關系的作用，可以轉化為一張組織關系思維導圖。教師可以引導學生通過對章節(jié)目錄進行作圖訓練，明確教學內容之間的關系與邏輯安排，搭建好知識之間的“腳手架”，培養(yǎng)學生構建數(shù)學知識網(wǎng)絡的能力。

數(shù)學教師應培養(yǎng)學生將知識網(wǎng)絡中的知識點轉化應用的習慣，如對知識點縱向進行思維鏈接，與學生一起回憶各種與直觀想象能力有關的數(shù)學思想，通過這種縱向比較，使學生感覺到數(shù)學思想就在身邊[2]。

（二）深挖數(shù)學知識背后的生活經(jīng)驗

掌握直觀想象能力的前提是擁有解決新問題的思維工具。在三角函數(shù)教學中，數(shù)學思想是最重要的思維工具。根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》可知，“數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”。

相較于其他數(shù)學知識，三角函數(shù)更抽象與概念化，而非直觀易懂、可操作的圖像。學生在直觀想象能力“整體性”培育方面，要突破思維不可逆的局限性，掌握公式與圖像之間的轉化，認識三角函數(shù)的形成過程。進一步來說，三角函數(shù)是由最基礎的函數(shù)知識產(chǎn)生并發(fā)展而來的，并不是孤立地通過精神活動而被創(chuàng)造出來的。三角函數(shù)的每個知識點實際上都深度鏈接人們的生活、常識、活動經(jīng)驗。

三、以“三角函數(shù)”教學為例來看學生直觀想象能力的培養(yǎng)

（一）教學設計

從“三角函數(shù)”的教學目標來看，“培養(yǎng)學生直觀想象能力”應歸屬于“情感態(tài)度與價值觀”范疇。基于此，筆者在教學設計中將“培養(yǎng)學生觀察分析、類比歸納的探究問題的能力”納入“情感態(tài)度”目標。

由于我國文字不是拼音文字而是會意文字，學生在接受以拼音文字為主的符號語言時，難以與圖像語言建立思維的聯(lián)系，不容易抓住三角函數(shù)教學內容的學習技巧和規(guī)律。例如，在教學“函數(shù)的圖像”一課時，一些學生反映教學內容過于復雜，難以抓住知識點之間的內在邏輯關系。基于此，筆者設計了一種由簡到繁、由舊知識到新知識的教學思路，先引導學生復習正弦函數(shù)的舊知識sinyx=及其圖像特點，通過引入Aφω、，使學生在自己熟悉的圖像上發(fā)現(xiàn)知識點之間的內在聯(lián)系，再講解y=sin(2x+1)與y=sin2x之間的圖像變換規(guī)律，使學生發(fā)現(xiàn)解決新問題可用的舊知識，面對變量的增加，引導學生通過控制變量的數(shù)量使復雜問題轉變?yōu)樽约荷瞄L的一般問題，通過教師直觀地“做加法”和學生直觀地“做減法”，逐步使學生熟悉復合函數(shù)，最后讓學生自主探索，爭取自己解決問題，以提高學生的直觀想象能力，發(fā)揮學生的主體作用。

（二）授課中培養(yǎng)學生直觀想象能力

以常見的學生使用直觀想象能力產(chǎn)生錯誤的情況試舉一例：把函數(shù)的圖像向右平移個單位，在不改變縱坐標的情況下，在原來的基礎上縮短所得圖像各個點橫坐標，進而得到相應的解析式。在這個過程中，許多學生對平移的變換對象產(chǎn)生了錯誤的認識，在思維導向中產(chǎn)生了如下過程：把原函數(shù)的圖像向右平移個單位，得，再將橫坐標縮短為原來的，得。筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，學生的解題速度很快，但并沒有結合圖像對題目做出正確理解。這是一種“直線性思維”而非“直觀想象能力”。由于在解題過程中并沒有第一時間在頭腦中構建空間模型，學生對該題目考查的空間向量沒有產(chǎn)生理解性認識。

還有部分學生在解題過程中的思維路線如下：向右平移原函數(shù)圖像個單位，得橫坐標縮短為原來的，得。這個現(xiàn)象顯示出學生的思維脫離了整體性，把當成了變換對象，而沒有考慮整體變化。

實際上，學生對三角函數(shù)平移關系的規(guī)律還沒有掌握，即“左加右減、上加下減”，沒有經(jīng)過自身的實踐、經(jīng)驗觀察，只停留在表面認識上，導致直觀想象能力的培養(yǎng)缺少了物質基礎。左右平移只針對變量x，上加下減只針對變量y，在三角函數(shù)圖像平移方面，直觀想象能力的基礎表現(xiàn)是抓住變換對象，而不是將其他因素一并代入，使解題過程總體上偏離知識考查的目的。

（三）在習題課后回顧中總結直觀想象能力的體現(xiàn)

在三角函數(shù)習題課后回顧中，筆者對學生做了簡單的問卷調查：“通過本節(jié)課習題的學習，你最大的體驗是什么？是否真正掌握了直觀想象能力的運用方法？”習題設計意圖是培養(yǎng)學生對直觀想象能力的正確運用。而根據(jù)學生反饋，其主要發(fā)生的錯誤現(xiàn)象是找不準習題的研究目標。例如，“復合函數(shù)的單調性”習題課中有這樣一題：的單調遞增區(qū)間是？部分學生的思維立刻被正弦函數(shù)的單調區(qū)間主導。解題過程如下：令，即；因為y=sint在區(qū)間上是遞增關系，所以，最終得出，但如果就此解答就陷入了一個誤區(qū)：正弦函數(shù)的單調區(qū)間與復合函數(shù)的單調性兩個知識點被該部分學生混為一談了。該題干中x前的系數(shù)是負數(shù)，因此題干中函數(shù)實質就是與一次函數(shù)形成的復合函數(shù)。這道題的考點是復合函數(shù)的單調性。學生要利用復合函數(shù)“同增異減”的性質進行解答。在此，教師可以利用對比演示法，讓學生認識到自己使用直觀想象能力的錯誤之處：先入為主，意識到第一眼印象不是直觀想象能力的表現(xiàn)形式。此外，教師還可以根據(jù)直觀比較后梳理正弦函數(shù)和復合函數(shù)之間的內容聯(lián)系，并引導學生復習回顧自己知識使用的錯誤之處。

結語

直觀想象能力的培養(yǎng)不是一步到位的，它是從三角函數(shù)基本圖像所體現(xiàn)的數(shù)學思想出發(fā)的。判斷一種三角函數(shù)題目的直觀想象能力體現(xiàn)應是第一眼發(fā)現(xiàn)研究對象的本質，不能采用直接判斷、遂下定論的解題思路。出題者與考生兩者之間類似于一種智力游戲關系。學生運用直觀想象能力應敏銳地察覺出題者考查知識點的用意，而不能以表面形式進行判斷，一頭鉆進題海套路中。總之，直觀想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，需要教師在日常的教學中有意識地進行滲透，不是過分訓練學生的解題速度，而是善于運用教學智慧引導學生通過直觀想象發(fā)現(xiàn)題目中所考查的知識內容并領悟所用到的數(shù)學思想方法，從而全方位提升學生的核心素養(yǎng)[3]。