培養學生“懂而會” 提升學生數學學力

顏福進

（張家港市沙洲中學，江蘇蘇州 215600）

引 言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，需要學生通過高中階段的數學學習，能獲得適應現代生活和未來發展所必需的數學素養，滿足個人發展與社會進步的需要。因此，在數學教育中，提升學生的數學學力顯得更加重要[1]。懂、會、熟、巧是學生數學學習中螺旋上升的四個層次，其中，“懂”與“會”是學生學習的基本要求。在當下的數學學習中，既存在“懂而不會”問題，又存在“會而不懂”問題。一味糾結學生的“懂而不會”與“會而不懂”都是不成功的教育，筆者希望學生對高中數學知識做到懂而會、會而熟[2]。

一、消除“懂而不會”現象的策略思考

常有學生反映“課上聽得懂，課后作業不會做”，俗稱“懂而不會”問題。這種問題的背后主要有兩個原因：一是學生的“懂”是表面上的懂，懂的可能只是知識性記憶，或者是“對這個問題就可以這樣解”，而不是思考“為什么要這樣解”；二是從“懂”到“會”有一個過程，需要學生的“加工”，即思考、分析、理解、運用，才能達到“會”；三是有的學生對教師有很強的依賴性，遇到不會的問題不會主動思考、解答，而是等待教師去講解。所以有的學生盡管上課時聽得“頭頭是道”，課后做練習時卻找不著解題方向，原以為聽懂了就記住了，其實并沒有內化為自己的知識能力[3]。

學生“懂而不會”的問題，如何消除呢？教師在課堂上可以通過及時暴露學生的“問題”和加強“變式教學”兩種措施來實現。

（一）及時暴露學生問題，讓學生“懂”得深一點

教師要善于預設課堂上的問題，知曉學生的難點和易錯點。課堂上，要引導學生提出問題，包括個人理解、看法、學習體會等，將問題當堂解決，而不要留到課后。

案例1：在教學“基本不等式”的內容時，教師可以運用這一例題。已知a，b∈R+，且a+2b=1，求的最小值。

生1：由a，b∈R+，由可得又因a+2b=1，所以故的最小值為

生2：由a，b∈R+和a+2b=1，得故的最小值為

教師請兩位學生分別交流自己的解題思路，看似很有道理，但他們利用了兩個基本不等式的運算（加法和乘法），最后能不能取到等號呢?這個知識是這部分內容的難點，也是易錯點。教師應當在課堂上通過和學生一起分析，師生合作，尋找產生問題的原因。

本題等號成立的條件需要前兩個等號同時成立，但在本題中是不可能的，故這兩種解法都是錯誤的。解答本題時盡量只選用一個不等式，將a+2b=1 代入，得當且僅當時取等號，故的最小值是這樣才是正確的解題過程。

課堂上對學生暴露出的問題，教師不要急于否定，要讓學生講出來，師生一起尋找問題、分析問題。問題是課堂上最好的教學資源，在師生共同解決問題的過程中，學生對知識就會“懂”得更深一點。

（二）加強“變式教學”，培養學生的思考、辨析能力

變式教學是運用不同的知識和方法，對有關數學概念、定理、習題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，從而有意識地引導學生從變的現象中發現不變的本質，從不變中探求規律。課堂上，教師可以通過變式教學，提高學生的思考、辨析能力，促進學生對數學知識的深入理解[4]。

案例2：在教學“函數的奇偶性”時，教師給出例題：判斷下列函數的奇偶性，并說明理由。

問題①的變式教學讓學生透徹理解該定義，掌握定義的內涵和外延，特別是搞清楚函數存在奇偶性，必須滿足“函數的定義域關于原點對稱”等有關問題。

這里學生忽略了先求函數的定義域，根據函數的定義域將函數化簡后再判斷函數的奇偶性。事實上，對函數由x-1 ≠0 得x≠1，所以此函數的定義域不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數。

教師在課堂上安排變式教學，引發學生頭腦中固有思維模式的沖突，使學生加深對“函數的定義域關于原點對稱”的必要性的理解。教師設置反例、錯例辨析的變式訓練，通過對問題正面、側面、反面的分析，使學生發現問題的癥結所在，達到去偽存真、由此及彼的目的。這樣學生對知識的理解就會更進一步，“會”得就更多一點。

二、消除“會而不懂”現象的思考

學生會機械做題，但不太理解數學，數學學習演變成一種形式化、無意義、機械式的解題訓練[5]。丘成桐教授曾與高考數學尖子生交流，學生的認識令他頗為失望。大多數學生對數學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是淪為做習題的機器。所以，消除“會而不懂”現象勢在必行。一線教師在數學課堂上要多問學生為什么，開展深度教學，讓學生既“會”解題，又“懂”數學。

案例3：“組合”的教學中，規定：0! =1 。

生：為什么0! =1 ？

教師應和學生一起探究，從組合的含義看，0!本身是無意義的，這確實不好理解。而且，我們知道當n=m時，由組合數的含義，可知= 1。但根據組合數公式，又得到而產生了規定0!的必要性。那么，規定等于多少呢?由此只能規定等于1，而不能等于其他數，保證了組合數公式的合理性。

案例4：“指數函數”的教學中，把函數y=ax（a＞0，a≠1）叫作指數函數。

生問：為什么a＞0，a≠1？

對于a≠1，一般都理解為：若a=1，y=a為常數函數，研究價值不大。對于為什么要a＞0的解釋，有些人認為是使x∈R，這顯然是一種沒有思考而做出的錯誤判斷。其實，當a是負數時，如a=-2，(-2)x具有不確定性，有時有意義，如有時無意義，如當等；有時是正數，比如(-2)2=4；有時又是負數，如(-2)3= -8。實際上，如果a＜0，y=ax就不是一個連續函數。對于一個不連續且充滿無窮多個間斷點的函數研究起來會很麻煩，甚至無法研究。所以，為了研究方便，對a的范圍規定為

由于學生在數學學習過程中對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的理解和必要的探究，僅僅停留在表象的概括上，對知識只是“知其然，而不知其所以然”，對此，教師應該讓學生“知其然，更知其所以然”。學生多數“會”而不“懂”的內容，基本集中在數學概念及數學本質問題上。這些“為什么”需要教師的重視和理解。教師可以查閱資料，從數學學科出發，給予學生明確、清晰的回答。學生也可以自主研究，開展文獻閱讀和數學寫作，采用多樣化的學習方式，持之以恒地思考，然后才能既“懂”又“會”，有所收獲[6]。

結 語

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，教師應幫助學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能。在課堂教學中，教師要積極引導學生理解數學知識，不要“以其昏昏，使人昭昭”。因此，培養學生既“懂”又“會”，不僅能利用數學知識解題，還能“懂”數學，“會”研究數學，成為研究型的學生。