基于魯棒反饋線性化的聯合收獲機割臺高度控制策略

莊肖波 李耀明

(江蘇大學現代農業裝備與技術教育部重點實驗室， 鎮江 212013)

0 引言

聯合收獲機的使用大幅提高了谷物收獲效率、減輕了勞動強度，并顯著降低了農業生產對勞動力的需求。隨著聯合收獲機的高速化、智能化發展，割臺的自化控制得到了廣泛研究[1-3]。

割臺高度控制最早出現在20世紀五六十年代[4]，早期涉及開關控制[5]，直到20世紀末，開關控制仍被認為是最先進的[6]。比例控制被引入到PID控制器[7-9]，LQR[10]和LQG[11-12]等二次型控制方法也得到大量研究。文獻[13]分析了聯合收獲機割臺高度控制中機械設備的基本限制因素，為了克服這些限制因素，文獻[14-15]提出了機械參數與控制器同時設計的方法。反饋線性化是一種控制設計策略，可以用來設計非線性系統控制器[16]。盡管反饋線性化具有良好的跟蹤性能，但其主要局限性在于魯棒性較差，因為反饋線性化過程需使用精確模型來消除動力學中的非線性。文獻[17-18]使用Lyapunov考慮參數的不確定性，增強反饋線性化的魯棒性，但這種方法需估計不確定性的界。另一種魯棒反饋線性化方法是滑模控制[19-20]。魯棒反饋線性化控制非常適合于在工作點不能線性化的非線性系統。文獻[21]提出了集成魯棒優化設計(Integrated robust optimal design，IROD)，該方法比H∞[22]方法具有更好的跟蹤性能，但目前研究主要集中在機械系統上，對液壓控制系統的研究較少。為從液壓執行器中獲得期望的輸出，需對液壓系統動力學特性進行理想化，需設計一個單獨的液壓控制器。為使系統更具魯棒性，可通過設計聯合收獲機割臺高度液壓控制系統的魯棒反饋線性化控制器加以實現。

本文基于割臺結構和動力學分析建立系統數學模型，選取正弦角度的近似約簡條件，將多變量的復雜非線性系統轉換為典型的非線性系統；分析傳統的反饋線性化控制，在集成魯棒優化設計(IROD)控制器基礎上提出魯棒反饋線性化(RFL)，通過構建靈敏度方程、選取增益來穩定系統；選取液壓控制機構，以控制液壓輸出的電流為控制系統的輸出來設計控制器。最后，通過仿真實驗和實物實驗驗證控制方法的有效性。

1 系統數學模型

建立割臺動力學模型如圖1所示。以球鉸O′和切割器的兩端CD建立割臺平面。割臺ABCD在O′處通過球鉸與機架鉸接，兩側液壓缸MP和NQ提供動力FM和FN。設割臺繞AB的轉角為θ，CD處安裝切割器，使用傳感器采集其兩端離地面高度z1和z2。

圖1 割臺動力學模型Fig.1 Dynamic model of header

對圖1所示模型進行動力學分析。考慮割臺繞AB的俯仰運動，得到割臺yz平面上的旋轉動力學方程為

(1)

其中

(2)

式中k——俯仰轉動的等效阻尼系數

J1——割臺俯仰的轉動慣量

m——割臺質量

l——點A與點D間長度

l1——點A與點P間長度

α——油缸軸與割臺平面的夾角

h——點A與點M間高度

從傳感器獲得點C、D離地面高度，并滿足

(3)

(4)

式中z1——點C離地面高度

z2——點D離地面高度

t——割臺寬度，即點C、D間的距離

為簡化運算，由于割臺實際工作時轉角的調整值Δθ較小，以sinΔθ≈Δθ的近似條件進行線性化操作。將式(2)代入式(1)，再對式(1)、(3)、(4)進行線性化，得

(5)

(6)

(7)

式中αs——割臺處于靜態平衡狀態時的α

θs——割臺處于靜態平衡狀態時的θ

P——系數，為θs的函數

Δz1——點C離地面高度變化量

Δz2——點D離地面高度變化量

ΔFM——液壓缸MP動力變化量

ΔFN——液壓缸NQ動力變化量

FMs——液壓缸MP處于靜態平衡時的FM

FNs——液壓缸NQ處于靜態平衡時的FN

綜合式(5)～(7)，可建立割臺模型為

(8)

可得到狀態空間方程為

(9)

其中

(10)

根據式(9)、(10)可得到方程

(11)

式中x——狀態矢量u——矢量輸入

y——數量輸出

由此得到一個典型的非線性系統，可進一步轉換成輸入輸出的反饋線性化系統。

2 傳統反饋線性化控制

在很多系統中，尤其是液壓系統，為一個不可控的仿射系統，將式(11)表示為更一般的形式

(12)

(13)

其中

(14)

則得到標準輸入輸出，進一步線性化設計可用于擴展系統。并根據時間t離散化輸出y，可得

(15)

(16)

(17)

由式(17)可得，線性化反饋控制映射計算式為

(18)

v可以參考信號R來選擇，計算式為

(19)

通過選擇增益K1、K2、…、Kr來穩定系統。理論上，增益越高，跟蹤性能越好，但增益過高會導致高頻振蕩或抖動，特別是在導數項較高的情況下，會導致不穩定。

3 魯棒反饋線性化控制

反饋線性化控制器本質上缺乏魯棒性，因式(18)計算的控制輸入高度依賴于系統的識別準確度。如果系統方程中有不確定的參數，可能會影響反饋線性化控制器的穩定性。為了反饋線性化控制器選定的不確定參數具有更強的魯棒性，可構建系統的靈敏度動力學方程和調整控制輸入，以盡量減少不確定參數的影響。

考慮具有不確定參數的線性系統

(20)

其中，b∈R是一個未知參數，也可以推廣到b是多個未知參數向量的系統，本文將b假定為標量。式(20)的靈敏度動力學可計算為

(21)

式中xb——靈敏度狀態向量，xb∈Rn

yb——輸出靈敏度

下標b表示未知參數關于b的全導數，可以表達為

(22)

式(22)意味著控制輸入w與未知參數b無關。在反饋控制的情況下不成立，因為輸出用于控制輸入計算，所以w間接依賴于參數。因此，還必須考慮w相對于b的導數，并要求將鏈式規則應用于式(19)的第2項。隨系統方程增加的靈敏度動力學為

(23)

魯棒反饋控制輸入wb是為了使系統靈敏度最小化，從而使系統更具魯棒性。對于式(23)的系統，轉換輸入的靈敏度vb計算式為

(24)

將鏈式規則應用于式(24)中的第2項，靈敏度變成

(25)

其中

(26)

下標b遵循式(22)的約定。

因為所需靈敏度為0，所以選擇vb為

(27)

選擇增益Kb1、Kb2、…、Kb3來穩定靈敏度。與標稱系統一樣，理論上較高的增益會得到更好的跟蹤性能，但過高的增益會導致高頻振蕩或抖動，特別是高階導數。魯棒反饋線性化控制系統的框圖如圖2所示。

圖2 一般控制非仿射系統的魯棒反饋線性化控制結構Fig.2 Robust feedback linearization control structure for a general control non-affine system

4 基于魯棒反饋線性化的控制器設計

割臺高度控制由兩個單獨作用的液壓機構驅動，每個由兩個比例雙向提升閥控制。一個閥控制從高壓泵管路流入油缸的流量，而另一個閥控制流出油缸的流量。選擇HydraForce公司的SP16-20型閥和SP10-20型閥。從HydraForce官網獲得SP16-20型閥和SP10-20型閥性能流量曲線，并通過Matlab獲得性能流量為

q=a1i+a2iΔp+a3i2+a4i2Δp

(28)

其中，可以用n維數組表示控制電流i，m維數組表示壓差Δp，m×n維數組表示相應的流量q。a1～a4的擬合值如表1所示。

表1 提升閥多項式方程常數Tab.1 Poppet valve polynomial equation constants

單作用液壓執行機構的運動方程為

(29)

式中X——活塞位置V——活塞速度

V0——活塞初始速度

β、As——系數p——活塞壓力

(30)

液壓系統的輸出是由液壓缸提供的力，計算式為

F=pAs

(31)

從液壓運動方程出發，建立割臺高度液壓系統的狀態空間模型為

(32)

其中

(33)

(34)

將期望力和實際力之間的誤差最小化

(35)

根據式(35)和實驗，選擇增益為：K1=105和K2=103。

為了調整輸入電流對不確定性的影響，使控制器更具魯棒性，計算了對不確定參數的靈敏度。選取不確定參數為液壓流體體積模量。為了計算靈敏度動態，根據式(22)，將等式(33)中的系統與β區分開來。為了使靈敏度最小，對增敏系統進行反饋線性化。得到wb最簡單的方法是對式(34)直接關于β微分，然后求解wb可得

(36)

根據式(36)設計穩定靈敏度輸出。系統選擇的增益為：Kb1=4×106和Kb2=4×104。

5 實驗

在Matlab的Simulink中建立了聯合收獲機割臺提升系統的閉環控制系統。如圖3所示，本文提出的魯棒反饋線性化(RFL)方法與集成魯棒優化設計(IROD)方法相結合，設計聯合收獲機割臺高度自動控制控制器。其目標是聯合收獲機向前移動時，提高收割臺對地形的跟蹤性能，同時優化控制輸入，使其對不確定參數具有魯棒性。機械系統的控制器基于IROD方法。魯棒反饋線性化(RFL)系統框圖如圖4所示。

圖3 收獲機割臺高度控制的仿真系統框圖Fig.3 Block diagram of simulation system for header height control of harvester

圖4 RFL控制器仿真框圖Fig.4 RFL controller simulation block diagram

該系統包括文獻[16]中設計的集成魯棒優化設計(IROD)控制器、本文設計的魯棒反饋線性化(RFL)控制器以及使用SimScape環境的液壓和機械設備模型，將其建模為振幅和頻率變化的正弦輸入，由于正弦頻率是車輛行駛速度和地形剖面的函數，因此將分別指定地形周期、長度單位和車輛行駛速度。

為了測試設計的控制系統性能，將其與PID控制器進行了比較。對于PID系統，IROD/RFL控制器都被一個單獨的PID控制器所代替，如圖5所示。增益使用Matlab控制設計工具箱進行調整，工具箱自動線性化對象，并基于標準階躍輸入選擇增益，以實現最佳參考跟蹤。然后，在與模擬測試相同的條件下，通過模擬手動調整增益。最終確定為KP=1.3，KI=1.5，KD=0.5。在該應用中，通常只使用PI控制器實現穩健目的，但需在測試的基準測試條件下為PID控制器提供最佳的參考跟蹤。

圖5 割臺高度PID系統控制框圖Fig.5 PID control structure system of header height

在相同條件下對PID和IROD/RFL控制器進行了仿真。行駛速度為0～10 km/h、地形正弦振幅為0.5～1.0 m、地形周期為16～36 m，將仿真時間設為30 s。

圖6 IROD/RFL和PID控制器不同行駛速度和地形振幅下的割臺高度跟蹤最大誤差Fig.6 Maximum header height tracking error of IROD/RFL and PID controllers at various travel speeds and terrain amplitudes

由圖6可知，與PID控制器相比，使用IROD/RFL控制器的收割臺高度跟蹤明顯更好，表明IROD/RFL控制器的性能更好。在相同的地面條件下，IROD/RFL控制器在5.0 km/h時的性能優于PID在2.0 km/h時的性能。

在圖7所示的割臺高度控制實驗場地上，地形振幅為0.3 m。實驗采用某聯合收獲機，相關參數如表2所示。分別以2、4、8 km/h的速度在同一起伏路段上行進20 m，每隔0.1 m對割臺高度和地面高度數據進行采集。

圖7 割臺高度控制實驗場地Fig.7 Experimental site of header height control

實驗調整割臺初始高度為0.2 m，設置控制的目標高度為0.1 m。PID和IROD/RFL的控制器效果如圖8、9所示。

表2 某聯合收獲機割臺狀態參數Tab.2 Parameters of header at equilibrium

從圖8、9可得，隨著行駛速度的增大，PID和IROD/RFL的高度誤差也在增大，并且前者的誤差增加的幅度明顯大于后者。6組實驗數據高度誤差的均方根如表3所示。由表3可知，同一行駛速度下，IROD/RFL控制的高度誤差小于PID控制時的高度誤差；并且，隨便行駛速度的增大，IROD/RFL控制的高度誤差變化也明顯小于PID的誤差。

圖8 PID控制系統高度誤差曲線Fig.8 Height error curve based on IROD/RFL

圖9 IROD/RFL控制系統高度誤差曲線Fig.9 Height error curves based on IROD/RFL control

表3 PID控制器和IROD/RFL控制器高度誤差均方根Tab.3 RMS of height error of PID and IROD/RFL

6 結論

(1)傳統的反饋線性化技術不適用于不可控的仿射系統。通過重新定義狀態和狀態方程，可將不可控的原始系統轉換為擴展的可控仿射系統。

(2)控制系統輸入依賴于系統參數的準確度，使反饋線性化控制器魯棒性較差。增加系統的靈敏度動力學和調整控制輸入可使反饋線性化控制器對選定的不確定參數具有更強的魯棒性。

(3)割臺高度調節反饋由集成魯棒優化設計決定最優控制力，利用魯棒反饋線性化控制液壓流量輸出，能夠有效提高系統的魯棒性。

(4)隨著行駛速度、地形振幅的增加，傳統PID控制和IROD/RFL控制下的割臺高度誤差均隨之增大；在相同仿真條件下IROD/RFL控制下的誤差均小于傳統PID控制下的誤差。在不同行駛速度下，IROD/RFL控制的高度誤差均小于PID控制的誤差，并且誤差受行駛速度增加的影響較小。本文提出的IROD/RFL的高度控制方法比基于傳統PID高度控制具有明顯的優勢。