鏈路統計分析中導出參數概率計算方法研究

李贊，樊敏

北京跟蹤與通信技術研究所，北京 100094

隨著中國對月球和深空探測的不斷深入，測控距離顯著提高，信號衰減急劇增大，通信鏈路變得越發緊張，同時對鏈路性能的可靠性和數據量要求也越來越高。如何充分發揮現有測控設備能力，合理確定天地鏈路參數、準確預報和確定天地鏈路性能，對提高系統可靠性、最大限度獲取各類探測數據、有效節省系統資源和項目經費都具有重要意義。

在中國以往航天任務的測控鏈路設計中，為了確保上下行測控的絕對可靠，鏈路預算通常較為保守，即鏈路參數的取值均采用最惡劣的情況計算。在實際任務中，各參數并非同時在最惡劣的狀態下工作，同時各鏈路參數都具有統計特性，服從一定的概率分布。因此，為了適應更遠深空探測的任務需求，有必要充分考慮鏈路參數統計特性和使用場景，在確保滿足使用需求的情況下，對鏈路性能進行合理、有效評估。

20世紀70年代，Yuen建立了統計鏈路分析框架，用于美國噴氣推進實驗室深空任務的鏈路分析和設計[1-3]。通過各鏈路參數服從的概率密度函數、以及其設計值、有利容差(最優值與設計值的差)和不利容差(最差值與設計值的差),計算得到具有一定置信度的鏈路余量。

此后，美國噴氣推進實驗室及其深空網在各航天任務中持續對鏈路參數進行測量和分析，研究其統計特性，并將統計數據用于鏈路性能的預測和評估，逐步提高鏈路預測精度[3]。隨著測量值的不斷豐富和鏈路參數服從概率密度函數的逐步完善，CCSDS在其藍皮書中，明確給出了航天任務鏈路預算過程，同時給出了各鏈路參數服從的概率密度函數和鏈路性能計算方法[4-5]。

當鏈路參數不滿足Lyapunov條件時，導出參數就無法利用高斯型概率密度函數進行計算，從而無法完成鏈路性能的統計分析。另外，Babuscia等給出的導出參數的概率密度函數均為高斯型[6]，但CCSDS 401.0-B-29給出的導出參數的概率密度函數與Babuscia給出的不完全相同，如：CCSDS 401.0-B-29給出的有效全向輻射功率(effecitve isotropic radiated power，EIRP)、上行接收載波功率、上行接收數據余量等導出參數服從三角分布，但下行接收數據余量、測距余量等服從高斯分布[4]。

針對上述問題，本文首先研究了統計鏈路分析的理論方法，分析了CCSDS建議中各鏈路參數采用不同概率密度函數的主要原因，進而給出了鏈路參數不滿足Lyapunov條件時進行統計分析的基本方法，最后舉例說明并比較了兩種不同情況下導出參數的計算過程。

1 統計鏈路計算的理論分析

鏈路性能分析使用的基本公式[5]如下：

(1)

將式(1)以分貝形式表示，如下：

(2)

圖1 常用鏈路參數的概率密度函數及相關特征參數Fig.1 Probability density functions of common link parameters and related characteristic parameters

(3)

Lyapunov條件的物理意義是：獨立隨機變量序列xi(i=1,…,n)中的每個隨機變量均具有有限均值和方差，且不存在xi，其方差遠大于其他xj的方差。因此，若鏈路計算中與導出參數相關的各參數滿足Lyapunov條件，則導出參數近似服從高斯分布。

當參與計算導出參數的各鏈路參數的設計值、有利容差、不利容差已知，且滿足Lyapunov條件時，近似認為導出參數服從高斯分布，直接對相關鏈路參數的均值、方差求和得到導出參數的均值和方差。

當某一鏈路參數的方差遠大于其他參數的方差，即不滿足Lyapunov條件時，采用文中給出的通過計算尾概率的方法計算導出參數取值的概率，進而得到導出參數取值的概率。

2 統計鏈路特性分析

2.1 標準建議的3種概率密度函數特性分析

(4)

分析式(4)可知，在通常情況下(有利容差和不利容差相差不大時)，鏈路參數的概率密度函數為三角型時方差最大，為高斯型時方差最小。利用統計法分析鏈路性能時，若將概率密度函數取為三角型，統計分析結果比高斯型保守或者說可靠性高。CCSDS 401.0-B-29建議上行鏈路導出參數的概率密度函數多采用三角型，下行鏈路余量多采用高斯型，也正是從上行鏈路的可靠性要高于下行鏈路考慮得到的[4]。

2.2 滿足Lyapunov條件導出參數的概率密度函數

實際鏈路計算過程中，可以通過以下兩種方法計算導出參數的均值和方差：

1)分別將各鏈路參數的設計值、有利容差、不利容差相加得到導出參數的設計值、有利容差、不利容差，進而通過高斯概率密度函數，計算得到導出參數的均值和方差。

2)分別將各鏈路參數的均值和方差直接相加得到導出參數的均值和方差。

由上文可知，當各鏈路參數滿足Lyapunov條件時，導出參數近似服從高斯分布，導出參數的均值和方差近似等于各鏈路參數均值和方差的和。因此，需要采用上述方法2計算得到導出參數的均值和方差，當采用方法1時，將會產生較大偏差，后續將通過實例說明。

2.3 不滿足Lyapunov條件時導出參數概率密度分析

利用高斯函數近似作為導出參數的概率密度函數能夠大大簡化計算過程，但當某些鏈路參數的方差明顯較大，即不滿足Lyapunov條件時，就不能使用高斯函數進行近似計算，必須借助其他手段進行分析。

直接通過對各鏈路參數的概率密度函數求卷積來計算導出參數概率密度函數的過程極其復雜，工程應用中難以實現。本文介紹了一種使用鞍點逼近估計尾函數的方法，近似確定導出參數的概率，進而得到導出參數的方差[9]。以下重點針對該方法的理論計算和實際分析過程進行說明。

定義導出參數概率密度函數fy(y)的特征函數為：

(5)

根據卷積函數特性，導出參數的特征函數為各鏈路參數特征函數的乘積，但該方法的難點在于通過導出參數的特征函數反解導出參數的概率密度函數。為此，本文利用Helstrom提出的鞍點逼近估計尾函數的方法確定導出參數的概率[6]，該方法對概率密度函數極其復雜但非常適用于其特征函數已知時，如對距離均值1倍以上方差(1σ)位置的概率估計，尤其適用于鏈路性能預算中對2σ或3σ余量的估算。利用該方法，能夠根據概率值(1σ為68.3%,2σ為95.5%，3σ為99.7%)直接得到導出參數滿足1σ、2σ或3σ的參數值。

尾概率函數q+(α)[7]定義為：

(6)

(7)

對Ψ(s)進行泰勒級數展開，并取二階項，則尾概率函數q+(α)可近似表示為：

(8)

式中：Ψ″為Ψ(s)的二階導數。

通過求解上述方程，可以得到不同α值(即導出參數值)對應的尾概率。在實際計算過程中，通常根據各鏈路參數的特征函數計算導出參數的特征函數，根據α的定義域，采用數值方法解式(7)，得到不同α值對應的s，進而根據式(8)計算α定義域內的尾概率q+(α)，得到導出參數與其概率的關系曲線。

常用概率密度函數的特征函數[8]如表1所示。

表1 常用概率密度函數的特征函數

3 算例分析

通過兩個算例描述鏈路參數滿足和不滿足Lyapunov條件時，導出參數的概率分步分別利用高斯分布和鞍點逼近估計尾函數的方法進行計算的過程，并與真實導出參數的概率密度函數進行比較，驗證上文理論分析的正確性。

3.1 滿足Lyapunov條件

假設4個鏈路參數為獨立的隨機變量xi(i=1,2,3,4)，其中x1和x2服從均勻分布，x3服從三角分布，x4服從高斯分布，各鏈路參數的概率密度函數和相關特征參數如表2所示。

表2 算例1鏈路參數的概率密度函數及相關特征參數

導出參數的概率密度函數fz(z)是通過對表2中各參數概率密度函數求卷積得到，進而計算得到導出參數z均值和方差的真值，分別為：

通過表2可以看出，各鏈路參數不存在某一參數的方差遠大于其他參數，滿足Lyapunov條件，導出參數近似服從高斯分布，其均值和方差可通過對各鏈路參數的均值和方差求和得到，即：

高斯分布的概率密度函數為：

-∞

當導出參數的均值和方差利用其設計值、最大值、最小值及服從的概率密度函數計算得到時，可得：

其概率密度函數為：

-∞

圖2 算例1近似高斯和精確概率密度函數比較Fig.2 Comparison between Gaussian approximate probability density function and accurate probability density functions of example 1

3.2 不滿足Lyapunov條件

根據表3，假設導出參數符合高斯分布，且其均值和方差為各鏈路參數均值和方差的和，可得導出參數的均值和方差為：

其概率密度函數為：

-∞

當利用導出參數的設計值、最大值和最小值計算得到其方差時，可以得到以下結果：

相應的概率密度函數為：

-∞

用鞍點逼近計算尾概率密度函數的方法計算這種情況下的概率。

表3 算例2參數的概率密度函數及相關特征參數

圖3 算例2近似高斯和準確概率密度函數比較Fig.3 Comparison between Gaussian approximate probability density function and accurate probability density functions in example 2

由表1和表3可得，導出參數概率密度函數的特征函數為：

(e7s-6e9/2s+5e4s)

由此可以得到函數Ψ(s)為：

求解Ψ(s)的一階導數Ψ′(s)和二階導數Ψ″(s)。

根據各鏈路參數的定義域可得導出參數α的定義域為[6,14]，在此定義域內，利用式(7)和式(8)計算得到α取不同數值時對應的Ψ(s0)和Ψ″(s0)，由此可以求出相應的尾概率q+(α)，其中q+(α)=0.317、0.045、0.003分別對應α值為偏離1倍、2倍和3倍方差的導出參數值。

圖4給出了導出參數的尾概率密度函數q+(α)與準確概率函數q(α)的關系。表4分別給出了偏離1σ、2σ和3σ時對應的α值。由圖4可知，采用鞍點逼近計算尾函數的方法可以很好地估計導出參數的概率分布，尤其在偏離2σ和3σ時，基本與準確概率相同。

圖4算例2導出參數尾概率與準確概率對比曲線Fig.4 Comparison curves between tail probability and exact probability of derived parameters in example 2

表4 實例2導出參數的概率值

從以上例子可以得出：當鏈路參數不滿足Lyapunov條件時，不能用高斯概率密度函數近似對導出參數進行統計分析;而用尾概率的方法能夠對距離均值1倍以上方差(1σ)位置的概率進行較好的估計，1倍以下方差難以真實反映導出參數的概率統計特性；用尾概率函數能夠直接得到滿足1倍(1σ)、2倍(2σ)和3倍(3σ)標準方差的導出參數值，進而可直接用于鏈路估算。

在實際鏈路計算過程中，應首先確定鏈路參數是否滿足Lyapunov條件，若不滿足，則導出參數可利用計算尾概率密度函數的方法計算導出參數的均值和方差，但導出參數的設計值、最小值和最大值仍利用各鏈路參數的設計值、最小值和最大值求和得到。

4 結束語

通過本文的理論推導和分析，可以得到以下結論：

1)利用統計法分析鏈路性能時，若將概率密度函數取為三角型，統計分析結果比高斯型要保守或者說可靠性要高；

2)當與導出參數相關的鏈路參數滿足Lyapunov條件時，導出參數的概率密度函數采用高斯分布能夠達到很好的近似效果，且大大簡化了計算復雜度；

3)當利用高斯函數對導出參數的概率密度函數近似時，導出參數的均值和方差應通過對各鏈路參數的均值和方差求和得到；

4)當鏈路參數不滿足Lyapunov條件時，利用鞍點逼近估計尾概率密度函數的方法能夠較準確地確定導出參數的概率。