在CEV模型下帶違約風險的時間一致再保險投資博弈

李國柱,馬世霞

(河北工業大學理學院,天津 300401)

1 引言

近年來,很多文章運用隨機最優控制理論研究了多種關于保險公司的最優投資再保險問題.一方面,因為保險公司購買再保險可以有效的分散索賠風險,而且將盈余投資到金融市場是獲取利益的重要途徑.另一方面,隨機最優控制理論可以提供理論上可靠的、切實可行的解決方案.關于保險公司最優策略的研究,很多文章通常采用期望效用最大化作為目標函數.例如,Lin and Li[1]通過最大化終端財富的期望指數效用推導了最優再保險投資策略,其中保險公司盈余過程遵循跳躍擴散風險過程.Cao and Wan[2]通過最大化終端財富的預期指數和冪效用得到了最佳比例再保險和投資策略,等等.還有很多文章討論其他的最優準則,比如均值方差準則(見文獻[3-4]).

如今,盡管違約風險被認為是引發全球信貸危機的重要因素之一,但由于其利潤相對較高,因此違約債券仍然受到很多投資者的青睞,而且具有違約風險的最優投資組合選擇問題已成為一個重要的研究領域.在近些年的研究中,Zhao[5]將可違約風險引入了跳擴散風險模型中的Markowitz均值方差最優再保險投資問題中.Zhu[6]在可違約金融市場下通過最大化保險公司終端財富的期望效用推導出最優比例再保險和投資策略.Sun[7]在方差保費原則和違約風險下推出了魯棒最優再保險和投資策略,等等.

前面提到的文獻都只考慮單個保險公司的最優問題.然而,在競爭的經濟環境下,企業不可避免的要與對手競爭來突顯自己的優勢.因此一些文章致力于處理兩家公司的競爭問題.例如,Bensoussan[8]利用相對績效的概念構造了非零和隨機微分博弈得到了最優再保險投資策略.Zhu[9]在Heston模型下考慮了均值方差保險公司的時間一致再保險投資博弈問題,等等.

在本文中,我們推廣了Zhu[9]的模型,考慮了在可違約風險下兩個競爭保險公司之間的再保險投資博弈問題.事實上,保險公司樂于參與各種投資來從盈余中獲取豐厚利潤,因此將額外的可違約債券添加到投資組合中使模型更加通用.另外,這里我們采用更加具有可分析性的隨機波動率模型：CEV模型.應用隨機控制理論,建立擴展的哈密頓-雅可比-貝爾曼方程,分別推導出違約前和違約后的均衡策略和相應的值函數.

最后,第2節介紹了模型的構造.在第3節中,我們通過解擴展的HJB方程得到了違約前和違約后的均衡策略和相應的值函數.第4節提供數值研究,討論模型參數對均衡策略的影響.

2 模型建立

令(?,F,{Ft}0≤t≤T,P)是一個完備的過濾概率空間滿足通常的條件,即{Ft}0≤t≤T是右連續的,P是完備的,且Ft表示時間t之前可獲得的信息.不考慮再保險投資的情況下我們假設保險公司k,k∈{1,2}的剩余過程是擴散近似模型,

這里μk,σk>0分別是保費回報率以及余額過程的波動,{Bk(t)}是兩個標準布朗運動,為了進一步考慮這兩家保險公司業務的相關性,我們用ρ0表示{B1(t)}和{B2(t)}之間的正的相關系數,即E[B1(t)B2(t)]=ρ0t,0<ρ0<1.

兩個保險公司可以購買比例再保險來管理保險業務風險,并且用ak(t)表示保險公司k在t時刻的再保險策略且ak(t)∈R+.當ak(t)>1,保險公司k作為其他保險公司的再保險人并獲得新業務.當ak(t)∈[0,1],意味著保險公司k將承擔索賠的100ak(t)%,再保險公司將承擔剩余的100(1?ak(t))%且收取再保險保費率(1?ak(t))ηk,這里ηk≥μk是再保險公司的保費回報率.因此,在比例再保險下保險公司k∈{1,2}的余額過程變為

這里θk=μk?ηk是保費差.

另外,保險公司還可以投資于無風險資產,風險資產和可違約債券.無風險資產的價格過程S0(t)由以下常微分方程給出

這里r0>0是固定的無風險利率.根據CEV模型,風險資產的價格過程S(t)表示為

μ,σSβ(t),β分別是股票的預期收益率,瞬時波動率和彈性參數,β滿足一般條件β≥0且{W(t)}0≤t≤T也是標準布朗運動獨立于{B1(t)}和{B2(t)}.令τ是一個非負隨機變量,代表發行債券公司的違約時刻,T1>T代表可違約債券的到期日.定義違約過程為Z(t):=1{τ≤t},其中1表示示性函數如果有跳其值為1,否則為零.因此Z(t)=0和Z(t)=1分別代表違約前和違約后.按照Driessen[10],違約時刻τ可以被看成在概率測度P下帶有強度hP>0的泊松過程的第一個到達時間,hP衡量了違約的到達率.令G:={Gt}t∈[0,T]是一個擴大的過濾,這里Gt=Ft∨σ{Z(s):0≤s≤t},在這個過濾下τ是一個停時.假設違約發生時,投資者在違約前收回違約債券市值的一小部分,違約后債券的價值為零.因此我們用0≤ζ≤1表示違約發生時的損失率,1?ζ表示回收率.我們用δ=hQζ表示風險中性信貸利差,hQ=hP/?是違約泊松過程在風險中性測度Q下的到達強度.按照Bielecki and Jang[11],我們首先定義過程

是在測度P下的一個G-鞅,這里我們用1/?表示違約風險溢價.根據Duffie and Singleton[12],在風險中性測度Q下違約發生的概率比在真實概率測度P下發生的概率大,因此有1/?=hQ/hP≥1.根據Bielecki and Jang[11],我們得到違約債券在測度P下的價格動態為

我們用πk,1(t),πk,2(t)分別表示保險公司k投資到風險資產和違約債券上的金額,其余的投資到無風險資產中,那么πk(t)=(πk,1(t),πk,2(t),ak(t))是保險公司k,(k∈1,2)的一個再保險投資策略,在策略πk(t)下,保險公司k的財富過程可以表示為

定義2.1(可行策略)對于保險公司k而言,再保險投資策略πk(t):=(πk,1(t),πk,2(t),ak(t))是可行的,如果

(1)πk(t)關于G-可測的,且

(2)對于?(xk,s,z)∈R×R+×{0,1},隨機微分方程(6)有唯一的解用Πk表示保險公司k所有可行策略的集合.

在競爭的經濟環境下,每個保險公司為了比競爭對手更有優勢,按照Espinosa and Touzi[13],對于每個保險公司我們有下列目標函數

這里k,j∈{1,2},,Uk是嚴格增的并且嚴格凹的效用函數,是條件期望和方差,參數κk(0<κk<1)衡量了保險公司k的相對關注度,κk越大意味著保險公司k更關注相對財富,更具競爭力.當κk=0時,目標函數可以簡化為無競爭的單一保險公司的傳統優化問題.令是保險公司k的相對財富過程,

3 模型的解

本節我們將給出在違約前和違約后兩種情況下的納什均衡再保險投資策略和相應的值函數.

3.1 違約后的情況

3.2 違約前的情況

4 數值分析

在本節中,我們對均衡再保險和投資策略關于模型參數的影響進行了一些數值研究,表1給出了模型參數.

表1

圖1顯示了在κj取不同值時參數κk對均衡再保險策略的影響.這里我們考慮當前時間下的模型參數,即t=0.注意到是參數κk的遞增函數,因為κk反應保險公司k對競爭對手績效的敏感性,即更加關注相對財富的增加.另外,雖然購買再保險可以降低風險,但是保險公司需要支付再保險保費,這將不利于增加相對財富.因此保險公司傾向于增加索賠的自留額對于一個固定的κk,競爭對手的相對關注度κj越大也會導致保險公司k承擔更多的風險,即增加索賠的自留額

圖1 κk對的影響,k=1,2

圖2顯示了參數κk對違約前均衡投資策略的影響.我們發現是κk的一個遞增函數.即越關注相對財富的增加,投資到風險資產中的金額就越大,這樣會有更大的幾率在終端時刻比競爭對手積累更多的財富.因此競爭使得每個保險公司更加追求風險.另外對于違約后的情況同樣如此.

圖2 違約前κk對的影響,k=1,2

圖3 κk對的影響,k=1,2

從圖4中可以看到在違約風險溢價1/?取不同值時違約前的均衡債券投資策略和損失率ζ之間的關系.我們發現均衡債券投資策略與損失率之間存在負相關,因為更高的損失率導致更低的回報,即存在更高的潛在的損失.此外,對于固定的損失率ζ,違約風險溢價1/?越高,導致投資在違約債券上的金額更高.很顯然,更高的違約風險溢價導致更高的回報.

圖4 ζ對的影響,k=1,2