基于SHEKF-GPM融合的鋰電池SOC估算

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

隨著微電網(wǎng)技術(shù)和新能源汽車的發(fā)展，儲能裝置得到了廣泛應(yīng)用。鋰電池因具自放電率低、能量密度高、循環(huán)壽命長、價(jià)格適中、無記憶效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，成為儲能裝置的首選[1]。但鋰電池一旦發(fā)生故障便會帶來各種問題，如因鋰電池的過熱或短路會導(dǎo)致災(zāi)難性的爆炸事件、產(chǎn)生高額的維修費(fèi)用等[2]。鋰電池的工作原理是將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電能，其荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）估算對鋰電池的充放電優(yōu)化控制、可靠性提升等有重要價(jià)值，能反映電池當(dāng)前的剩余容量，是表征電池放電狀態(tài)的重要指標(biāo)[3-4]。因而優(yōu)化鋰電池維護(hù)過程、估算鋰電池SOC 為大勢所趨。鋰電池的工作特性呈現(xiàn)非線性，實(shí)際工況較復(fù)雜，受溫度、電流、自身老化等因素的影響，使得精確估算鋰電池SOC 成為該研究領(lǐng)域的難點(diǎn)之一[5]。

目前，鋰電池SOC 的估算方法包括：

1）電流積分法和開路電壓法[6]。前者需對電池電量進(jìn)行長時(shí)間記錄和監(jiān)控，電流測量誤差會在積分過程不斷積累，后者需較長靜置時(shí)間找出與之匹配的外界條件，會導(dǎo)致SOC 估算值與真實(shí)值間存在差距，難以在實(shí)際估算中應(yīng)用。

2）電化學(xué)阻抗譜法[7]。該法因含有大量的電化學(xué)參數(shù)，阻抗譜分析儀器昂貴，僅用于實(shí)驗(yàn)室研究電池內(nèi)部特征，不利于工程推廣。

3）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8]。因該法需要訓(xùn)練大量的樣本數(shù)據(jù)，故其預(yù)測精度及訓(xùn)練時(shí)間依賴所選的數(shù)據(jù)和訓(xùn)練方法。

4）擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filer，EKF）法[9]及其與其它方法結(jié)合。在估算電池的SOC 時(shí)，可以將SOC 看作電池系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)部狀態(tài)變量，通過遺忘因子遞推最小二乘法（forgetting factor recursive least squares algorithm，F(xiàn)FRLS）實(shí)現(xiàn)最小方差推算，能夠消除誤差累積現(xiàn)象，并且不需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，易于實(shí)現(xiàn)。

5）等效電路模型法[10-11]。該法通過具體的模型參數(shù)來描述鋰電池的非線性動(dòng)態(tài)特性，使得參數(shù)辨識過程簡單，降低了處理器的運(yùn)算難度，提高電池管理系統(tǒng)的工作效率。

基于EKF 與其他方法融合的優(yōu)點(diǎn)，本文提出一種基于平方根高階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（square-root high-degree extended Kalman filter，SHEKF）與灰色預(yù)測模型（grey prediction model，GPM）融合的鋰電池SOC 估算算法。該算法采用FFRLS 并結(jié)合二階RC（resistance capacitance，RC）等效電路模型實(shí)時(shí)在線辨識和修改鋰電池模型參數(shù)；結(jié)合SHEKF-GPM融合模型進(jìn)行鋰電池SOC 狀態(tài)方程的線性部分和非線性部分估算。最后，通過仿真得到SHEKF-GPM融合算法估算SOC 時(shí)的誤差低于3%，協(xié)方差誤差維持在0%左右，不會產(chǎn)生誤差累積，驗(yàn)證了所提方法在減少誤差累積，提高實(shí)用性、有效性和估算精度方面具有一定的優(yōu)勢。

2 模型和參數(shù)

2.1 鋰電池電路模型的建立

電池模型用于描述電池的影響因素與工作特性之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。目前鋰電池模型的種類主要有等效電路模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、電化學(xué)模型和特定因素模型等[12]。綜合考慮模型精確度、復(fù)雜程度及實(shí)驗(yàn)選用的材料，本研究用如圖1所示的二階RC 等效電路模型描述所提方法的鋰電池參數(shù)辨識和SOC 估算。

圖1 二階RC 等效電路模型Fig.1 Second order RC equivalent circuit model

圖1中：E(t)為鋰電池開路電壓；U(t)為電池端電壓；I(t)為端電流，箭頭表示電池處于放電狀態(tài)；R1、C1及R2、C2分別用于描述電池的濃差極化內(nèi)阻和濃差極化電容；R0為鋰電池歐姆內(nèi)阻。

鋰電池的工作過程較為復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)過程分為電極間的傳輸過程和電極上的擴(kuò)散過程。根據(jù)基爾霍夫定律，由圖1可建立電池的等效模型狀態(tài)空間方程，式（1）為其測量方程。

SOC 為一定倍率放電條件下電池剩余電量與相同條件下額定容量的比值，其計(jì)算式為

式中：Q為電池容量；η為充放電效率。

式（3）為電池的狀態(tài)方程，式（4）為等效電路模型狀態(tài)方程。

式中：T為電流采樣時(shí)間；soc(k)為k時(shí)刻荷電狀態(tài)；u(k)為k時(shí)刻電壓；k為離散時(shí)間，表示物理量對應(yīng)的時(shí)刻。

2.2 電池模型參數(shù)辨識

為準(zhǔn)確跟蹤鋰電池模型參數(shù)，需要使用離線或在線辨識方法[5]。電池工作環(huán)境復(fù)雜多變，離線辨識需要依靠前期采集的充放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，很難保證離線數(shù)據(jù)在當(dāng)前的工況下適用；在線辨識依靠當(dāng)前狀態(tài)計(jì)算出模型的實(shí)時(shí)參數(shù)，不用參照前期的工作量，更適用于實(shí)際工況。FFRLS 可以很好地適用于直線擬合系統(tǒng)參數(shù)辨識，系統(tǒng)更重視當(dāng)前的參數(shù)，加強(qiáng)新數(shù)據(jù)提供的信息量，逐漸減弱舊數(shù)據(jù)，防止數(shù)據(jù)達(dá)到飽和狀態(tài)。FFRLS 的基本思想，是新估算值θ^(k+1)在舊估算值θ^(k)基礎(chǔ)上，利用新觀測值對舊估算值θ^(k)進(jìn)行修正得到的，無需存儲全部數(shù)據(jù)，取其中一組觀測數(shù)據(jù)便可估算一次參數(shù)。且其能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)在線辨識，逐次引入觀測數(shù)據(jù)重復(fù)參數(shù)估算，當(dāng)參數(shù)估算結(jié)果達(dá)到滿意精確度時(shí)停止運(yùn)行[13]。為此，本研究采用FFRLS 實(shí)時(shí)在線辨識鋰電池二階模型參數(shù)。

具體的在線辨識過程如下：在圖1中，I(t)是等效電路的端電流，根據(jù)基爾霍夫定律得電池輸出電壓Us為開路電壓E(t)與端電壓U(t)之差，由拉普拉斯變換可得頻域算式（5），將式（5）展開后可得差分方程式（6）。

式（5）（6）中：s為系統(tǒng)平面的映射；α、β為電池模型參數(shù)。

式中：Uk為FFRLS 離散化處理值；ξk為零均值高斯白噪聲，含模型噪聲和測量噪聲。

由測量數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)遞推辨識的FFRLS 遞推公式如式（8）所示，由式（8）即可求出α1、α2、β0、β1和β2的值。

式中：Pk、Kk分別為協(xié)方差矩陣和增益因子；yk為輸出信號。

3 融合算法設(shè)計(jì)

因鋰電池參數(shù)辨識模型呈非線性，不能直接采用EKF 估算SOC。非線性濾波器是針對狀態(tài)方程和輸出方程均為非線性系統(tǒng)提出的，沿用非線性濾波器估算電池的SOC 時(shí)，使用數(shù)值積分近似求解，增加了不必要的計(jì)算量[14]。針對以上問題，本文提出一種基于SHEKF-GPM 融合的鋰電池SOC 估算算法，其模型如圖2所示。

圖2 SHEKF-GPM 融合模型Fig.2 SHEKF-GPM fusion model

由圖2可知，SHEKF-GPM 融合的鋰電池SOC估算算法將鋰電池模型、參數(shù)辨識、SHEKF-GPM 融為一體，該融合模型迭代過程包含如下步驟。

步驟1SOC 初始化。

給定算法初始值：x(0)、初始時(shí)刻v(k)的協(xié)方差R0及狀態(tài)估算誤差協(xié)方差矩陣Pk的平方根Sk，由于數(shù)值計(jì)算誤差會導(dǎo)致Pk失去正定性，故引入平方根Sk的濾波技術(shù)進(jìn)行傳播，從而改善系統(tǒng)數(shù)值的穩(wěn)定性，提高迭代過程中的數(shù)值精度。

步驟2估計(jì)狀態(tài)變量先驗(yàn)值。

采用GPM 完成k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)變量的先驗(yàn)估算，即將灰色卡爾曼濾波算法中的系統(tǒng)中間狀態(tài)變量看作隨機(jī)變化的灰色發(fā)展過程，對灰色發(fā)展過程建立GPM。

步驟3更新系統(tǒng)狀態(tài)先驗(yàn)估算值與估算誤差協(xié)方差矩陣。

《揭秘恐龍》以時(shí)間為經(jīng)，全景式地展現(xiàn)了恐龍的興衰、演變；以食性為緯，詳細(xì)介紹了不同恐龍的不同生存技能。《揭秘太空》循序漸進(jìn)地講述了有關(guān)太空的全方位知識。《揭秘地球》詳細(xì)介紹了有關(guān)地球的各種知識，一探我們身之所處的地球的神奇與偉大。《揭秘人體》了解自我從了解人體開始，豐富有趣的人體知識，讓孩子在獲得知識的同時(shí)，學(xué)會如何保護(hù)自己，健康成長。

步驟4構(gòu)造容積點(diǎn)。

步驟5測量估算yk，估算協(xié)方差和聯(lián)合協(xié)方差。

步驟6計(jì)算SOC 卡爾曼增益。

步驟7估算SOC 狀態(tài)更新協(xié)方差平方根。

步驟8輸出SOC，并且返回步驟3，循環(huán)直至結(jié)束。

4 仿真分析

為了提高鋰電池SOC 估算的準(zhǔn)確性，建立了SHEKF-GPM 融合算法估計(jì)模型。即將恒流條件下獲得的SOC 數(shù)據(jù)代入模型中，作為系統(tǒng)輸入，并進(jìn)行仿真分析。圖3所示為SOC 真實(shí)數(shù)據(jù)和估算數(shù)據(jù)仿真結(jié)果對比，SOC 的初始值設(shè)定為100%。

圖3 恒流放電下SOC 的真實(shí)值與估計(jì)值仿真結(jié)果對比Fig.3 Comparison of simulation results between the real and estimated SOC under a constant current discharge

由圖3可知，隨著放電時(shí)間的增加，融合法能夠較好地適應(yīng)復(fù)雜化的環(huán)境，放電過程中存在的誤差是由鋰電池開路電壓與SOC函數(shù)關(guān)系不明確所導(dǎo)致的，估計(jì)值通過循環(huán)遞推逼近真實(shí)值。

圖4所示為FFRLS 算法在線識別鋰電池端子電壓的真實(shí)值和估計(jì)值。在相同的工作條件下，隨著放電時(shí)間的增加，SOC 值逐漸減小。

圖4 鋰電池端子電壓的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.4 Real and estimated values of terminal voltage of lithium battery

從圖4可以看出，在恒流充電條件下，高倍率放電環(huán)境下電池電壓變化較大，二階RC 等效電路模型具有擬合性能，隨著放電時(shí)間的增加，使得模型的端電壓部分發(fā)散，F(xiàn)FRLS 參數(shù)在線辨識算法能夠?qū)崟r(shí)更新鋰電池系統(tǒng)模型的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)鋰電池參數(shù)的精確估計(jì)。

為了驗(yàn)證SHEKF-GPM 融合前后SOC 估算曲線的收斂能力，借助Matlab/Simulink 搭建仿真實(shí)驗(yàn)平臺，對SOC 估計(jì)前后的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖5a所示，在整個(gè)放電過程中，電池共進(jìn)行了10 次完整的放電過程，每次放電100 s，放電過程至第8 次時(shí)達(dá)到SOC 放電的截止電壓，SOC 隨放電電流變化呈現(xiàn)單調(diào)非線性下降趨勢。融合SHEKF-GPM 算法后的仿真圖如圖5b所示，可見曲線的擬合度較高，系統(tǒng)具有較好的收斂性能，同樣的初值對其收斂時(shí)間的影響并不大。通過對比實(shí)驗(yàn)，表明所提融合模型能精確地估算鋰電池SOC。

圖5 融合前后SOC 估算曲線比較Fig.5 Comparison of SOC estimation curves before and after fusion

圖6和圖7分別為SHEKF-GPM 融合后的SOC估計(jì)誤差和協(xié)方差誤差仿真結(jié)果圖。由圖6可看出，融合模型的鋰電池SOC 估算誤差不會隨著時(shí)間的延長而增大，且能保持低于0.3%，具有較高的精度與跟蹤性。可見，二階RC 等效電路模型對鋰電池具有良好的跟蹤動(dòng)態(tài)特性，電池的整體估計(jì)誤差較小，且FFRLS 可以實(shí)時(shí)更新電池模型的參數(shù)辨識，利于鋰電池參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)；協(xié)方差誤差可以定量地反映預(yù)測算法的復(fù)雜度和預(yù)測精度。從圖7可看出，融合SOC 后的協(xié)方差誤差維持在0%左右，不會存在嚴(yán)重的累積誤差，估計(jì)值能很好地跟蹤真實(shí)值，誤差較小，預(yù)測精度較高，進(jìn)而驗(yàn)證了所提融合模型的可行性和有效性。

圖6 融合SOC 估計(jì)誤差的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of SOC estimation error fusion

圖7 融合SOC 協(xié)方差誤差的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of SOC covariance error fusion

5 結(jié)語

針對鋰電池二階RC 等效電路模型，通過FFRLS對參數(shù)進(jìn)行在線辨識是鋰電池應(yīng)用中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文提出SHEKF-GPM 融合的方法估算鋰電池SOC，基于二階RC 等效模型，以表征鋰電池的工作特性。通過FFRLS 進(jìn)行參數(shù)在線辨識和修改電池模型參數(shù)；創(chuàng)新性地提出SHEKF-GPM 融合算法進(jìn)行鋰電池SOC 在線估算。仿真與試驗(yàn)對比分析結(jié)果表明，該模型下的SOC 估計(jì)誤差均低于0.3%，協(xié)方差誤差維持在0%左右，不會產(chǎn)生誤差累積，具有較高的精度，因而驗(yàn)證了所提融合模型的可行性。

所提融合模型雖為鋰電池SOC 估算提供了一種新的方法，但采用SHEKF-GPM 融合的SOC 估算方法較為復(fù)雜，在保證提高SOC 估算精度的前提下，后續(xù)工作將著重研究預(yù)估算法的優(yōu)化處理。