基于頻率采樣法的FIR 數字濾波器仿真與實現

黃波

（成都大學 信息科學與工程學院，四川 成都610106）

1 概述

數字濾波器是由數字乘法器、加法器和延時單元組成的一種裝置。其功能是對輸入離散信號的數字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。由于電子計算機技術和大規模集成電路的發展，數字濾波器已可用計算機軟件實現，也可用大規模集成數字硬件實時實現[1]。

數字濾波器是一個離散時間系統，數字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應具有以抽樣頻率為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率即1／2 抽樣頻率點呈鏡像對稱。

數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(IIR)濾波器和有限脈沖響應(FIR)濾波器。FIR 濾波器對相位特性有很好的控制，它可以在幅度特性隨意設計的同時，能保證精確、嚴格的線性相位特性[2]。

2 頻率采樣法

設計FIR 數字濾波器，我們使用頻率采樣法，就是相當于從頻域角度開始，通過把給定的理想數字頻率響應Hd(ejω)以等間隔時間進行采樣，進而以此Hd(k)作為實際的FIR 數字濾波器對應的數字頻率響應的采樣值H (k)，就是讓H (k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/N k=0, 1, 2, …, N-1，如果我們獲得H(k)后,可以根據IDFT, 通過利用N 個采樣值H(k)來唯一確定這個有限長序列，即

對應的數字系統函數H(z)為

這就是我們利用頻率采樣法來設計FIR 數字濾波器的基本方法。

如果我們要考慮設計的是那種線性相位的FIR 數字濾波器，我們必須要考慮其采樣值H(k)的幅度和相位必須要滿足所對應的四類線性相位數字濾波器的相關約束條件。

首先，對于第一類線性相位FIR 數字濾波器，當h(n)為偶對稱結構，長度N 是奇數時，H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)。

其次，對于第二類線性相位FIR 數字濾波器，當h(n)為偶對稱結構，長度N 是偶數時，其對應的幅度函數H(ω)關于ω=π是奇對稱結構，關于ω=0, 2π，卻為偶對稱，因此，對應的Hk也應該滿足奇對稱結構要求，即

第三，對于第三類線性相位FIR 數字濾波器，當h(n)為奇對稱結構，長度N 是奇數時，H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)。

最后，對于第四類線性相位FIR 數字濾波器，當h(n)為奇對稱結構，長度N 是偶數時，對應的H(ejω)其幅度函數H(ω)是關于ω=π 偶對稱結構，關于ω=0, 2π 則是奇對稱結構，因此相應的的Hk 也必須要滿足偶對稱結構要求。

通過上述分析，對應的逼近誤差和相關改進措施辦法，頻率采樣法實現FIR 數字濾波器都是比較簡單可行的，而且我們已經分析得到，我們利用N 個頻域采樣值H(k)可以進一步求到FIR 數字濾波器的頻率響應函數H(ejω)。我們可以發現，在對應的頻率采樣點ω=2πk/N，k=0, 1, 2, …, N-1 上, 其對應的Φ(ω-2πk/N)=1，所以，相應的采樣點上數字濾波器的實際頻率響應函數是準確地和理想頻率響應函數數值對應相等的。但是由于在不同采樣點之間的頻率響應函數是由各個不同采樣點的加權內插函數通過延伸疊加完成實現的, 這也導致產生一定的逼近誤差，而且這個誤差大小往往取決于對應的理想頻率響應曲線函數的不同形狀。當然，對應的理想頻率響應特性曲線變化越是平緩，那么相應的內插值就越是接近理想值，這樣的話，逼近誤差就越小[3]。

3 基于頻率采樣法的FIR 數字濾波器仿真實現

本文利用頻率采樣法實現了設計一個帶阻FIR 數字濾波器。其中，f 就是歸一化以后的頻率，這個可以通過FIR 數字濾波器的采樣頻率進而計算得到，所以，我們可以根據通帶和阻帶來計算好相應的f 和m 就可以了。相應的仿真程序如圖1 所示。

圖1 仿真程序

圖2 頻率采樣法帶阻濾波器

通過圖2 所示的結果，我們可以分析得到：頻率采樣設計法可以實現直接從頻域進行設計，這樣的物理概念清楚，實現過程簡單方便；通過比較發現，頻率采樣設計法對于頻率響應具有不多的若干非零取樣值對應的窄帶FIR 數字濾波器的濾波效果更加明顯有效。

結束語

利用頻率采樣法進行FIR 數字濾波器設計的最大好處是可以直接從頻域開始進行設計，過程比較簡單直觀，當然也適合于設計其他具有任意幅度特性的數字濾波器。但頻率采樣法也有缺點，就是邊界頻率不太容易控制，雖然說可以增加采樣點數N，這對確定的邊界頻率確實有一定好處，但同時采樣點數N的加大會增加一定的數字濾波器的設計成本，所以，利用頻率采樣法進行FIR 數字濾波器設計一般適用于窄帶FIR 數字濾波器的設計工作。