電路最壞情況分析方法

王國寧 張增龍 潘廷龍 路成萍

（中國兵器工業第214 研究所，安徽 蚌埠233042）

1 概述

電路最壞情況分析法，它是分析電路組成部分的參數，在最壞組合情況下，電路性能參數偏差情況的一種非概率統計方法。它是電路容差分析的重要內容，電路容差分析不僅是可靠性的基本要求，也是《GJB450 裝備研制與生產的可靠性通用大綱》規定的一個工作項目。容差分析技術實際上是一種預測電路性能參數穩定性的方法。它主要研究電路組成單元的參數偏差，在規定的使用條件范圍內，對電路性能容差的影響。《GJB/Z 89 電路容差分析指南》給出了容差分析的方法和程序。本文從最簡單的分壓電路開始，對容差分析的最壞情況分析方法進行詳細敘述，并利用微分學知識，推導出最壞情況分析的線性展開法函數誤差公式及其適用范圍，指出其改進之處的解決辦法。

2 電阻分壓電路

電阻分壓電路，由于它原理清晰、結構簡單、經濟實用，因而在電子線路中獲得了廣泛的應用。一種完整的通用電阻分壓電路如圖1 所示。輸入電壓Vi通過電阻R1、R2進行分壓，分壓結果通過跟隨器輸出，以提高分壓電路的帶負載能力，但在大多數情況下，后級負載比R1、R2大很多，R1、R2分壓結果可以直接輸出，不需要用放大器進行跟隨。因而電路結構更加簡單。

圖1 電阻分壓電路

無論跟隨器是否存在，Vo 與Vi的關系為：

從式（1）可看出，Vo 的值和偏差范圍由Vi、R1、R2三個變量決定。在通常的實驗或設計中，我們可能不會關心這三個參數的變化對輸出有何具體的影響，而只是調整R1或R2的值，使得輸出滿足我們的要求即可。但是，在電路設計中，Vi、R1、R2參數變化對輸出參數Vo 的影響等最壞情況分析法是可靠性設計的重要組成部分，也是我們必須面對的設計內容之一。

3 電阻分壓電路最壞情況分析

《GJB/Z 89 電路容差分析指南》中的最壞情況分析法，包括直接代入法和線性展開法。下面分別用這兩種方法分析電阻分壓電路輸入參數變化對輸出結果的影響。

3.1 直接代入法

直接代入法，是將設計參數的偏差值按最壞情況組合直接代入到電路的網絡函數表達式中，求出性能參數的上限值或下限值的一種方法。具體到式（1）的分壓電路，R2的大小對Vo的影響不能直接看出，因而，將式（1）進行數學變換得到：

從式（2）可以知道，當R1的值最大、R2最小、Vi最小時，Vo的值最小；當R1最小、R2最大、Vi最大時，Vo的值最大。為了直觀，還是以電阻分壓電路進行具體說明。例如：將+5V 電源，通過電阻R1=14kΩ、R2=36kΩ 分壓可得到Vo=3.6V 的參考電壓，假設R1誤差為±1%，R2誤差為±2%，Vi誤差為±0.5%，試計算Vo偏差值的大小。通過直接代入法，將Vi、R1、R2在最壞情況的值代入式（2），可以求得的Vo的標稱值、上限值、下限值，計算結果見表1。由表1 可 知，Vi、R1、R2在 最壞情 況下，Vo的正 偏 差1.3345%，負偏差-1.3456%。設計者可根據此結果，判定設計是否滿足要求，或者修改設計。

表1 電阻分壓電路偏差計算表

直接代入法需要簡潔明了的網絡函數，使得根據變量的變化趨勢可知函數值是上限值或下限值。但是，當變量的變化引起函數值的變化趨勢不容易看出時，需要對函數變進行變換。這也是式（1）轉化為式（2）的原因。當然，也可以對函數進行偏導數等計算，將偏導數為正的電路組成部分的參數及輸入量的上偏差，偏導數為負的電路組成部分的參數及輸入量的下偏差代入網絡函數中，求出輸出量參數的上限值；偏導數為正的電路組成部分的參數及輸入量的下偏差，偏導數為負的電路組成部分的參數及輸入量的上偏差代入網絡函數中，求出輸出量參數的下限值。但由于計算繁瑣，這時往往采用線性展開法。

3.2 線性展開法

線性展開法是將電路的網絡函數在工作點附近展開并取偏導數，簡化為線性關系式，各變量的偏差代入線性關系式，從而求出輸出量偏差的一種方法。

從式（4）可知，電阻分壓電路分壓值的相對誤差，等于各變量相對誤差之和減去分壓系數乘以分壓電阻相對誤差之和。（5）式表明，當R1=R2（假設它們的精度也相等）即將輸入電壓半分壓時，輸出電壓誤差是輸入電壓誤差與電阻誤差之和。分壓系數越大，分壓輸出的誤差越小，反之，分壓輸出的誤差越大。

將輸入電壓誤差、電阻誤差等代入（5）式可得，輸出電壓的誤差Ervo 為：

0.5%+1%+2%-0.72×3%=0.134%。與表1 直接代入法的計算結果基本相同。

4 線性展開法公式推導

3.2 節利用線性展開法求出輸出量誤差過程中，我們直接給出了多元函數的相對誤差公式，實際上，根據微分學的概念，我們很容易得出式（4）的結論。

從高等數學中知道，微分指明當自變量有微小變化時，函數大體上變化多少。這對于電路最壞情況分析法而言，相當于各變量在發生各自最大誤差的微小變化時，通過函數（電路輸出表達式）微分，我們可以知道輸出大體上變化多少，從而達到了最壞情況分析的目的。

設有一元函數y=f(x)，自變量x 的增量Δx，則函數的微分dy與自變量增量Δx 有如下關系：

一元函數自變量的增量Δx 就是它的微分dx，而函數的增量Δy 與函數的微分dy 之間存在如下關系：Δy=dy+o (Δx)，即函數的增量Δy 等于函數的微分dy 與一個比Δx 高階的無窮小o(Δx)之和。我們進行最壞情況分析，需要知道的是函數的增量而不是它的微分，但由于Δy 與dy 之間僅僅相差一個比Δx高階的無窮小，因而可以認為Δy≈dy。它是線性展開法所有誤差公式的前提。

所以，對于只有一個變量的函數，其相對誤差為：

式（8）中，dy≈Δy，dx=Δx，并且考慮到最不利的情況，相對誤差應是各分量誤差絕對值的和，得出：

絕對誤差公式：

表2 常見函數表達式的誤差公式

相對誤差傳遞公式：

常見函數表達式得到的誤差公式見表2。

5 線性展開法公式適用范圍

線性展開法的所有誤差公式，都是基于Δy=dy 的基礎上的，我們知道，函數增量與其微分之間的準確關系為：Δy=dy+o(Δx)。因而，以dy 替代Δy，在Δx 越小時越準確，當Δx 較大時，Δy 與dy 的差別也較大，這就是“微分指明當自變量有微小變化時，函數大體上變化多少”的原因。以電阻分壓電路為例，隨著各變量誤差的增大，也就是Δx 由小變大時，線性展開法描述的函數增量偏離實際越來越大。表3 是直接代入法和線性展開法對函數增量的影響。因此，線性展開法僅適用于變量變化范圍較小（誤差小）、容差分析精度要求不高的電路中。

表3 直接代入法和線性展開法對比

雖然線性展開法的遞推公式存在一定誤差，但基于工程應用已經足夠，如果對函數增量的準確值感興趣，可參見高等數學多元函數泰勒公式等內容。

結束語

通過電路最壞情況分析法，我們可以知道電路的性能參數偏差。直接代入法適合分析精度要求特別高的電路，線性展開法對多數電路而言已經足夠。需要說明的是，電路最壞情況分析法只是說明電路性能參數偏差的最大值，但并不能給出這種最大值出現的機率。事實上，對電路設計而言，最壞情況分析法分析結果偏于保守，它只是為我們指明，極端條件下電路性能參數可能出現的最壞的結果。